數(shù)列考試題型及答案解析

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.數(shù)列1，3，5，7，…的通項(xiàng)公式是（）A.\(a_n=2n-1\)B.\(a_n=n\)C.\(a_n=2n+1\)D.\(a_n=n^2\)2.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，則\(a_5\)的值為（）A.9B.11C.7D.83.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(q=2\)，則\(a_3\)是（）A.4B.8C.16D.324.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)，則\(a_3\)的值為（）A.5B.6C.7D.85.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=\)（）A.\(na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)B.\(na_1+nd\)C.\(\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.\(n(a_1+a_n)\)6.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_2=4\)，\(a_4=16\)，則公比\(q\)為（）A.2B.-2C.\(\pm2\)D.47.數(shù)列\(zhòng)(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots\)的通項(xiàng)公式是（）A.\(a_n=(\frac{1}{2})^{n-1}\)B.\(a_n=(\frac{1}{2})^n\)C.\(a_n=\frac{1}{2n}\)D.\(a_n=\frac{1}{n^2}\)8.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3+a_5=10\)，則\(a_4\)的值為（）A.5B.6C.8D.109.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=4\)，則\(a_2\)的值為（）A.2B.-2C.\(\pm2\)D.310.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}-a_n=3\)，\(a_1=1\)，則\(a_n\)是（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于等差數(shù)列的有（）A.1，3，5，7B.2，4，8，16C.5，5，5，5D.1，-1，1，-12.等比數(shù)列的性質(zhì)有（）A.\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)（\(m+n=p+q\)）B.若\(q=1\)，則數(shù)列為常數(shù)列C.\(S_n\)，\(S_{2n}-S_n\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)仍成等比數(shù)列（\(q\neq-1\)）D.\(a_{n+1}^2=a_n\cdota_{n+2}\)3.求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法有（）A.觀察法B.累加法C.累乘法D.公式法4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)的相關(guān)說(shuō)法正確的是（）A.\(S_n\)是關(guān)于\(n\)的二次函數(shù)（\(d\neq0\)時(shí)）B.\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)C.\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)D.\(S_n\)的最值可以通過(guò)二次函數(shù)性質(zhì)求（\(d\neq0\)時(shí)）5.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，公比\(q\)滿足（）A.\(q\neq0\)B.當(dāng)\(q\gt1\)，\(a_1\gt0\)時(shí)，數(shù)列遞增C.當(dāng)\(0\ltq\lt1\)，\(a_1\gt0\)時(shí)，數(shù)列遞減D.\(q\)可以為任意實(shí)數(shù)6.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)與\(a_n\)的關(guān)系有（）A.\(a_1=S_1\)B.\(a_n=S_n-S_{n-1}\)（\(n\geq2\)）C.\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)D.\(a_n\)可以由\(S_n\)推出7.下列數(shù)列中，有極限的是（）A.\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(2,2,2,2,\cdots\)D.\(0.9,0.99,0.999,\cdots\)8.等差數(shù)列的判定方法有（）A.\(a_{n+1}-a_n=d\)（常數(shù)）B.\(2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}\)C.\(a_n=an+b\)（\(a\)，\(b\)為常數(shù)）D.\(S_n=An^2+Bn\)（\(A\)，\(B\)為常數(shù)）9.等比數(shù)列的判定方法有（）A.\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)（\(q\neq0\)常數(shù)）B.\(a_{n+1}^2=a_n\cdota_{n+2}\)（\(a_n\neq0\)）C.\(a_n=a_1q^{n-1}\)D.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）10.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n\)，則（）A.\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列B.\(a_n=2^{n-1}\)C.前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=2^n-1\)D.\(a_3=4\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.常數(shù)列一定是等差數(shù)列。（）2.常數(shù)列一定是等比數(shù)列。（）3.若\(a_n=3^n\)，則\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列。（）4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1\gt0\)，\(d\lt0\)，則\(S_n\)有最大值。（）5.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1\lt0\)，\(q\lt0\)，則數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列。（）6.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2+1\)，則\(a_n=2n-1\)。（）7.若\(a_n\)與\(a_{n+1}\)的差是常數(shù)，則\(\{a_n\}\)是等差數(shù)列。（）8.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，公比\(q\)可以為\(0\)。（）9.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式一定是關(guān)于\(n\)的一次函數(shù)。（）10.數(shù)列極限一定存在。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，求\(a_n\)。答案：根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，將\(a_1=2\)，\(d=3\)代入，可得\(a_n=2+3(n-1)=3n-1\)。2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_4=8\)，求公比\(q\)。答案：由等比數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，\(a_4=a_1q^3\)，已知\(a_1=1\)，\(a_4=8\)，則\(q^3=8\)，解得\(q=2\)。3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2+n\)，求\(a_n\)。答案：當(dāng)\(n=1\)時(shí)，\(a_1=S_1=1^2+1=2\)；當(dāng)\(n\geq2\)時(shí)，\(a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n\)。\(n=1\)時(shí)也滿足\(a_n=2n\)，所以\(a_n=2n\)。4.簡(jiǎn)述等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法。答案：采用倒序相加法。設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)，將其倒序?qū)憺閈(S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1\)，兩式相加，可得\(2S_n=n(a_1+a_n)\)，從而得出\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。答案：等差數(shù)列\(zhòng)(a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d)\)（\(d\neq0\)時(shí)），其通項(xiàng)公式是關(guān)于\(n\)的一次函數(shù)，\(d\)是斜率；\(d=0\)時(shí)為常數(shù)列。前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=\fracr6iftz6{2}n^2+(a_1-\fraccjsgd80{2})n\)（\(d\neq0\)時(shí)）是關(guān)于\(n\)的二次函數(shù)。2.等比數(shù)列在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用？答案：等比數(shù)列在金融領(lǐng)域用于計(jì)算復(fù)利，隨著時(shí)間推移，本息和按等比數(shù)列增長(zhǎng)；在細(xì)胞分裂中，細(xì)胞數(shù)量按等比數(shù)列增加；在藥物在體內(nèi)代謝中，藥物濃度隨時(shí)間以等比數(shù)列形式衰減等。3.如何根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)判斷數(shù)列類型？答案：觀察相鄰兩項(xiàng)的差，若差為常數(shù)則可能是等差數(shù)列；觀察相鄰兩項(xiàng)的比，若比為常數(shù)則可能是等比數(shù)列。再結(jié)合特殊項(xiàng)關(guān)系，如\(2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}\)可輔助判斷等差數(shù)列，\(a_{n+1}^2=a_n\cdota_{n+2}\)輔助判斷等比數(shù)列。4.當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比\(q\)滿足\(0\ltq\lt1\)和\(q\gt1\)時(shí)，數(shù)列的單調(diào)性有何不同？答案：當(dāng)\(q\gt1\)，\(a_1\gt0\)時(shí)，數(shù)列遞增；\(a_1\lt0\)時(shí)，數(shù)列遞減。當(dāng)\(0\ltq\lt1\)，\(a_1\gt0\)時(shí)，數(shù)列遞減；\(a_1\lt0\)時(shí)，數(shù)