2025年6月慈溪市高二數(shù)學(xué)學(xué)考模擬試題一、選擇題（本題共15小題，每小題3分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分）1.已知集合，若，則（）A.3 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得，且，即可得到和為方程的兩個實(shí)數(shù)根，從而得解；【詳解】解：因為且，所以，且，又，所以和為方程的兩個實(shí)數(shù)根，所以；故選：D2.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由正切函數(shù)的定義計算即可求解.【詳解】解：由題意得.故選：B.3.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，得到一元二次不等式，即可求解.【詳解】解：由題可知，即，解得或.故函數(shù)的定義域為.故選：D.4.已知（虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義得，即可確定虛部.【詳解】由題設(shè)，故其虛部為3.故選：C5.計算：（）A.10 B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值即可.【詳解】.故選：B6.為了得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位【答案】D【解析】【分析】函數(shù)可變，再根據(jù)左右平移原理即可得出答案.【詳解】解：由函數(shù)，則為了得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像向左平移個單位即可.故選：D.7.如圖，在正方體中，直線與平面的位置關(guān)系為（）A.直線在平面內(nèi) B.直線與平面相交但不垂直C.直線與平面相交且垂直 D.直線與平面平行【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)判斷直線與面的位置關(guān)系即可.【詳解】由正方體的性質(zhì)知：面即為面，而直線與面交于，但不垂直.故選：B8.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】判斷條件間的推出關(guān)系，根據(jù)充分必要性的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)：若異號，即，顯然成立；若或，均有成立；所以充分性成立；當(dāng)：若，，顯然不成立，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A9.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理進(jìn)行邊化角，進(jìn)而求出角A，再結(jié)合余弦定理即可求得答案.【詳解】由正弦定理可知，，易知，則，而，則或，再由余弦定理可得或.故選：B.10.通蘇嘉甬高速鐵路起自南通西站，經(jīng)蘇州市、嘉興市后跨越杭州灣進(jìn)入寧波市，全線正線運(yùn)營長度，其中新建線路長度，是《中長期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》中“八縱八橫”高速鐵路主通道之一的沿海通道的重要組成部分，是長江三角洲城市群的重要城際通道，沿途共設(shè)南通西、張家港、常熟西、蘇州北、汾湖、嘉興北、嘉興南、海鹽西、慈溪、莊橋等10座車站.假設(shè)甲、乙兩人從首發(fā)站（南通西）同時上車，在沿途剩余9站中隨機(jī)下車，兩人互不影響，則甲、乙兩人在同一站下車的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】甲、乙兩人下車包含的基本事件個數(shù)為，甲、乙兩人在同一車站下車包含的基本事件個數(shù)，由此算出甲、乙兩人在同一站下車的概率.【詳解】解：甲、乙兩人從首發(fā)站（南通西）同時上車，沿途經(jīng)過剩余9個車站，甲、乙兩人隨機(jī)下車，互不影響，故甲、乙兩人下車包含的基本事件個數(shù)為：設(shè)“甲、乙兩人在同一車站下車為事件M”，則事件M包含的基本事件個數(shù)為：.故選：D.11.函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，排除B、D項，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷函數(shù)有無數(shù)個零點(diǎn)，結(jié)合極限的思想，可排除C項.【詳解】解：因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故排除B、D項，因為，當(dāng)時，，即，故函數(shù)有無數(shù)個零點(diǎn)，令函數(shù)，則，當(dāng)時，函數(shù)，故排除C項.故選：A.12.著名數(shù)學(xué)定理“勾股定理”的一個特例是“勾3股4弦5”，我國的西周時期數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，比歐洲的畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早500多年，如圖，在矩形中，滿足“勾3股4弦5”，設(shè)，為線段上的動點(diǎn)，且滿足，若，則（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】易得，設(shè)，根據(jù)平面向量基本定理可求得，從而可將分別用表示，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】解：由題意可得，設(shè)，則，所以，所以，所以，所以，，則.