第五章垂線段人教版數學七年級下冊如圖所示,村莊A要從河流l引水入莊,需修筑一水渠,如何修水渠最短呢？導入新知1.經歷觀察、操作、想像、歸納概括、交流等活動，進一步發展空間觀念，用幾何語言準確表達能力。2.了解垂線段的概念，了解垂線段最短的性質，體會點到直線的距離的意義，并會度量點到直線的距離.學習目標1知識點垂線段的定義如圖所示，點P是直線l外的一點，PO與直線l垂直，點O為垂足，我們把線段PO叫做點P到直線l的垂線段.合作探究過直線外一點畫已知直線的垂線，連接這點與垂足之間的線段，叫做這點到已知直線的垂線段.新知小結如圖所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，則下面的結論中，正確的個數為()①AB與AC互相垂直；②AD與AC互相垂直；③點C到AB的垂線段是線段AB；④點A到BC的距離是線段AB；⑤線段AB的長度是點B到AC的距離；⑥線段AB是點B到BC的距離．A．2B．3C．4D．5例1A合作探究根據垂直定義，可知①正確，②錯誤；點C到AB的垂線段應是線段AC，故③錯誤；點到直線的距離是線段的長度而不是線段，故④⑥錯誤；⑤符合定義，正確．分析：解答概念、性質辨析題，首先要熟記概念和性質，然后根據垂線的定義與性質、垂線段與點到直線距離的概念作出正確的判斷即可．所以記憶與理解相結合是學好數學的前提.新知小結下列說法正確的是(

)A．垂線段就是垂直于已知直線的線段B．垂線段就是垂直于已知直線并且與已知直

線相交的線段C．垂線段是一條豎起來的線段D．過直線外一點向該直線作垂線，這一點到

垂足之間的線段叫垂線段1D鞏固新知2知識點垂線段的性質思考如圖，在灌溉時，要把河中的水引到農田P處，如何挖渠能使渠道最短？合作探究連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.垂線段最短PABCmD簡單說成：垂線段最短．連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

簡單說成：垂線段最短.新知小結如圖所示，AB是一條河流，要鋪設管道將河水引到C、D兩個用水點，現有兩種鋪設管道的方案：方案一：分別過點C，D作AB的垂線，垂足分別為點E，F，沿CE，DF鋪設管道；方案二：連接CD交AB于點P，沿PC，PD鋪設管道．這兩種鋪設管道的方案哪一種更節省材料？為什么？(忽略河流的寬度)例2合作探究要盡可能節省材料，也就是讓管道的總長度最短．方案一中CE，DF是垂線段，而方案二中PC，PD不是垂線段，所以CE＜PC，DF＜PD，所以CE＋DF＜PC＋PD，所以方案一更節省材料．解：導引：按方案一鋪設管道更節省材料，理由如下：因為CE⊥AB，DF⊥AB，CD不垂直于AB，根據“垂線段最短”可知，CE＜PC，DF＜DP，所以CE＋DF＜PC＋DP.所以沿CE，DF鋪設管道更節省材料．

本題主要利用“垂線段最短”來解決實際問題，解這類求最短距離問題時，要注意“垂線段最短”與“兩點之間，線段最短”的區別，辨明這兩條性質的應用條件：點到直線的距離，兩點間的距離；正確運用解題方法．新知小結

例3如圖，平原上有A，B，C，D四個村莊，為解

決當地缺水問題，政府準備投資修建一個蓄水

池．(1)不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池H的位

置，使它到四個村莊距離之和最?。?2)計劃把河水引入蓄水池H中，怎樣開渠最短？

并說明根據．合作探究解：(1)如圖，連接AD，BC，交于點H，則H點為蓄水池

的位置，它到四個村莊距離之和最小．(2)如圖，過點H作HG⊥EF，垂足為G，則沿HG開

渠最短．根據：連接直線外一點與直線上各點的

所有線段中，垂線段最短．本題考查了垂線段的性質在實際生活中的運用．

體現了建模思想的運用．新知小結如圖，在鐵路旁有一李莊，現要建一火車站，為了使李莊人乘車最方便，請你在鐵路線上選一點來建火車站，應建在(

)A．A點B．B點C．C點D．D點1A鞏固新知如圖，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6cm，BC＝4cm，

