習題課勻變速直線運動規律的應用兩個重要推論[要點歸納]1．推論1：做勻變速直線運動的物體，在某段時間內的平均速度等于這段時間中間時刻的瞬時速度，也等于這段時間初、末速度和的一半，即eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋vt,2)。(1)適用條件：勻變速直線運動。(2)應用：計算瞬時速度。2．推論2：勻變速直線運動中任意兩個連續相等的時間間隔內的位移差相等。做勻變速直線運動的物體，如果在各個連續相等的時間T內的位移分別為sⅠ、sⅡ、sⅢ、…、sN，則Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝aT2。(1)推導：s1＝v0T＋eq\f(1,2)aT2，s2＝v0·2T＋eq\f(4,2)a·T2，s3＝v0·3T＋eq\f(9,2)a·T2……所以sⅠ＝x1＝v0T＋eq\f(1,2)aT2，sⅡ＝s2－s1＝v0T＋eq\f(3,2)aT2，sⅢ＝s3－s2＝v0T＋eq\f(5,2)aT2……故sⅡ－sⅠ＝aT2，sⅢ－sⅡ＝aT2……所以，Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝aT2。(2)應用：①判斷物體是否做勻變速直線運動如果Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝sN－xN－1＝aT2成立，則a為一恒量，說明物體做勻變速直線運動。②求加速度利用Δs＝aT2，可求得a＝eq\f(Δs,T2)。[精典示例][例1]一滑雪運動員從85m長的山坡上勻加速滑下，初速度是1.8m/s，末速度是5.0m/s。求：(1)滑雪運動員通過這段斜坡需要多長時間？(2)滑雪運動員通過斜坡中間時刻的瞬時速度是多少？審題指導已知s、vt、v0利用速度公式、位移公式求解利用平均速度公式求解解析(1)法一利用速度公式和位移公式求解。由vt＝v0＋at和s＝v0t＋eq\f(1,2)at2可得a＝0.128m/s2t＝25s。法二利用平均速度公式求解。由s＝eq\f(v0＋vt,2)tt＝25s。(2)法一速度公式法中間時刻t′＝eq\f(25,2)sveq\f(t,2)＝v0＋at′＝3.4m/s法二平均速度公式法veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋vt,2)＝3.4m/s答案(1)25s(2)3.4m/s(1)若題目中沒有加速度a，也不涉及加速度的問題，一般用eq\x\to(v)＝eq\f(s,t)＝eq\f(v0＋vt,2)計算較方便。(2)若題目中無位移s，也不需求位移，一般用速度公式vt＝v0＋at。(3)若題目中無末速度vt，也不需要求末速度。一般用位移公式s＝v0t＋eq\f(1,2)at2。[針對訓練1](2017·濟南一中期末)一輛汽車4s內做勻加速直線運動，初速度為2m/s，末速度為10m/s，在這段時間內，下列說法正確的是()A．汽車的加速度為4m/s2B．汽車的加速度為3m/s2C．汽車的位移為24mD．汽車的平均速度為3m/s解析汽車的加速度a＝eq\f(vt－v0,t)＝2m/s2，故A、B錯誤；平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋vt,2)＝6m/s，故D錯誤；位移s＝eq\x\to(v)t＝24m，故C正確。答案C[例2]從斜面上某一位置每隔0.1s釋放一個相同的小球，釋放后小球做勻加速直線運動，在連續釋放幾個后，對在斜面上滾動的小球拍下如圖1所示的照片，測得sAB＝15cm，sBC＝20cm。試求：圖1(1)小球的加速度是多少？(2)拍攝時小球B的速度是多少？