2025年四川省內江市中考數學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）中國是世界上最早使用負數的國家，負數早已廣泛應用到生產和生活中．例如，零上3℃記作+3℃，則零下3℃記作（）A．?13℃ B．132．（3分）古錢幣是我國珍貴的歷史文化遺產．下列選項是在《中國古代錢幣》特種郵票中選取的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2025年5月14日12時12分，全球首個太空計算星座在酒泉衛星發射中心成功發射，此次發射的太空計算星座共有12顆衛星，其中10顆為“內江城市衛星星群”成員，若每顆衛星每天處理的數據量為3500000000字節，則“內江城市衛星星群”每天處理的總數據量可達到35000000000字節，將數據35000000000用科學記數法表示為（）A．35×109 B．3.5×109 C．3.5×1010 D．0.35×10104．（3分）在函數y=x?2中，自變量xA．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜25．（3分）某體育用品專賣店在一段時間內銷售了20雙運動鞋，其中幾種尺碼運動鞋的銷售量如表所示：尺碼/cm2424.52525.526銷售量/雙131042這20雙運動鞋的尺碼組成的一組數據的眾數和中位數分別是（）A．24.5，25 B．25，25 C．25，25.5 D．25.5，266．（3分）如圖是正方體的表面展開圖，與“共”字相對的字是（）A．安 B．全 C．校 D．園7．（3分）下列計算正確的是（）A．x2?x4＝x8 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x+2x2＝3x2 D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣48．（3分）阿基米德曾說過：“給我一個支點，我能撬動整個地球．”這句話生動體現了杠桿原理：通過調整支點位置和力臂長度，用較小的力就能撬動重物．這一原理在生活中隨處可見．如圖甲，這是用杠桿撬石頭的示意圖，當用力壓杠桿時，另一端就會撬動石頭．如圖乙所示，動力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，則AC的長度是（）A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm9．（3分）學校準備添置一批課桌椅，原訂購60套，每套100元．店方表示：如果多購，可以優惠．結果校方購了72套，每套減價3元，但商店獲得同樣多的利潤．求每套課桌椅的成本．設每套課桌椅的成本為x元，則可列方程為（）A．72（100﹣x）＝60（100+3﹣x） B．60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x） C．60（100+x）＝72（100﹣3+x） D．100?x10．（3分）按如下步驟作四邊形ABCD：（1）畫∠EAF；（2）以點A為圓心，1個單位長為半徑畫弧，分別交AE、AF于點B、D；（3）分別以點B和點D為圓心，1個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點C；（4）連接BC、DC、BD．若∠A＝40°，則∠BDC的度數是（）A．64° B．66° C．68° D．70°11．（3分）若關于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有實數根，則實數a的取值范圍是（）A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠112．（3分）對于正整數x，規定函數f(x)=3x+1(x為奇數)12x(x為偶數)．在平面直角坐標系中，將點（m，n）中的m，n分別按照上述規定，同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標（其中A．（2，1） B．（4，2） C．（1，2） D．（1，4）二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分．）13．（4分）分解因式：a2﹣1＝．14．（4分）在英文單詞“banana”中任選一個字母，字母“a”被選中的概率是．15．（4分）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB＝8，OC＝5．則DC的長是．16．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點E、F分別是邊AD、CD上的動點，連接BE、EF，點G為BE的中點，點H為EF的中點，連接GH，則GH的最大值是．三、解答題（本大題共5小題，共48分．解答應寫出必要的文字說明或推演步驟．）17．（10分）（1）計算：(π?1)（2）化簡：3x+4x+118．（9分）如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BF＝4，FC＝3，求BE的長．19．（10分）內江，東漢建縣，古稱漢安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新時代內江的三張靚麗名片，也是“心里甜”的由來．