PAGE7/21選修1-22.1.2演繹推理（陳昌杰）一、教學目標1．核心素養通過對演繹推理的學習，在數學體驗中培養學生的抽象能力和邏輯推理的能力．2．學習目標(1)結合已學過的數學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行一些簡單的推理．(2)結合生活中的實例，創設民主的學習氛圍和生動的學習情景，鼓勵，引導學生通過思考，質疑等豐富多彩的認知過程來獲取數學知識(3)發展學習數學的興趣，讓學生樂于探究數與形變化的奧秘，體驗數學探究的艱辛和喜悅，感受數學世界的奇妙和諧．(4)結合已學過的數學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行一些簡單的推理．3．學習重點了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進行簡單的推理4．學習難點分析證明過程中包含的“三段論”形式．二、教學設計（一）課前設計1．預習任務任務1預習教材P30—P33思考：什么是演繹推理？演繹推理的模式是什么？2．預習自測1．有一段演繹推理是這樣的“有些有理數是真分數，整數是有理數，則整數是真分數”，結論顯然是錯誤的，是因為（）A．大前提錯誤B．小前提錯誤C．推理形式錯誤D．非以上錯誤答案：C2．演繹推理是以下列哪個為前提，推出某個特殊情況下的結論的推理方法（）A．一般的原理原則B．特定的命題C．一般的命題D．定理、公式答案：A3．下列表述正確的是（）①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案：D（二）課堂設計1．知識回顧現在冰雪覆蓋的南極大陸，地質學家說它們曾在赤道附近，是從熱帶飄移到現在的位置的，為什么呢？原來在它的地底下，有著豐富的煤礦，煤礦中的樹葉表明它們是闊葉樹．從繁茂的闊葉樹可以推知當時有溫暖濕潤的氣候．所以南極大陸曾經在溫濕的熱帶．被人們稱為世界屋脊的西藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立．西藏高原南端的喜馬拉雅山橫空出世，雄視世界．珠穆郎瑪峰是世界第一高峰，登上珠峰頂，一覽群山小．誰能想到，喜馬拉雅山所在的地方，曾經是一片汪洋，高聳的山峰的前身，竟然是深不可測的大海．地質學家是怎么得出這個結論的呢？科學家們在喜馬拉雅山區考察時，曾經發現高山的地層中有許多魚類、貝類的化石．還發現了魚龍的化石．地質學家們推斷說，魚類貝類生活在海洋里，在喜馬拉雅山上發現它們的化石，說明喜馬拉雅山曾經是海洋．科學家們研究喜馬拉雅變遷所使用的方法，就是一種名叫演繹推理的方法．2．問題探究問題探究一什么是演繹推理●活動一1．什么是演繹推理？從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論的推理方法．●活動二2．演繹推理的一般模式分析喜馬拉雅山所在的地方，曾經是一片汪洋推理過程：魚類、貝類、魚龍，都是海洋生物，它們世世代代生活在海洋里……大前提在喜馬拉雅山上發現它們的化石……小前提喜馬拉雅山曾經是海洋……結論三段論 （1）大前提……已知的一般原理（2）小前提……所研究的特殊情況（3）結論……根據一般原理，對特殊情況作出的判斷三段論推理是演繹推理的主要模式，推理形式為“如果b?c，a?b，則a?c．”其中，b?c為大前提，提供了已知的一般性原理；a?b為小前提，提供了一個特殊情況；a?c為大前提和小前提聯合產生的邏輯結果．先看下面的例子：把下列語句寫成三段論的形式：（1）太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行，冥王星是太陽系的大行星，因此冥王星以橢圓形軌道繞太陽運行；（2）在一個標準大氣壓下，水的沸點是100°C，所以在一個標準大氣壓下把水加熱到100°C時，水會沸騰；（3）一切奇數都不能被2整除，是奇數，所以不能被2整除；（4）三角函數都是周期函數，是三角函數，因此是周期函數；（5）兩條直線平行，同旁內角互補．如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內角，那么∠A+∠B=180°解答如下：（1）大前提：太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行小前提：冥王星是太陽系的大行星結論：冥王星以橢圓形軌道繞太陽運行(2)大前提：在一個標準大氣壓下，水的沸點是100°C小前提：在一個標準大氣壓下把水加熱到100°C時結論：水會沸騰（3）大前提：一切奇數都不能被2整除小前提：是奇數結論：不能被2整除（4）大前提：三角函數都是周期函數小前提：是三角函數結論：是周期函數（5）大前提：兩條直線平行，同旁內角互補小前提：∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內角結論：∠A+∠B=180°問題探究二三段論推理的可靠性●活動一三段論推理一定是可靠的嗎？