4.3.4三角形全等的綜合應用【新知探究】全等三角形的判定方法:“SSS”“ASA”“

”“

”。【例1】如圖所示,在△ABC與△ADC中,已知AD=AB。(1)在不添加任何輔助線的前提下,以下條件中,能使△ABC≌△ADC的條件有

(填序號),

①DC=BC;②∠D=∠B;③∠DAC=∠BAC;④∠DCA=∠BCA;AAS三角形全等條件的綜合應用SAS解:(1)①③(2)分別對(1)中添加條件的情況證明△ABC≌△ADC,并指出兩個三角形全等的判定方法。解:(2)當添加①DC=BC,在△ABC和△ADC中,因為AB=AD,AC=AC,BC=DC,所以△ABC≌△ADC(SSS)。當添加③∠DAC=∠BAC時,在△ABC和△ADC中,因為AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SAS)。【新知鞏固】1.(2024金沙期末)如圖所示,已知AE=AC,∠C=∠E,下列條件中,無法判定△ABC≌△ADE的是()A.∠B=∠D B.BC=DEC.∠1=∠2 D.AB=ADD2.(2024九江期末)如圖所示,∠ABC=∠BAD,請你添加一個條件:

,使△ABC≌△BAD(只添一個即可)。

BC=AD(答案不唯一)3.如圖所示,點E在AB上,∠ACB=∠ADB,∠CAB=∠DAB,那么△BCE和△BDE全等嗎?請說明理由。解:△BCE≌△BDE,理由如下:在△ACB與△ADB中,因為∠ACB=∠ADB,∠CAB=∠DAB,AB=AB,所以△ACB≌△ADB(AAS)。所以BC=BD,∠ABC=∠ABD。在△BCE與△BDE中,因為BC=BD,∠ABC=∠ABD,BE=BE,所以△BCE≌△BDE(SAS)。【例2-1】

(2024瀘縣二模)如圖(1)所示是小軍制作的燕子風箏,燕子風箏的骨架如圖(2)所示,已知AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,試說明:∠C=∠D。三角形全等判定與性質的綜合應用解:因為∠BAD=∠EAC,所以∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC。所以∠BAC=∠EAD。在△BAC和△EAD中,因為AB=AE,∠BAC=∠EAD,AC=AD,所以△BAC≌△EAD(SAS)。所以∠C=∠D。【例2-2】如圖所示,在△ABC中,點D是AC上一點,AD=AB,過點D作DE∥AB,且DE=AC。(1)試說明:△ABC≌△DAE;解:(1)因為DE∥AB,所以∠BAC=∠ADE。在△ABC和△DAE中,因為AB=DA,∠BAC=∠ADE,AC=DE,所以△ABC≌△DAE(SAS)。(2)若點D是AC的中點,△ABC的面積是20,求△AEC的面積。解:(2)因為△ABC≌△DAE,所以S△ABC=S△DAE=20。因為點D是AC的中點,所以S△AEC=2S△DAE=2×20=40。【新知鞏固】1.如圖所示,A,B,C,D是四個村莊,其中B,D,C在一條直線上,BD=DC,且AD⊥BC,村莊A,B之間有一個小湖EF。為方便通行,現要在湖面上建一座橋,測得AE=1.2km,BF=0.7km,AC=4km,則建造的橋長至少為()A.1.1km B.2.1kmC.4km D.5kmB2.(2024咸陽三模)如圖所示,在△ABC中,D為邊BC的中點,AB=1,AD=2,延長AD至點E,使得DE=AD,則AC長度可以是()A.4 B.5 C.6 D.7A3.如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE于點D,BE⊥CE于點E。(1)試說明:BE=CD;解:(1)因為BE⊥CE,AD⊥CE,所以∠E=∠ADC=90°。所以∠EBC+∠BCE=90°。因為∠BCE+∠ACD=90°,所以∠EBC=∠DCA。在△ACD和△CBE中,因為∠ADC=∠E,∠DCA=∠EBC,AC=CB,所以△ACD≌△CBE(AAS