為弘揚內江傳統文化，我市將舉辦中小學生“知內江、愛內江、興內江”知識競賽活動．某校舉辦選拔賽后，隨機抽取了部分學生的成績，成績按百分制分為A、B、C、D四個等級，并繪制了如下兩幅不完整的統計圖表．等級成績（x）人數A95＜x≤100mB85＜x≤9524C75＜x≤8514Dx≤7510根據統計圖表中的信息解答下列問題：（1）表中m＝；扇形統計圖中，表示成績等級為D的扇形圓心角為度．（2）若全校有3000人參加了此次選拔賽，其中成績等級為A的學生大約有多少人？（3）現從成績等級為A的甲、乙、丙、丁4人中隨機選出2人參加市級比賽，請通過列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩人同時被選中的概率．20．（9分）在綜合與實踐活動中，某學習小組計劃測量內江麻柳壩大橋橋塔AD的高度（如圖甲）．他們設計了如下方案：如圖乙，點B、D、C依次在同一條水平直線上，在B處測得橋塔頂部A的仰角（∠ABD）為45°，在C處測得橋塔頂部A的仰角（∠ACD）為30°，又測得BC＝80m，AD⊥BC，垂足為D，求橋塔AD的高度（結果保留根號）．21．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y=k1x的圖象與一次函數y＝k2x+b的圖象相交于A（a（1）求反比例函數和一次函數的表達式；（2）當x＜0時，請根據函數圖象，直接寫出關于x的不等式k2x+b?k（3）過直線AB上的點C作CD∥x軸，交反比例函數的圖象于點D．若點C橫坐標為﹣4，求△BOD的面積．四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分．）22．（6分）已知實數a，b滿足a+b＝2，則a2﹣b2+4b＝．23．（6分）對于x、y定義了一種新運算G，規定G（x，y）＝x+3y．若關于a的不等式組G(a，1?2a)≥?2G(?2a，1+4a)＞P恰好有3個整數解，則實數P的取值范圍是24．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點B的坐標為（1，0），點E在邊CD上．將△ADE沿AE折疊，點D落在點F處．若點F的坐標為（0，3），則點E的坐標為．25．（6分）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB=22，點D、E、F分別是邊BC、AB、AC上的動點，則△DEF周長的最小值是五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分．解答應寫出必要的文字說明或推演步驟．)26．（12分）2025年春節期間，我國國產動畫電影《哪吒之魔童鬧海》刷新了中國電影票房的新紀錄，商家推出A、B兩款“哪吒”文旅紀念品．已知購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元．（1）求A、B兩款“哪吒”紀念品每個進價分別為多少元？（2）根據網上預約的情況，如果該商家計劃用不超過12000元的資金購進A、B兩款“哪吒”紀念品共400個，那么至少需要購進B款紀念品多少個？（3）在銷售中，該商家發現每個A款紀念品售價60元時，可售出200個，售價每增加1元，銷售量將減少5個．設每個A款紀念品售價a（60≤a≤100）元，W表示該商家銷售A款紀念品的利潤（單位：元），求W關于a的函數表達式，并求出W的最大值．27．（12分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，點O是邊AB上一點，以點O為圓心、OB長為半徑作圓，⊙O恰好經過點D，交AB于點E．（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）若點E為AO的中點，AD＝3，求陰影部分的面積；（3）連接DE，若sin∠DBA=55，求cos28．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖1，過點B的直線l：y＝x﹣1與拋物線的另一個交點為點D，點M為拋物線對稱軸上的一點，連接MB、MD，設點M的縱坐標為n，當MB＝MD時，求n的值；（3）如圖2，點N是拋物線的頂點，點P是x軸上一動點，將頂點N繞點P旋轉90°后剛好落在拋物線上的點H處，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

題號1234567891011答案C．DC．ABBDBBDC題號12答案A一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．【解答】解：“正”和“負”相對，所以，中國是世界上最早使用負數的國家，負數早已廣泛應用到生產和生活中．例如，零上3℃記作+3℃，則零下3℃記作﹣3℃．故選：C．2．【解答】解：A是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，B不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意，C不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意，D是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意，故選：D．