/河南省青桐鳴2024?2025學年高一下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題（人教A版）一、單選題1．2024年，某大學的新能源汽車技術(shù)專業(yè)在河北省錄取的八名學生的高考總分分別為，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（

）A．596 B．597 C．598 D．5992．已知為虛數(shù)單位，則（

）A． B．1 C． D．3．“直線與直線相交”是“點共面”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖，點在以為直徑的圓的圓周上，平面，則二面角的平面角為（

）A． B． C． D．5．在銳角三角形中，的面積為，若，則（

）A．4 B． C． D．56．如圖，在長方體中，，點分別是的中點，則下列說法正確的是（

）A．此長方體的表面積為112B．與是相交直線C．與是異面直線D．直線與平交7．在中，，點滿足，直線交于點，則（

）A． B． C． D．8．如圖，正六棱柱的底面邊長為5，點分別為線段的中點，若異面直線與所成角的余弦值是，則此正六棱柱的體積為（

）A． B．或 C． D．或二、多選題9．2024年11月14日是第18個聯(lián)合國糖尿病日，活動主題是“糖尿病與幸福感”．某市的糖尿病患者中中老年組、中年組、中青年組、青年組人數(shù)的比例為，為了解各年齡段群組（中老年組?中年組?中青年組?青年組）飲食結(jié)構(gòu)之間的差異，市衛(wèi)生局計劃從糖尿病患者中抽取220人進行飲食結(jié)構(gòu)調(diào)查，則下列說法正確的是（

）A．應采用分層隨機抽樣抽取B．應采用抽簽法抽取C．中年組患者應抽取60人D．被抽到的中青年組患者和青年組患者人數(shù)之和比中年組患者人數(shù)多10．已知復數(shù)，為虛數(shù)單位，為的共軛復數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若是純虛數(shù)，則B．若，則C．若，則D．若，則或11．已知，且，則下列說法正確的是（