(3)拍攝時sCD是多少？審題指導(1)小球做勻加速直線運動。AB、BC、CD是相鄰相同時間內的位移，可用逐差相等的推論。(2)B點可看作某過程的中間時刻，可用平均速度的推論。解析小球釋放后做勻加速直線運動，且每相鄰的兩個小球的時間間隔相等，均為0.1s，可以認為A、B、C、D各點是一個小球在不同時刻的位置。(1)由推論Δs＝aT2可知，小球的加速度為a＝eq\f(Δs,T2)＝eq\f(sBC－sAB,T2)＝eq\f(20×10－2－15×10－2,0.12)m/s2＝5m/s2(2)由題意知B點對應AC段的中間時刻，可知B點的速度等于AC段上的平均速度，即vB＝eq\x\to(v)AC＝eq\f(sAC,2T)＝eq\f(20×10－2＋15×10－2,2×0.1)m/s＝1.75m/s。(3)由于連續相等時間內位移差恒定，所以sCD－sBC＝sBC－sAB所以sCD＝2sBC－sAB＝2×20×10－2m－15×10－225×10－2m＝0.25m答案(1)5m/s2(2)1.75m/s(3)0.25m(1)逐差相等適用于勻變速直線運動中相鄰相等時間內的兩個過程。(2)eq\x\to(v)＝eq\f(s,t)適用于任何運動，eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋vt,2)只適用于勻變速直線運動。[針對訓練2]一個向正東方向做勻變速直線運動的物體，在第3s內發生的位移為8m，在第5s內發生的位移為5m，則關于物體運動加速度的描述正確的是()A．大小為3m/s2，方向為正東方向B．大小為3m/s2，方向為正西方向C．大小為1.5m/s2，方向為正東方向D．大小為1.5m/s2，方向為正西方向解析設第3s內、第5s內位移分別為s3、s5，則s5－s3＝s5－s4＋s4－s3＝2aT2，得a＝－1.5m/s2，負號表示方向沿正西。故選D。答案D初速度為零的勻加速直線運動的比例式的應用[要點歸納]1．初速度為零的勻加速直線運動，按時間等分(設相等的時間間隔為T)①1T末、2T末、3T末…瞬時速度之比：由vt＝at可得：v1∶v2∶v3…＝1∶2∶3…②1T內、2T內、3T內…位移之比：由s＝eq\f(1,2)at2可得：s1∶s2∶s3…＝1∶4∶9…③第一個T內、第二個T內、第三個T內…的位移之比：由sⅠ＝s1，sⅡ＝s2－s1，sⅢ＝s3－s2…可得：sⅠ∶sⅡ∶sⅢ…＝1∶3∶5…2．初速度為零的勻加速直線運動，按位移等分(設相等的位移為s)①通過s、2s、3s…所用時間之比：由s＝eq\f(1,2)at2可得t＝eq\r(\f(2s,a))，所以t1∶t2∶t3…＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)…②通過第一個s、第二個s、第三個s…所用時間之比：由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2…可得：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ…＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))…③s末、2s末、3s末…的瞬時速度之比：由v2＝2as，可得v＝eq\r(2as)，所以v1∶v2∶v3…＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)…[精典示例][例3]在冰壺世錦賽上中國女子冰壺隊奪得世界冠軍，如圖2所示，一冰壺以速度v垂直進入兩個相同的矩形區域做勻減速運動，且剛要離開第二個矩形區域時速度恰好為零，則冰壺依次進入每個矩形區域時的速度之比和穿過每個矩形區域所用的時間之比分別是多少？