只有“大前提、小前提”都正確的前提下，“結論”才正確．看下面的例子：（1）有一段演繹推理是這樣的“有些有理數是真分數，整數是有理數，則整數是真分數”．這個推理是否正確？為什么？顯然這個推理不正確，原因是大前提不正確．（2）兩條直線平行，同旁內角互補，如果∠A和∠B是兩條平行線的同位角，那么∠A＋∠B＝180°顯然這個推理不正確，原因是小前提不正確．問題探究三合情推理與演繹推理的區別●活動一歸納和類比是常用的合情推理，從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理．從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確．人們在認識世界的過程中，需要通過觀察、實驗等獲取經驗；也需要辨別它們的真偽，或將積累的知識加工、整理，使之條理化、系統化．合情推理和演繹推理分別在這兩個環節中扮演著重要角色．就數學而言，演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的重要思維過程．但數學結論、證明思路等的發現，主要靠合情推理．因此，我們不僅要學會證明，也要學會猜想．問題探究四活學活用演繹推理●活動一把演繹推理寫成三段論的形式把演繹推理寫成三段論的形式必須弄清問題的大前提、小前提和結論．例1將下列演繹推理寫成三段論的形式．(1)一切奇數都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇數．(2)三角形的內角和為180°，Rt△ABC的內角和為180°．(3)菱形對角線互相平分．(4)通項公式為an＝3n＋2(n≥2)的數列{an}為等差數列．【知識點：演繹推理】詳解：(1)一切奇數都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇數．(結論)(2)三角形的內角和為180°．(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的內角和為180°．(結論)(3)平行四邊形對角線互相平分．(大前提)菱形是平行四邊形．(小前提)菱形對角線互相平分．(結論)(4)數列{an}中，如果當n≥2時，an－an－1為常數，則{an}為等差數列．(大前提)通項公式an＝3n＋2，n≥2時，an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常數)．(小前提)通項公式為an＝3n＋2(n≥2)的數列{an}為等差數列．(結論)點拔：注意“三段論”的基本形式，即：“大前提、小前提和結論”．三段論推理是演繹推理的主要模式，推理形式為“如果b?c，a?b，則a?c．”其中，b?c為大前提，提供了已知的一般性原理；a?b為小前提，提供了一個特殊情況；a?c為大前提和小前提聯合產生的邏輯結果．●活動二三段論在幾何中的應用例2已知在梯形ABCD中，如圖，AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形的對角線，求證：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA．【知識點：演繹推理】詳解：∵等腰三角形兩底角相等， (大前提)△DAC是等腰三角形，∠1和∠2是兩個底角， (小前提)∴∠1＝∠2． (結論)∵兩條平行線被第三條直線截得的內錯角相等， (大前提)∠1和∠3是平行線AD、BC被AC截得的內錯角， (小前提)∴∠1＝∠3． (結論)∵等于同一個角的兩個角相等， (大前提)∠2＝∠1，∠3＝∠1， (小前提)∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD． (結論)同理可證DB平分∠CBA．例3已知A，B，C，D四點不共面，M，N分別是△ABD和△BCD的重心，求證：MN∥平面ACD．【知識點：演繹推理，三角形的重心，線線平行，線面平行】詳解：如圖所示，連接BM，BN并延長，分別交AD，DC于P，Q兩點，連接PQ．因為M，N分別是△ABD和△BCD的重心， (小前提)所以P，Q分別是AD，DC的中點． (結論)又因為eq\f(BM,MP)＝eq\f(BN,NQ)， (小前提)所以MN∥PQ， (結論)又MN?平面ADC，PQ?平面ADC， (小前提)所以MN∥平面ACD． (結論)點拔：(1)三段論是最重要且最常用的推理表現形式，我們以前學過的平面幾何與立體幾何的證明，都不自覺地運用了這種推理，只不過在利用該推理時，往往省略了大前提．(2)幾何證明問題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，將一般性原理應用于特殊情況，就能得出相應結論．