）A．B．若與共線，則C．在方向上的投影向量為D．若，則的最小值為三、填空題12．底面半徑為，高為的圓柱形木桶（木桶的厚度忽略不計）中裝滿水，現(xiàn)將一個半徑為的實心鐵球放入木桶中使球完全浸沒，然后拿出鐵球（沾在鐵球與手上的水忽略不計），則此時水面的高度為.13．已知，，則.14．如圖，在梯形中，，則將此梯形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為（結(jié)果用含的式子表示）．四、解答題15．已知復數(shù)為虛數(shù)單位．（1）若復數(shù)的實部與的虛部相等，求實數(shù)的值；（2）若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，若復數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，求實數(shù)的值．16．某市消防救援大隊為了提高市民對安全的重視及應對突發(fā)情況的能力，對本市市民組織了一次逃生及安全常識（綜合安全事故?自然災害等）網(wǎng)絡(luò)測試，滿分為100分.測試完后抽取了400份試卷，把分數(shù)按依次分為第一至第六組（所有得分均滿足），其中與的人數(shù)均為40人，統(tǒng)計各組頻數(shù)并計算相應頻率，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，以頻率估計概率，得出本次測試成績的平均分為74分.（1）求圖中的值，并估計本次測試的及格率（“及格率”指得分為60分及以上的市民所占比例）；（2）分別求圖中的值與的值；（3）已知落在區(qū)間的樣本平均分是63，方差是7，落在區(qū)間的樣本平均分是78，方差是4，求兩組樣本成績合并后的平均分和方差.參考公式：若總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量?樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，則.17．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）已知的周長為，外接圓的面積為，求的面積.18．如圖1，在梯形中，，且，現(xiàn)將沿折起，將沿折起，使重合為點，得到四棱錐，如圖2.（1）證明：平面平面；（2）點滿足，求平面截此四棱錐所得截面的面積；（3）求直線與平面所成角的正切值.19．對于向量均為非零向量，定義運算.（1）對于非零向量一定成立嗎？并給出理由；（2）已知為非零向量，若向量與向量共線，向量，與向量垂直，求；（3）已知向量，向量，且，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】B【詳解】將這組數(shù)據(jù)由小到大排列為：，因為，所以選取第6個和第7個數(shù)的平均數(shù)作為結(jié)果，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是.故選B．2．【正確答案】A【詳解】.故選A.3．【正確答案】A【詳解】由直線與直線相交，得點確定一個平面，故充分性成立；當點共面時，直線與直線有可能平行，還有可能相交，故必要性不成立.故選A.4．【正確答案】C【詳解】，點在以為直徑的圓的圓周上，平面平面，,又平面平面，因為平面，所以,是二面角的平面角，又.故選C.5．【正確答案】B【詳解】由，得，為銳角，，∵，∴為的中點，∴，∴.故選B.6．【正確答案】C【詳解】此長方體的表面積為，故A錯誤；連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面平面，所以平面，因為平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，所以與無公共點，故B錯誤；又因為平面，所以直線平面，故D錯誤.因為平面平面，所以與異面，故C正確.故選C.7．【正確答案】A【詳解】如圖，設(shè)，則，又，所以解得所以，所以.故選A.8．【正確答案】D【詳解】在正六棱柱中，連接，則，（或其補角）為異面直線與所成的角，設(shè)此正六棱柱的高為，在中，，，則，即，解得或，此正六棱柱的體積，所以或.故選D9．【正確答案】AC【詳解】因為糖尿病患者中中老年組、中年組、中青年組、青年組人數(shù)的比例不同，所以應采用分層隨機抽樣抽取，故A正確，B錯誤；依題意，被抽到的中年組患者人數(shù)為（人），被抽到的中青年組患者和青年組患者人數(shù)之和為（人），所以C正確，D錯誤；故選AC．10．【正確答案】BCD【詳解】，，故復數(shù)，對于A，若復數(shù)是純虛數(shù)，則，解得，所以A錯誤；對于B，若，則，解得，所以B正確；對于C，若，則，可得，所以C正確；對于D，若，可得復數(shù)是實數(shù)，所以，解得或，D正確.故選BCD.11．【正確答案】ABD【詳解】對于A，由可得，所以，得，又，得，所以，故A正確；對于B，因為，所以與不共線，因為，所以，因為與共線，則，故B正確；對于在方向上的投影向量為，故C錯誤；對于，當且僅當時，取得最小值，最小值為，故D正確.故選:ABD.12．【正確答案】56【詳解】設(shè)水面下降的高度為，利用體積相等可得，解得，故此時水面的高度為.13．【正確答案】/【詳解】由，可得，因為，所以，即，解得.14．【正確答案】【詳解】如圖，連接，則，過點作，則，所以，所以，故，過點作的平行線，與的延長線交于點，則，繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為底面半徑為，高為的圓錐，直角梯形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為圓臺，其中上底面半徑為，下底面半徑為，高為，繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為底面半徑為，高為的圓錐，所以繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為圓臺中挖掉一個圓錐，故此梯形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積．15．【正確答案】（1）（2）（3），【詳解】（1）由題意得，解得．（2）因為復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．（3）因為復數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，所以，所以，解得，．16．【正確答案】（1）0.01；85%（2），.（3）72；59.2【詳解】（1），所以及格率為.（2）由題意可知：0.85，得，平均分，解得，.（3）由頻率分布直方圖知，這400份答卷分數(shù)在的份數(shù)為，分數(shù)在的份數(shù)為，所以，總方差.17．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）因為，所以，因為，所以,所以，因為，所以.（2）設(shè)外接圓的半徑為，由，得，又因為，因為的周長為，所以，，得，所以的面積為.18．【正確答案】（1）見詳解（2）（3）【詳解】（1）證明：在折起后的四棱錐中，，因為平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）設(shè)平面與的交點為，則平面截此四棱錐所得截面為四邊形，因為平面平面，則平面，又因為平面平面平面，所以，所以，因為，所以，因為，平面，所以平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，所以，所以截面面積為.（3）因為在梯形中，，所以，又，所以，則，由（1）得平面，因為平面，所以，又因為平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，又因為，所以，即直線與平面所成角的正切值為.19．【正確答案】（1）第一個不一定成立，第二個成立，理由見詳解