3．【解答】解：35000000000＝3.5×1010．故選：C．4．【解答】解：已知函數y=x?2則x﹣2≥0，解得：x≥2，故選：A．5．【解答】解：由表知，這組數據中25出現次數最多，有10次，所以這組數據的眾數為25；中位數是數據排列后，第10個和第11數據的平均數，所以這組數據的中位數為25+252故選：B．6．【解答】解：∵正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，∴在此正方體上與“共”字相對的面上的字是“全”．故選：B．7．【解答】解：x2?x4＝x6，則A不符合題意，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，則B不符合題意，x與2x2不是同類項，無法合并，則C不符合題意，（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，則D符合題意，故選：D．8．【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴ACBD∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm，∴AC20∴AC＝60，∴AC的長為60cm．故選：B．9．【解答】解：根據題意得：60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x）．故選：B．10．【解答】解：由尺規作圖可知：AB＝AD＝BC＝DC，∴四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∠BDC＝∠ADB=12∠∴∠A+ADC＝180°，∵∠A＝40°，∴∠ADC＝180°﹣∠A＝140°，∴∠BDC=12∠故選：D．11．【解答】解：∵關于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有實數根，∴a?1≠0Δ=解得：a≤2且a≠1，∴實數a的取值范圍是a≤2且a≠1．故選：C．12．【解答】解：初始點：（2，1）（第0次運算）．第1次：橫坐標2為偶數，f(2)=22=1第2次：橫坐標1為奇數，f（1）＝3×1+1＝4，縱坐標4為偶數，f(4)=4第3次：橫坐標4為偶數，f(4)=42=2∴2025÷3＝675，∴第2025次運算后對應點與第3次運算后的點相同，即（2，1）．故選：A．二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分．）13．【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．故答案為：（a+1）（a﹣1）．14．【解答】解：在英文單詞“banana”中共6個字母，其中字母“a”有3個；則字母為“c”的概率是：36故答案為：1215．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD=12AB在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4，∴OD=O∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．故答案為：2．16．【解答】解：如圖，連接BD，BF，∵AB＝8，AD＝6，∴BD=A∵點G為BE的中點，點H為EF的中點，∴BF＝2GH，∴當BF有最大值時，GH有最大值，∵點F是CD的點，∴當點F與點D重合時，BF有最大值為10，∴GH的最大值為5，故答案為：5．三、解答題（本大題共5小題，共48分．解答應寫出必要的文字說明或推演步驟．）17．【解答】解：（1）原式＝1+3+4﹣1＝7；（2）原式==3(x+1)＝3．18．【解答】（1）證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E∠A=∠D∴△ABC≌△DEF（AAS）；（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+CF＝EC+CF，∴BF＝EC，∵BF＝4，FC＝3，∴EC＝4，∴BE＝BF+EF+EC＝4+3+4＝11．19．【解答】解：（1）隨機抽取的學生共有：24÷40%＝60（人），∴m＝60﹣24﹣14﹣10＝12，人），扇形統計圖中，表示成績等級為D的扇形圓心角為：360°×10故答案為：60，60；（2）3000×12答：若全校有3000人參加了此次選拔賽，其中成績等級為A的學生大約有600人；（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中甲、乙兩人被同時選中的結果有2種，∴甲、乙兩人被同時選中的概率為21220．【解答】解：設AD＝xm，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD=ADtan∠ABD=在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD=ADtan∠ACD=∵BC＝BD+CD＝80m，∴x+3x解得x＝403?