第三章空間問題的有限元法3.1簡介3.24節點四面體常應變單元3.38節點六面體單元3.420節點六面體等參單元3.5空間軸對稱問題的有限元法3.1簡介彈性力學空間問題與平面問題的區別：基本方程：

空間：3個平衡方程，6個幾何方程，6個物理方程；

平面：2個平衡方程，3個幾何方程，3個物理方程；

基本分量：

空間：3個位移分量，6個應力分量，6個應變分量；

平面：2個位移分量，3個應力分量，3個應變分量；空間問題的有限元法：未知量采用“位移法”，選取節點位移作為未知量基本步驟先“離散”，再“單元分析”，后“整體分析”，最后“求解整體平衡方程”3.1簡介有限單元類型：連續單元

特點：每個節點最多有3個位移分量（自由度）u,v,w

舉例：一維桿元（第4章）、二維平面單元（第2章）、三維實體單元（第3章）結構單元

特點：每個節點最多有6個位移分量（自由度）u,v,w,θx,θy,θz

舉例：板殼元（第5章）、梁元（第4章）空間問題的常用實體單元：

4節點四面體單元、8節點六面體單元、等參單元3.1簡介本章重點和要求：了解空間問題的有限元法的原理和解題方法，熟悉常用實體單元的類型和特性，掌握常用實體單元的有限元分析方法。3.24節點四面體常應變單元單元描述節點：4個節點編號規則：因此：節點坐標值

3個坐標方向：xi,yi,zi

(i.j,m,p)節點位移（自由度）

3個坐標方向：ui,vi,wi

(i.j,m,p)單元節點位移列陣

單元共有12個位移分量。3.24節點四面體常應變單元位移模式形函數的定義其中系數為常數項，由節點坐標值決定。3.24節點四面體常應變單元幾何方程（描述物體的變形程度：應變與位移的關系）應變分量幾何方程B為常數矩陣。因此，為常應變單元！3.24節點四面體常應變單元物理方程（描述材料特性：應力與位移的關系）應力分量物理方程3.24節點四面體常應變單元單元平衡方程（單元剛度矩陣）要求：掌握單元剛度矩陣的推導過程！3.24節點四面體常應變單元單元等效節點載荷（對非節點載荷而言）節點載荷列陣體力集中力面力單元描述單元形狀：2a×2b×2c節點：8個節點編號規則局部坐標系因此：節點坐標值

3個坐標方向：ξi

ηi

ζi(i.j,m,p)節點位移（自由度）

3個坐標方向：ui,vi,wi

(i.j,m,p)單元節點位移列陣（局部坐標系下）

單元共有24個位移分量（自由度）。3.38節點六面體單元（磚形單元）3.38節點六面體單元（磚形單元）位移模式3.38節點六面體單元（磚形單元）幾何方程（描述物體的幾何變形程度：應變與位移的關系）利用坐標映射關系推導出偏導數映射關系！3.38節點六面體單元（磚形單元）4.物理方程（描述材料特性：應力與位移之間的關系）3.38節點六面體單元（磚形單元）5.單元平衡方程（單元剛度矩陣）3.420節點六面體等參單元1.單元描述

要求：自行分析出在局部坐標系下，節點坐標、節點位移（自由度）和單元節點位移列陣。坐標變換3.420節點六面體等參單元2.坐標變換式和位移模式3.420節點六面體等參單元3.幾何方程利用坐標映射關系推導出偏導數映射關系！3.420節點六面體等參單元3.幾何方程雅可比矩陣J只有在雅可比矩陣可逆的情況下，可以求解出Ni,x

Ni,y

Ni,z！3.420節點六面體等參單元4.物理方程3.420節點六面體等參單元5.單元平衡方程（單元剛度矩陣）3.420節點六面體等參單元5.單元平衡方程（單元剛度矩陣）3.420節點六面體等參單元6.單元等效節點載荷3.5空間軸對稱問題的有限元法空間軸對稱問題特點：幾何形狀、約束條件、外載荷都對稱于某一軸線。因此，位移、應變和應力分量都對稱于該軸。有限元法：為了簡化問題、加快求解速度，采用繞對稱軸旋轉一周的環形單元(3節點三角形軸對稱單元、4節點矩形軸對稱單元)進行有限元分析。有限元分析步驟和平面問題相同。3.5空間軸對稱問題的有限元法空間軸對稱問題的舉例無限長受內壓的軸對稱圓筒，該圓筒置于剛性圓孔中。80mm120mmrz1234①②40mm60mmF1F210mm3.5空間軸對稱問題的有限元法1.空間軸對稱問題描述整體坐標系：圓柱坐標(r,θ,z)軸對稱特點：在（z,r）二維空間里面進行有限元分析單元類型：三角形環形單元2.單元描述節點：3個因此，節點坐標節點位移（自由度）

2個坐標方向的位移w,u單元節點位移列陣

單元共有6個自由度!3.5空間軸對稱問題的有限元法3.位移模式3.5空間軸對