●活動三三段論在代數中的應用例4已知a，b，m均為正實數，b＜a，用三段論形式證明eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)【知識點：演繹推理，不等式的性質】詳解：因為不等式(兩邊)同乘以一個正數，不等號不改變方向， (大前提)b＜a，m＞0， (小前提)所以，mb＜ma． (結論)因為不等式兩邊同加上一個數，不等號不改變方向， (大前提)mb＜ma， (小前提)所以，mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)． (結論)因為不等式兩邊同除以一個正數，不等號不改變方向， (大前提)b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0， (小前提)所以，，即． (結論)點拔：使用三段論應注意的問題(1)應用三段論證明問題時，要充分挖掘題目外在和內在條件(小前提)，根據需要引入相關的適用的定理和性質(大前提)，并保證每一步的推理都是正確的，嚴密的，才能得出正確的結論．(2)證明中常見的錯誤：①條件分析錯誤(小前提錯)．②定理引入和應用錯誤(大前提錯)．③推理過程錯誤等．●活動四三段論在應用中的易錯問題例5(1)定義在實數集R上的函數f(x)，對任意x，y∈R，有f(x－y)＋f(x＋y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，求證：f(x)是偶函數．【知識點：演繹推理，奇、偶函數】證明：令x＝y＝0，則有f(0)＋f(0)＝2f(0)×f(0)，因為f(0)≠0，所以f(0)＝1，令x＝0，則有f(－y)＋f(y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(－y)＝f(y)，因此，f(x)是偶函數．以上證明結論“f(x)是偶函數”運用了演繹推理的“三段論”，其中大前提是：___________________________．解析：通過兩次賦值先求得“f(0)＝1”，再證得“f(－y)＝f(y)”，從而得到結論“f(x)是偶函數”．所以這個三段論推理的小前提是“f(－y)＝f(y)”，結論是“f(x)是偶函數”，顯然大前提是“若對于定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，則f(x)是偶函數”．答案：若對于定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，則f(x)是偶函數(2)所有眼睛近視的人都是聰明人，我近視得很厲害，所以我是聰明人．下列各項中揭示了上述推理是明顯錯誤的是________．【知識點：演繹推理】①我是個笨人，因為所有的聰明人都是近視眼，而我的視力那么好．②所有的豬都有四條腿，但這種動物有八條腿，所以它不是豬．③小陳十分高興，所以小陳一定長得很胖，因為高興的人都長得很胖．④所有尖嘴的鳥都是雞，這種總在樹上待著的鳥是尖嘴的，因此這種鳥是雞．解析：根據④中的推理可得：這種總在樹上待著的鳥是雞，這顯然是錯誤的．①②③不符合三段論的形式．答案：④點拔：解本題的關鍵是透徹理解三段論推理的形式：大前提——小前提——結論，其中大前提是一個一般性的命題，即證明這個具體問題的理論依據．因此結合f(x)是偶函數的定義和證明過程容易確定本題答案．本題易誤認為題目的已知條件為大前提而導致答案錯誤．3．課堂總結【知識梳理】比較：合情推理與演繹推理的區別與聯系從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個體到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理．從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待于進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確．人們在認識世界的過程中，需要通過觀察、實驗等獲取經驗；也需要辨別它們的真偽，或將積累的知識加工、整理，使之條理化，系統化，合情推理和演繹推理分別在這兩個環節中扮演著重要的角色.就數學而言，演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的重要思維過程，但數學結論、證明思路等的發現，主要靠合情推理．因此，我們不僅要學會證明，也要學會猜想．【難點突破】（1）檢驗假設和理論：演繹法對假說作出推論,同時利用觀察和實驗來檢驗假設．（2）邏輯論證的工具：為科學知識的合理性提供邏輯證明．（3）作出科學預見的手段：把一個原理運用到具體場合,作出正確推理．演繹推理是一種必然性推理,推理的前提是一般,推出的結論是個別,一般中概括了個別．事物有共性,必然蘊藏著個別,所以“一般”中必然能夠推演出“個別”,而推演出來的結論是否正確,取決于：大前提是否真確,推理是否合乎邏輯．演繹法也有其局限,推理結論的可靠性受前提（歸納的結論）的制約,而前提是否正確在演繹范圍內是無法解決的．歸納法和演繹法在認識論中的辯證關系：歸納法是由認識個別到認識一般；演繹法是由認識一般進而認識個別．4．隨堂檢測1．已知函數f(x)＝x3＋m·2x＋n是奇函數，則（）A．