小學奧數平面幾何五大定律

教學目標：

1.嫻熟駕馭五大面積模型

2.駕馭五大面積模型的各種變形

學問點撥A

一、等積模型/\

①等底等高的兩個三角形面積相等；//A

②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之/I\比；AB

兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；"'/I

如右圖$IS2=a:b/

③夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖&ACD=CD

反之，假如S△八e=則可知直線AB平行于CD.

④等底等高質兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特別的平行四邊形）；

⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；

⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等

于它們的高之比.

二、鳥頭定理

兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面積比等于對應角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比.

如圖在八鉆。中，分別是A及AC上的點如圖⑴（或。在5A的延長線上，E在AC上），

則S/:S^ADE=xAC）：（ADxAE）

圖⑴圖⑵

三、蝴蝶定理

隨意四邊形中的比例關系（“蝴蝶定理”）：人^7\

①S1:S2=S4：$3或者，KS3-邑〉邑②AO:OC_(S|+$2)：(S4-S3)

蝴蝶定理為我們供應了解決天規則四邊形的面積問題的一個//U、\

途徑.通過構造模型，一方面可以使不規則四邊形的面積關1/53

系與四邊形內的三角形相聯系；另一方面，也“

可以得到與面積對應的對角線的比例關系.A/^7\

梯形中比例關系（“梯形蝴蝶定理”）：AYsA

③s的對應份數為（〃+4./\\

四、相像模型//8\

（一）金字塔模型口匕—i—c（二）沙漏模型

所謂的相像三角形，就是形態相同，大小不同的三角形（只要其形

態不變更，不論大小怎樣變更它們都相像），與相像三角形相關的常用的性質與定理如下：

⑴相像三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相像比；

⑵相像三角形的面積比等于它們相像比的平方；

⑶連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半.

相像三角形模型，給我們供應了三角形之間的邊與面積關系相互轉化的工具.

在小學奧數里，出現最多的狀況是因為兩條平行線而出現的相像三角形.

五、燕尾定理

在三角形ABC中，AD,BE,b相交于同一點O,則

SgBo:Sgco=BD:DC.

上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段，因為AABO

和MCO的形態很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理.該

定理在很多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特別性在于，它可

以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應底邊

之間供應相互聯系的途徑.

典型例題

【例1】如圖，正方形力四的邊長為6,A￡=1.5,CF=2.長方形如67/的面積為

【解析】連接“DF,則長方形夕石〃的面積是三角形,尸面積的二倍.

三角形/戶的面積等于正方形的面積減去三個三角形的面積，

S^DEF=6x6-1.5x6+2-2x6+2-4.5x4+2=16.5,所以長方形跖G”面積為33.

【鞏固】如圖所示，正方形ABC/）的邊長為8厘米，長方形"G廠的長3G為10厘米，則長方形

的寬為幾厘米？

【解析】本題主要是讓學生會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可

以看作特別的平行四邊形）.三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一

半.

證明：連接4G.（我們通過△加把這兩個長方形和正方形聯系在一起）.

??,在正方形/W8中，=；xA8xA5邊上的高，

???S。"=；SABCD（三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半）

問理，S^ABG=3SEFGB-

???正方形A8CD與長方形EFG8面積相等.長方形的寬=8x8+10=6.4（厘米）.

【例2】長方形/WC7）的面積為36c〃3E、F、G為各邊中點，”為4）邊上隨意一點，問

陰影部分面積是多少？

【解析】解法一：找尋可利用的條件，連接6"、HC,如下圖：

可得：SAEHB=TSMHB、HB~XS&CHB、、M)HG=TS'AMC'而

SABCD=SgHB+S&CHB+*^ACA/D=36

即SgHB+SgHF+SgHG=耳(S&V/8+^SCHB+=-X36=18;

而S回B+SABflf..+S.=Sfii膨+s謝，s謝F=1XBEXBF=1X(1XAB)X(1XBC)=1X36=4.5.