故選：A.13.函數(shù)所有零點(diǎn)的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)的定義域及奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得出結(jié)論.【詳解】解：由題可知，，且，故函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，且，當(dāng)，且時，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，且，故函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在區(qū)間上必存在一點(diǎn)，使得，所以函數(shù)在區(qū)間上有1個零點(diǎn)，又函數(shù)為定義域上偶函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上有1個零點(diǎn)，又，所以函數(shù)共有3個零點(diǎn).故選：C.14.在三棱錐中，所有棱的長均為，點(diǎn)在棱上，滿足，點(diǎn)在棱上運(yùn)動，設(shè)直線與平面所成角為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取中點(diǎn)，在底面的射影為，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，可得，利用線面角的向量求法，結(jié)合函數(shù)值域的求解方法可求得的取值范圍，進(jìn)而得到的最小值.詳解】取中點(diǎn)，連接；三棱錐各棱長均為，在底面內(nèi)的投影為的中心，；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向為軸，作的平行線作為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，；軸平面，平面的一個法向量；設(shè)，，，，即，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，；設(shè)，則；當(dāng)時，，，；綜上所述：的最小值為.故選：A.15.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A.B.的最小值為C.的最小值為9D.的最小值為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等式的變形，結(jié)合為正實(shí)數(shù)，可判斷A項，變形等式，結(jié)合的取值范圍，利用一元二次函數(shù)可判斷B項，利用基本不等式中“1”的用法可求解C項，利用基本不等式，結(jié)合題干中的等式驗證等號成立的條件，可判斷D項.【詳解】解：因為，則，即，又為正實(shí)數(shù)，則，所以，，故A項正確；因為，所以，又，所以，故B項錯誤；因為，且為正實(shí)數(shù)，即，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故C項正確；因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，但由可得，當(dāng)時，，且，故D項錯誤.故選：AC.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題3分，共9分.在每小題列出的四個選項中有多個符合題目要求，全部選對得3分，選對但不完全的得1分，選錯或不選得0分）16.已知平面向量，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求、，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，故，A錯誤，B正確；，C正確；，D正確.故選：BCD17.在空間中，設(shè)為兩條不同的直線，為兩個不同的平面（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】CD【解析】【分析】作出示意圖，并結(jié)合面面垂直的判定定理即可判斷答案.【詳解】對A，如圖1，取正方體的上下底面分別為，取為m，為n，顯然異面，A錯誤；對B，如圖2，取正方體的上底面為，側(cè)面為，取為m，顯然，B錯誤；對C，如圖3，過m作平面與平面交于n，因為，所以，又因為，所以，而，于是，C正確；容易判斷D正確.故選：CD.18.如已知是自然對數(shù)的底數(shù)，則不能推出恒成立的不等式是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)且的單調(diào)性，由A、B的不等式形式判斷是否可推出恒成立；利用導(dǎo)數(shù)研究且的單調(diào)性，由C、D的不等式形式判斷大小，結(jié)合單調(diào)性判斷即可.【詳解】由且常數(shù)，在定義域上單調(diào)遞增，若，即，而，此時大小不確定，即大小不定，A符合；若，即，而，此時必成立，即恒成立，排除B；由且常數(shù)，則，所以上，遞減，上，遞增，若，即，而，此時；若，即，而，此時大小不確定；結(jié)合先減后增，以上兩種情況大小不確定，C、D符合.故選：ACD三、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分）19.設(shè)復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第__________象限，且__________.【答案】①.一②.