m＝0B．m＝0，或n＝0C．n＝0D．m＝0，且n＝0解：D【知識點：演繹推理，奇、偶函數】2．設a＝(x,4)，b＝(3,2)，若a∥b，則x的值是（）A．－6B．eq\f(8,3)C．－eq\f(8,3)D．6解：∵a∥b，∴eq\f(x,3)＝eq\f(4,2)，∴x＝6．故答案為D．3．設n是自然數，則eq\f(1,8)(n2－1)的值（）A．一定是零B．不一定是偶數C．一定是偶數D．是整數但不一定是偶數答案：C解析：當n為偶數時，eq\f(1,8)(n2－1)＝0為偶數；當n為奇數時(n＝2k＋1，k∈N)，eq\f(1,8)(n2－1)＝eq\f(1,8)(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)為偶數．所以eq\f(1,8)(n2－1)的值一定為偶數．答案為C4．等差數列{an}中，an>0，公差d>0，則有a4·a6>a3·a7，類比上述性質，在等比數列{bn}中，若bn>0，q>1，寫出b5，b7，b4，b8的一個不等關系________．答案：b4＋b8>b5＋b7解析：將乘積與和對應，再注意下標的對應，有b4＋b8>b5＋b7．（三）課后作業基礎型自主突破1．“所有的金屬都能導電，鐵是金屬，所以鐵能導電，”此類推理類型屬于（）A．演繹推理B．類比推理C．合情推理D．歸納推理答案：A【知識點：演繹推理】“所有的金屬都能導電”是大前提，“鐵是金屬”是小前提，“鐵能導電”是結論．此類推理類型屬于演繹推理，故選A．2．“是無限不循環小數，所以是無理數．”該命題是演繹推理中的三段論推理，其中大前提是（）A．無理數是無限不循環小數B．有限小數或有限循環小數為有理數C．無限不循環小數是無理數D．無限小數是無理數答案：C【知識點：演繹推理】解：大前提是無限不循環小數是無理數，選C．3．“凡是自然數都是整數，4是自然數，所以4是整數．”以上三段認推理（）A．正確B．推理形式不正確C．不正確，兩個“自然數”概念不一致D．不正確，兩個“整數”概念不一致答案：A【知識點：演繹推理】解：大前提“凡是自然數都是整數”，正確；小前提“4是自然數”也正確；推理形式符合演繹推理，所以結論正確．4．推理：“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③三角形不是矩形．”中的小前提是（）A．①B．③C．①② D．②答案：D【知識點：演繹推理】解：，其理由為“大前提：矩形是平行四邊形；小前提：三角形不是平行四邊形；結論：三角形不是矩形．”5．在△ABC中，E、F分別為AB、AC的中點，則有EF//BC．這個命題的大前提為（）A．三角形的中位線平行于第三邊B．三角形的中位線等于第三邊的一半C．EF為中位線D．EF//BC答案：A【知識點：演繹推理】解：大前提是一個一般性的結論，故選A6．下列說法正確的是（）A．類比推理是由特殊到一般的推理B．演繹推理是由特殊到一般的推理C．歸納推理是個別到一般的推理D．合情推理可以作為證明的步驟答案：C【知識點：演繹推理】解：歸納推理是由部分到整體的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理；合情推理的結論不一定正確，不可以作為證明的步驟．故選C．7．下面幾種推理過程是演繹推理的是（）A．兩條直線平行，同旁內角互補，因為∠A和∠B是兩條平行直線被第三條直線所截得的同旁內角，所以∠A＋∠B＝180°B．我國地質學家李四光發現中國松遼地區和中細亞的地質結構類似，而中細亞有豐富的石油，由此，他推斷松遼地區也蘊藏著豐富的石油C．由，得出結論：一個偶數（大于4）可以寫成兩個素數之和D．在數列中，（），由此歸納出數列的通項公式答案：A【知識點：演繹推理】解：選項A中“兩條直線平行，同旁內角互補”是大前提，是真命題，該推理為三段論推理，選項B為類比推理，選項C、D都是歸納推理．能力型師生共研1．用三段論推理：“任何實數的平方大于0，因為是實數，所以”．你認為這個推理（）A．大前提錯誤B．小前提錯誤C．推理形式錯誤D．是正確的答案：A【知識點：演繹推理】解：大前提“任何實數的平方大于0”錯誤，應該是“任何實數的平方大于或等于0”．故選擇A．2．以下說法正確的個數是（）①公安人員由罪犯的腳印的尺寸估計罪犯的身高情況，所運用的是類比推理；②農“瑞雪兆豐年”是通過歸納推理得到的；③由平面幾何中圓的一些性質，推測出球的某些性質，這是運用了類比推理；④個位是5的整數是5的倍數，2375的個位是5，因此，2375是5的倍數，這是運用了演繹推理．A．0B．2C．3D．4答案：C【知識點：演繹推理】解：本題主要考查了幾種推理與證明的判斷．②③④都是正確的，對于①公安人員由罪犯的腳印的尺寸估計罪犯的身高情況，所運用的是歸納推理，故選C．3．下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是（）①函數是三角函數；②三角函數是周期函數；③函數是周期函數．