則BD的長度的取值范圍是(

)A．大于4cm

B．小于6cmC．大于4cm或小于6cm

D．大于4cm且小于6cmD

3如圖，三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，點P

可以在直線BC上自由移動，則AP的長不可能是(

)A．2.5

B．3

C．4

D．5A3知識點點到直線的距離從直線外一點到這條直線所畫垂直線段的長度叫做這點到直線的距離.合作探究

例4如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D.若AC＝4cm，BC＝3cm，AB＝5cm，則點A到直線BC的距離為______cm，點B到直線AC的距離為______cm，點C到直線AB

的距離為______cm.432.4導引：根據點到直線的距離的定義可知，點A到直線BC

的距離是線段AC的長，點B到直線AC的距離是線

段BC的長，點C到直線AB的距離是線段CD的長．

因為三角形ABC的面積S＝

所以AC·BC＝AB·CD，進而可得CD＝2.4cm.

正確理解點到直線的距離及兩點間的距離是解決此類問題的關鍵．解決此類問題應注意：(1)點到直線的距離是點到直線的垂線段的長度，而不是垂線，也不是垂線段；(2)距離表示線段的長度，是一個數量，與線段不能等同；(3)用垂線段的長度表示點到直線的距離，其實質是點與垂足兩點間的距離，體現了數形結合思想．新知小結1如圖，三角形ABC中，∠C=90°.(1)分別指出點A到直線BC，點B到直線AC的距離

是哪些線段的長；(3)三條邊AB，AC，BC中哪條邊最長？為什么？A鞏固新知(1)點A到直線BC的距離是線段AC的長．點B到直

線AC的距離是線段BC的長．(2)AB邊最長．因為連接點B與AC上各點的所有線

段中，垂線段最短，已知BC⊥AC，所以BC<AB.連接點A與BC上各點的所有線段中，

垂線段最短，已知AC⊥BC，所以AC<AB.

綜上所述，三條邊AB，AC，BC中，AB邊最長．解：下列說法中，正確的有(

)①過兩點有且只有一條直線；②連接兩點的線段叫做兩點的距離；③兩點之間，垂線最短；④若AB＝BC，則點B是線段AC的中點．A．1個B．2個C．3個D．4個2A【中考·北京】如圖所示，點P到直線l的距離是(

)A．線段PA的長度B．線段PB的長度C．線段PC的長度D．線段PD的長度3B【中考·淄博】如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分別為A，D，則圖中能表示點到直線距離的線段共有(

)A．2條B．3條C．4條D．5條4D【中考·常州】已知三角形ABC中，BC＝6，AC＝3，CP⊥AB，垂足為P，則CP的長可能是(

)A．2B．4C．5D．75A

垂線段是一條與已知直線垂直的線段.垂線段所

在的直線是已知直線的垂線；垂線段所在的直線

與已知直線垂直．點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線

段的長度，叫做點到直線的距離．1知識小結歸納新知點P為直線m外一點，點A，B，C為直線m上三點，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，則點P到直線m的距離(

)A．等于4cmB．等于2cmC．小于2cmD．不大于2cm2易錯小結D易錯點：對垂線段的性質理解不透徹而致錯.錯解：B診斷：點到直線的距離是指這個點到直線的垂線段的長度．雖然垂線段最短，但是并沒有說明PC是垂線段，所以垂線段的長度可能小于2cm，也可能等于2cm.位置垂線段所在的直線是已知直線的垂線，垂線段所在的直線與已知直線垂直課后練習C垂線段垂線段最短垂線段最短距離的概念作出正確的判斷即可．所以記憶與理解相③兩點之間，垂線最短；PD不是垂線段，所以CE＜PC，DF＜PD，所以簡單說成：垂線段最短．如圖，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6cm，BC＝4cm，③點C到AB的垂線段是線段AB；直，點O為垂足，我們把線段PO叫做點P到直線l的垂線段所在的直線是已知直線的垂線，垂線段若AC＝4cm，BC＝3cm，AB＝的垂線段應是線段AC，故③錯誤；AB垂線段C

C線相交的線段如圖，在灌溉時，要把河中的水引到農田P處，要盡可能節省材料，也就是讓管道的總長度最并說明根據．直，點O為垂