【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解；根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算求解，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式即可求解.【詳解】解：因為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故位于第一象限；因為，所以.故答案為：一；.20.寧波老外灘天主教堂位于寧波市新江橋北堍，建于清同治十一年（公元1872年）.光緒二十五（1899年）增建鐘樓，整座建筑由教堂、鐘樓、偏屋組成，造型具有典型羅馬哥特式風(fēng)格.其頂端部分可以近似看成由一個正四棱錐和一個正方體組成的幾何體，且正四棱錐的側(cè)棱長為，其底面邊長與正方體的棱長均為，則頂端部分的體積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)棱柱和棱錐的體積公式計算可得；【詳解】解：依題意可得如下直觀圖，，，設(shè)與的交點(diǎn)為，則為正四棱錐的高，所以，，所以，，所以故答案為：21.已知向量滿足，且向量在向量上的投影向量為，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的計算公式可得向量夾角的余弦值，根據(jù)向量模的計算公式即可求解.【詳解】解：設(shè)向量的夾角為，因為向量在向量上的投影向量為，所以，又，解得：，因為，所以.故答案為：.22.能源是國家的命脈，降低能源消耗費(fèi)用是重要抓手之一，為此，某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價，每厘米厚的隔熱層造價成本是9萬元人民幣.又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費(fèi)用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：厘米）滿足關(guān)系：，經(jīng)測算知道，如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費(fèi)用為10萬元人民幣.設(shè)為隔熱層的建造費(fèi)用與共30年的能源消耗費(fèi)用總和，那么使達(dá)到最小值時，隔熱層厚度__________厘米.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意解得參數(shù)的值，及函數(shù)的解析式，利用基本不等式求解函數(shù)的最小值即可.【詳解】解：由題意得，當(dāng)時，，解得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：.四、解答題（本大題共3小題，共31分）23.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若為偶函數(shù)，求的值（寫出任意一個滿足要求的即可）.【答案】（1）（2）（3）（答案不唯一）【解析】【分析】（1）代入數(shù)值即可求解；（2）先將函數(shù)化簡，然后利用正弦函數(shù)單調(diào)性求解即可；（2）先求得函數(shù)，得當(dāng)時，，對賦值即可.【小問1詳解】函數(shù)，則；【小問2詳解】，當(dāng)遞增時，則，，即，故函數(shù)的遞增區(qū)間為.【小問3詳解】為偶函數(shù)，則當(dāng)時，，令，得.24.為了響應(yīng)市教育局號召，同時也為提升全市高三學(xué)生暑期復(fù)習(xí)備考的有效性，教育部門組織名師、骨干團(tuán)隊開設(shè)暑期網(wǎng)絡(luò)專題課程，為高三學(xué)子保駕護(hù)航，得到了學(xué)生和家長的一致認(rèn)可.某校為檢驗高三學(xué)生暑期網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的效果，對全校高三學(xué)生進(jìn)行期初數(shù)學(xué)測試，并從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，以此為樣本，分成，，，，五組，得到如圖所示頻率分布直方圖.（1）求圖中的值；（2）估計該校高三學(xué)生期初數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和分位數(shù)；（3）為進(jìn)一步了解學(xué)困生學(xué)習(xí)情況，從數(shù)學(xué)成績低于70分的學(xué)生中，分層抽樣6人，再從6人中任取2人，求2人中至少有1人分?jǐn)?shù)低于60分的概率.【答案】（1）0.001；（2）平均數(shù)為75.5,75%分位數(shù)為84；（3）.

【解析】【分析】（1）根據(jù)小矩形面積之和為1即可求得答案；（2）每個小矩形的面積乘以該小矩形底邊中點(diǎn)之和即可求得平均數(shù)，然后根據(jù)百分位數(shù)的定義求得75%分位數(shù)；（3）先求出前兩組分別抽取的人數(shù)，再結(jié)合對立事件求概率的方法即可求得答案.【小問1詳解】由題意，.【小問2詳解】第一組到底五組的頻率分布為：0.1，0.2，0.35，0.25，0.1，所以數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為.前三組頻率之和為0.65，前四組頻率之和為0.9，設(shè)75%分位數(shù)為80+x，則，則75%分位數(shù)為84.【小問3詳解】由（2）可知，前兩組頻率分別為0.1，0.2，比例為1:2，則第一組2人，第二組抽取4人，則所求概率.25.已知函數(shù).（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，已知當(dāng)時，存在最大值，記為.（i）求的表達(dá)式；（ii