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①答案：B【知識點：演繹推理】解：∵“三段論”的結構是“若S是P，Q是S，則Q是P”，故選擇B．4．商家通常依據“樂觀系數準則”確定商品銷售價格，及根據商品的最低銷售限價，最高銷售限價以及實數確定實際銷售價格，這里被稱為樂觀系數．經驗表明，最佳樂觀系數恰好使得是和的等比中項，據此可得，最佳樂觀系數x的值等于______．答案：【知識點：演繹推理，等比數列，等比中項】解：∵，即，∴①∵是和的等比中項，即將①兩邊同乘以，可得，即②根據，可得，則③由②③可得，又，∴，解得：，又，∴∴最佳樂觀系數的值等于．探究型多維突破1．對于三次函數，給出定義是的導函數的導函數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”，任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若三次函數，請你根據這一發現，求：（1）的對稱中心為____________；（2）____________．答案：；2018【知識點：演繹推理，函數與導數】解：（1），，令得，，又，故對稱中心為．（2）由（1）可得：，．2．如右圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．(1)求證：PC⊥BC；(2)求點A到平面PBC的距離．答案：見解析解析：【知識點：演繹推理，棱錐的概念，錐體的體積，線線垂直，線面垂直，點到平面的距離】(1)∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC．由∠BCD＝90°，得BC⊥DC．又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC．∵PC?平面PDC，∴BC⊥PC，即PC⊥BC．(2)連接AC．設點A到平面PBC的距離為h，∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°．從而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面積S△ABC＝1，由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·PD＝eq\f(1,3)．∵PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，∴PD⊥DC，又PD＝DC＝1．∴PC＝eq\r(PD2＋DC2)＝eq\r(2)．由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面積S△PBC＝eq\f(\r(2),2)，由V＝eq\f(1,3)S△PBC·h＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(2),2)·h＝eq\f(1,3)，得h＝eq\r(2)．因此，點A到平面PBC的距離為eq\r(2)．（四）自助餐1．下面幾種推理過程是演繹推理的是（）A．兩條直線平行，同旁內角互補，如果∠A和∠B是兩條平行線的同旁內角，那么∠A＋∠B＝180°B．由平面三角形的性質，推測空間四面體的性質C．某高校共有10個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班都超過50人D．在數列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)(an－1＋eq\f(1,an－1))(n≥2)，由此歸納出{an}的通項公式解：A【知識點：演繹推理】2．在演繹推理中，只要________是正確的，結論必定是正確的．答案：大前提和推理過程【知識點：演繹推理】3．關于函數f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0)，有下列命題：①其圖象關于y軸對稱；②當x>0時，f(x)為增函數；③f(x)的最小值是lg2；④當－1<x<0，或x>1時，f(x)是增函數；⑤f(x)無最大值，也無最小值．其中正確結論的序號是________．答案：①③④【知識點：演繹推理,函數的性質】易知f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數，其圖象關于y軸對稱，①正確．當x>0時，f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)＝lg(x＋eq\f(1,x))．∵g(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是減函數，在(1，＋∞)上是增函數，∴f(x)在(0,1)上是減函數，在(1，＋∞)上是增函數，故②不正確，而f(x)有最小值lg2，故③正確，④也正確，⑤不正確．答案為①③④4．因為中國的大學分布在全國各地，大前提北京大學是中國的大學，小前提所以北京大學分布在全國各地．