∴AD＝（403?40）m答：橋塔AD的高度為（403?40）m21．【解答】解：（1）∵反比例函數y=k1x∴k1＝﹣6×1＝﹣6，故反比例函數的表達式為y=?6把點A（a，6）代入反比例函數y=?6x得，解得a＝﹣1，∴點A的坐標為（﹣1，6），∵一次函數的圖象經過A（﹣1，6）、B（﹣6，1）兩點，∴?k+b=6?6k+b=1，解得k=1故一次函數的表達式為y＝x+7；（2）∵k2∴k2∴﹣6≤x≤﹣1；（3）∵點C橫坐標為﹣4，代入y＝x+7，解得：y＝﹣4+7＝3，∴C（﹣4，3），當y＝3時，代入y=?6x，得解得：x＝﹣2，∴D（﹣2，3），如圖，過點B，D分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，∵B（﹣6，1），D（﹣2，3），∴DE＝3，BF＝1，EF＝﹣2﹣（﹣6）＝4，∵S△BOD+S△BFO＝S梯形BFED+S△DEO，S△BFO＝S△DEO＝3，∴S△BOD＝S梯形BFED=12（DE+BF）EF四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分．）22．【解答】解：∵a+b＝2，∴a2﹣b2+4b＝（a+b）（a﹣b）+4b＝2（a﹣b）+4b＝2a﹣2b+4b＝2a+2b＝2（a+b）＝2×2＝4，故答案為：4．23．【解答】解：由題意，∵G（x，y）＝x+3y，∴關于a的不等式組G(a，1?2a)≥?2G(?2a，1+4a)＞P，即為a+3(1?2a)≥?2①∴解不等式①得：a≤1，解不等式②得：a＞P?3∵不等式組有3個整數解，∴整數解為﹣1，0，1，∴?2≤P?3∴﹣17≤P＜﹣7．故答案為：﹣17≤P＜﹣7．24．【解答】解：如圖，設正方形ABCD的邊長為a，CD與y軸相交于G，則四邊形BOGC是矩形，∴OG＝BC＝a，CG＝BO，∠EGF＝90°．由折疊的性質，得AD＝AF＝a，DE＝FE．∵點B的坐標為（1，0），點F的坐標為（0，3），∴BO＝1，FO＝3，∴AO＝AB﹣BO＝a﹣1．在Rt△AOF中，AO2+FO2＝AF2，∴（a﹣1）2+32＝a2，解得a＝5，∴FG＝OG﹣OF＝2，GE＝CD﹣CG﹣DE＝4﹣DE．在Rt△EGF中，GE2+FG2＝EF2，∴（4一DE）2+22＝DE2，解得DE＝2.5，∴GE＝1.5，∴點E的坐標為（﹣1.5，5）．故答案為：（﹣1.5，5）．25．【解答】解：如圖，作點D關于AB，AC的對稱點N，M，連接AM，AN，EN，FN，MN，AD，∴△DEF周長為DE+EF+FD＝NE+EF+FM≥MN，當N，E，F，M四點共線時取得最小值，∵N，M是D關于AB，AC的對稱點，∴∠NAE＝∠EAD，∠FAD＝∠FAM，AN＝AD＝AM，又∵∠EAD+∠FAD＝45°，∴∠NAM＝∠NAE+∠EAD+∠FAD+∠FAM＝90°，∴△AMN是等腰直角三角形，∴MN=2∴當AD⊥BC時，AD取得最小值，即△DEF周長最小，又∵∠B＝60°，AB=22∴AD∴△DEF周長最小為2AD=故答案為：23五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分．解答應寫出必要的文字說明或推演步驟．)26．【解答】解：（1）設A款“哪吒”紀念品每個進價為x元，B款“哪吒”紀念品每個進價為y元，由題意得200x+300y=14000100x+200y=8000解得x=40y=20答：A款“哪吒”紀念品每個進價為40元，B款“哪吒”紀念品每個進價為20元；（2）設需要購進B款紀念品m個，則需要購進A款紀念品（400﹣m）個，由題意得，40（400﹣m）+20m≤12000，解得m≥200，∴m的最小值為200，答：至少需要購進B款紀念品200個；（3）由題意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）]＝（a﹣40）（200﹣5a+300）＝（a﹣40）（500﹣5a）＝500a﹣20000﹣5a2+200a＝﹣5（a﹣70）2+4500，∵﹣5＜0，60≤a≤100，∴當a﹣70＝0，即a＝70時，W最大，最大值為4500．27．【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示：∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB是⊙O的半徑，⊙O恰好經過點D，交AB于點E，∴OE＝OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴OD⊥AC，又∵OD是⊙O半徑，∴直線AC是⊙O的切線；（2）解：設⊙O的半徑為R，∴OD＝OE＝OB＝R，∵點E是AO的中點，∴AE＝OE＝R，∴AO＝2R，由（1）可知：OD⊥AC，∴在Rt△AOD中，sinA=OD∴∠A＝30°，∴∠AOD＝60°，∵AD＝3，∴tanA=OD∴OD＝AD?tanA＝3×tan30°=3∴S△AOD=12AD?OD=12×3×3∴陰影部分的面積為：S△AOD﹣S扇形EOD=3（3）∵BE是⊙O直徑，∴∠BDE＝90°，在Rt△BDE中，sin∠DBA=DE設DE=5a，BE＝5由勾股定理得：BD=B∴OD=12BE＝2.5∵∠OBD＝∠CBD，∠BDE＝∠C＝90°，∴△BDE∽△BCD，∴DECD∴5a∴CD＝2a，BC＝4a，∵由（1）可知：