(冰壺可看成質點)圖2審題指導(1)末速度為零的勻減速直線運動可看作逆向的初速度為零的勻加速直線運動。(2)冰壺通過兩矩形區域的位移相等。解析把冰壺的運動看做逆向的初速度為零的勻加速直線運動。冰壺通過兩矩形區域位移相等，則從右向左穿過矩形的速度之比1∶eq\r(2)，則冰壺實際運動依次進入每個矩形區域的速度之比v1∶v2＝eq\r(2)∶1；冰壺從右向左，通過每個矩形區域的時間之比1∶(eq\r(2)－1)；則冰壺實際運動穿過區域的時間之比t1∶t2＝(eq\r(2)－1)∶1。答案見解析(1)以上比例式成立的條件是物體做初速度為零的勻加速直線運動。(2)對于末速度為零的勻減速直線運動，可把它看成逆向的初速度為零的勻加速直線運動，應用比例關系，可使問題簡化。[針對訓練3]從靜止開始做勻加速直線運動的物體，在第1s內、第2s內、第3s內的平均速度之比為()A．1∶3∶5 B．1∶4∶9C．1∶2∶3 D．1∶eq\r(2)∶eq\r(3)解析由于第1s內、第2s內、第3s內的位移之比s1∶s2∶s3＝1∶3∶5，而平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(s,t)，三段時間都是1s，故三段時間內的平均速度之比為1∶3∶5，故A正確。答案A兩種運動圖象[要點歸納]s－t圖象與v－t圖象的比較比較內容s－t圖象v－t圖象圖象物理意義反映的是位移隨時間的變化規律反映的是速度隨時間的變化規律物體的運動性質①表示物體從位移為正處開始一直做反向勻速直線運動并超過零位移處表示物體先做正向勻減速直線運動，再做反向勻加速直線運動②表示物體靜止不動表示物體做正向勻速直線運動③表示物體從位移為零處開始做正向勻速運動表示物體從靜止開始做正向勻加速直線運動④表示物體做加速直線運動表示物體做加速度逐漸增大的加速運動圖象與坐標軸圍成的“面積”的意義無實際意義表示相應時間內的位移[精典示例][例4](多選)物體甲的s－t圖象和物體乙的v－t圖象如圖3所示，則這兩物體的運動情況是()圖3A．甲在整個t＝6s時間內運動方向一直不變，它通過的總位移大小為4mB．甲在整個t＝6s時間內有往返運動，它通過的總位移為零C．乙在整個t＝6s時間內有往返運動，它通過的總位移為零D．乙在整個t＝6s時間內運動方向一直不變，它通過的總位移大小為4m審題指導解答該題時應先區分兩個圖象是s－t圖象還是v－t圖象，再結合圖象的斜率、截距以及交點的物理意義進行分析。解析甲圖為s－t圖象，圖象的斜率表示速度，甲的斜率一直為正，故甲的運動方向不變，通過的總位移大小為4m，A正確，B錯誤；乙圖為v－t圖象，速度有正負，表示有往返運動。v－t圖象中圖線與時間軸所圍面積表示位移的大小，在整個t＝6s時間內乙通過的總位移為零，C正確，D錯誤。答案AC運動學圖象的“五看”s－t圖象v－t圖象軸縱軸為位移s縱軸為速度v線傾斜直線表示勻速直線運動傾斜直線表示勻變速直線運動斜率表示速度表示加速度面積無實際意義圖線與時間軸圍成的面積表示位移縱截距表示初位置表示初速度[針對訓練4]某高考考生進入考場后發現自己忘記帶準考證了，他立即從考場出來，先做勻加速直線運動后做勻減速直線運動跑向班主任，在班主任處拿好準考證后再勻速回到考場，關于該考生的運動情況，下列圖象一定不正確的是()解析該考生先加速后同方向減速，再反方向勻速，故初、末的速度方向應相反，A對，B錯；由于是先勻加速后勻減速，故其對應的位移—時間圖象是兩段拋物線，在班主任處停留一會，后勻速反向運動，故C對；由于考生先勻加速后勻減速運動，故考生由考場到剛跑到班主任處過程加速度—時間圖象是兩直線，之后加速度為零，D對。答案B追及和相遇問題[要點歸納]兩物體在同一直線上運動，它們之間的距離發生變化時，可能出現最大距離、最小距離或者距離為零的情況，這類問題稱為追及和相遇問題，討論追及和相遇問題的實質是兩物體能否在同一時刻到達同一位置。