結論(1)上面的推理形式正確嗎？為什么？(2)推理的結論正確嗎？為什么？【知識點：演繹推理】解：(1)推理形式錯誤．大前提中的M是“中國的大學”它表示中國的所有大學，而小前提中M雖然也是“中國的大學”，但它表示中國的一所大學，二者是兩個不同的概念，故推理形式錯誤．(2)由于推理形式錯誤，故推理的結論錯誤．5．已知a，b，c是實數，函數f(x)＝ax2＋bx＋c，當|x|≤1時，|f(x)|≤1，證明|c|≤1，并分析證明過程中的三段論．證明∵|x|≤1時，|f(x)|≤1．x＝0滿足|x|≤1，∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1．證明過程中的三段論分析如下：大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；結論是|f(0)|≤1．6．如圖，在空間四邊形ABCD中，點E，F分別是AB，AD的中點，試用三段論的形式證明EF∥平面BCD．【知識點：演繹推理，三角形的中位線，線面平行的判定】證明：連接BD．∵三角形的中位線平行于第三邊，大前提而EF是△ABD的中位線，小前提∴EF∥BD．結論∵如果不在平面內的一條直線和該平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行，大前提而EF?平面BCD，BD?平面BCD，且EF∥BD，小前提∴EF∥平面BCD．結論7．數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，(n＝1,2,3，…)．證明：(1)數列eq\b\lc\{\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比數列；(2)Sn＋1＝4an．【知識點：演繹推理，數列的概念，等比數列】證明(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n＝1,2,3，…)，∴(n＋2)Sn＝nan＋1＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)(n＝1,2,3，…)．故數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是首項為1，公比為2的等比數．(2)由(1)知，eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)(n≥2)，則Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4an(n≥2)．又∵a2＝3S1＝3，∴S2＝a1＋a2＝4＝4a1．故對任意的n∈N*，有Sn＋1＝4an．數學視野類比推理雖然不能直接推動社會進步，但它在人們的認識中具有重要作用．它可以拓展人們的眼界，可以為人們改造和認識世界、推動社會進步提供一個有效的思維方法．1．類比推理是探索真理的重要邏輯形式

類比推理是在已有知識的基礎上進一步發展科學的一種有效的探索方法．在科學研究中具有開拓思路、提供線索、舉一反三、觸類旁通的作用，正如康德所說：“每當理智缺乏可靠的論證思路時，類比這個方法往往指引我們前進．”科學史上很多著名的發現是借助于類比推理而獲得的．

據歷史記載，西拉克斯的國王為慶功謝神，命金匠打造了一頂純金皇冠，要獻給不朽的神．完工后，國王懷疑皇冠不純，但在不毀壞皇冠的情況下找不到解決的方法，便請教好友阿基米德．這就是著名的皇冠問題．阿基米德苦思一段時間，也無所得．一日，他到澡堂洗澡，當他的身體進入浴池時，他敏銳地察覺到水位上升，由此受到啟迪，產生聯想，于是把在自己進入浴池中水位上升與求皇冠質量進行類比，發現了浮力原理這一共同規律，并解決了“皇冠問題”．在這之后，浮力原理被廣泛應用于科學研究與生產生活之中．2．類比推理可以幫助人們提出科學假說

類比推理是形成科學假說的重要推理形式．在科學史上，許多重要的科學假說都是利用類比推理的思維方法建立起來的．

19世紀中葉，奧地利首都維也納有一位醫生，名叫奧恩布魯格．有一次，他給一位病人看病，沒有檢查出什么嚴重疾病，但病人很快就死了．經過解剖尸體查看，發現胸膛積滿膿水．醫生想，以后再碰到這樣的病人怎么診斷？忽然想起他父親在經營酒店時，常用手指關節敲木質酒桶，聽到卜卜的叩擊聲，就能估量出木桶中還有多少酒．他思考：人們的胸膛不是很像酒桶嗎？他通過反復探索胸部疾病和叩擊聲音之間變化的關系，終于寫出《用叩診人體胸部發現胸膛內部疾病的新方法》的醫學論文，發明了“叩診”這一醫療方法．

在上例中，奧恩布魯格就是運用類比推理把“酒桶和裝酒量”與“人的胸膛和胸腔積水”作類比：同是封閉的物體，內藏液體，叩擊時能發出聲音等，從而根據叩桶知酒量而推出叩胸知病情的結論．此外，在科學發展史上，惠更斯提出的光的波動假說，盧瑟福及其學生提出的原子結構的行星模型假說，也都是運用類比推理建立了巨大的功績．3．類比推理為現代科學技術經常應用的仿生學提供了