1．抓住一個條件、用好兩個關系(1)一個條件：速度相等。這是兩物體是否追上(或相撞)、距離最大、距離最小的臨界點，是解題的切入點。(2)兩個關系：時間關系和位移關系。通過畫示意圖找出兩物體位移之間的數量關系，是解題的突破口。2．常用方法(1)物理分析法：抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題中的隱含條件，建立物體運動關系的圖景，并畫出運動情況示意圖，找出位移關系。(2)圖象法：將兩者的v－t圖象在同一坐標系中畫出，然后利用圖象求解。(3)數學極值法：設從開始至相遇時間為t，根據條件列方程，得到關于t的一元二次方程，用判別式進行討論，若Δ＞0，即有兩個解，說明可以相遇兩次，若Δ＝0，說明剛好追上或相遇；若Δ<0，說明追不上或不能相碰。[精典示例][例5]一輛汽車以3m/s2的加速度開始啟動的瞬間，一輛以6m/s的速度做勻速直線運動的自行車恰好從汽車的旁邊通過。試求：(1)汽車一定能追上自行車嗎？若能追上，汽車經過多長時間追上？追上時汽車的瞬時速度多大？(2)汽車追上自行車前多長時間與自行車相距最遠？最遠距離是多大？解析(1)因為汽車做加速運動，故汽車一定能追上自行車。汽車追上自行車時，兩者位移相等，s汽＝s自，即eq\f(1,2)at2＝v自t，得：t＝eq\f(2v自,a)＝eq\f(2×6,3)s＝4sv汽＝at＝3×4m/s＝12m/s(2)開始階段，v汽<v自，兩者距離逐漸變大。后來v汽>v自，兩者距離又逐漸減小。所以當v汽＝v自時，兩者距離最大。設經過時間t1，汽車速度等于自行車速度，則at1＝v自，代入數據解得t1＝2s此時s自＝v自t1＝6×2m＝12ms汽＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)×3×22m＝6m最大距離Δs＝s自－s汽＝6m答案(1)2s；6m(2)4s；12m/s解答追及與相遇問題的思維流程[針對訓練5]已知A、B兩列火車，在同一軌道上同向行駛，A車在前，其速度v1＝10m/s，B車在后，速度v2＝30m/s，B車在距A車s0＝75m時才發現前方有A車，這時B車立即剎車，但B車要經過s＝180m才能停下來。(1)B車剎車時A仍按原速率行駛，兩車是否會相撞？(2)若相撞，求B車從開始剎車到兩車相撞用多少時間？若不相撞，求兩車的最小距離。解析(1)設B車加速度大小為aB，剎車至停下來的過程中，由veq\o\al(2,2)＝2aBs解得：aB＝2.5m/s2B車在開始剎車后t時刻的速度為vB＝v2－aBtB車的位移sB＝v2t－eq\f(1,2)aBt2A車的位移sA＝v1t設t時刻兩車速度相等，vB＝v1解得：t＝8s將t＝8s代入得sB＝160m，sA＝80m因sB＞sA＋s0＝155m故兩車會相撞。(2)設B車從開始剎車到兩車相撞所用時間為t，則滿足sB＝sA＋s0代入數據解得：t1＝6s，t2＝10s(不符合題意)故B車從開始剎車到兩車相撞用時6s。答案見解析1．中國殲－20隱形戰斗機進行了飛行測試并成功著陸。假設該戰機起飛前從靜止開始做勻加速直線運動，達到起飛速度v所需時間為t，則起飛前的運動距離為()圖4A．vt B.eq\f(vt,2)C．2vt D．不能確定解析s＝eq\x\to(v)t＝eq\f(0＋v,2)t＝eq\f(vt,2)。答案B2．(多選)如圖所示，甲、乙、丙、丁是以時間為橫軸的勻變速直線運動的圖象，下列說法正確的是()A．甲是v－t圖象 B．乙是s－t圖象C．丙是s－t圖象 D．丁是a－t圖象解析乙若是s－t圖象則應是勻速直線運動，故B錯，答案選A、C、D。答案ACD3．從靜止開始做勻加速直線運動的物體，0～10s內的位移是10m，那么在