LLLLo

所以陰影部分的面積是：S陰影=18-S."=18-4.5=13.5

解法二：特別點法.找，的特別點，把”點與。點重合，

則圖形就可變成右圖：

這樣陰影部分的面積就是ADEV的面積，依據鳥頭定理，則有：

【鞏固】在邊長為6厘米的正方形ABCZ）內任取一點P,將正方形的一組對邊二等分，另一

組對邊三等分，分別與尸點連接，求陰影部分面積.

【解析】（法1）特別點法.由于P是正方形內部隨意一點，可采納特別點法，假設尸點與A

點重合，則陰影部分變為如上中圖所示，圖中的兩個陰影三角形的面積分別占正方

形面積的』和,，所以陰影部分的面積為6葭（、3=15平方厘米.

4646

（法2）連接PA,PC.

由于A/W）與ATOC的面積之和等于正方形ABC。面積的一半，所以上、下兩個陰影三

角形的面積之和等于正方形ABC。面積的工，同理可知左、右兩個陰影三角形的面積

4

之和等于正方形即8面積的：,所以陰影部分的面積為62X,+》=15平方厘米.

【例3】如圖所示，長方形/WC。內的陰影部分的面積之和為70,人B=8,AD=15,四邊形

EEGO的面積為.

【解析】利用圖形中的包含關系可以先求出三角形人標、DOG和四邊形"，GO的面積之和，

以與三角形AQE和ZXX7的面積之和，進而求出四邊形EFGO的面積.

由于長方形ABCD的面積為15x8=120,所以三角形3OC的面積為120x』=30,所以三

4

角形AOE和ZXX；的面積之和為120x3-70=20;

4

又三角形AOE、"Q和四邊形EFGO的面積之和為120x（1」）=30,所以四邊形EFGO

124J

的面積為30-20=10.

另解：從整體上來看，四邊形EF8的面積=三角形AFC面積+三角形BE。面積-白

色部分的面積，而三角形4T面積+三角形所。面積為長方形面積的一半，即60,

白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即120-7。=5。，所以四邊形

的面積為60-50=10.

【鞏固】如圖，長方形ABC。的面積是36,石是4）的三等分點，AE=2ED,則陰影部分的

面積為.

【解析】如圖，連接OE.

依據蝴蝶定理，ON：ND=S.8E：S,CDE=；S&CAE：S.CDE=1：1，所以&網=S*。；

乙乙

°M：MA=Sg()E：SAKAE=耳$WE：3二1：4,所以SAOEM=TSAQEA?

J

儂)=卜%矩形八

又588=3，S^OEA=2S^OED=6，所以陰影部分面積為：

3X-!-+6X-=2.7.

25

【例4】已知ABC為等邊三角形，面積為400,D、E、尸分別為三邊的中點，已知甲、乙、

丙面積和為143,求陰影五邊形的面積.(丙是三角形加C)

【解析】因為。、E、尸分別為三邊的中點，所以。E、DF、所是三角形A8C的中位線，也

就與對應的邊平行，依據面積比例模型，三角形A8N和三角形40c的面積都等于三

角形相C的一半，即為200.

依據圖形的容斥關系,有2148c—5丙=S.BN+5AAMc—^AMHN，

即400-書=200+200—,所以$丙=SAMHN?

x

又S陰影+S^DF=S甲+S乙+SAMHN，所以S陰影=S甲+S乙+S丙一SM*=143-—400=43.

【例5】如圖，已知8=5,DE=1,痔=15,FG=6,線段鉆將圖形分成兩部分，左邊部

分面積是38,右邊部分面積是65,則三角形“的的面積是.

【解析】連接AF,BD.

依據題意可知，CF=5+7+15=27;DG=7+15+6=28:

所以，S2EF3s

27&CBF，

2115712

是：28S"*+27S4CBF=65；—+—SACBF=38；

可得^^=40?故三角形仞6的面積是40?

【例6】如圖在A4BC中，DE分別是A8,4C上的點，且AD:AB=2:5,AE:AC=4:7,SA4D￡=16

平方厘米，求△ABC的面積.

【解析】連接BE,S△皿;：SN"=">:AB=2:5=(2X4):(5X4),

S*:S*=A￡:AC=4:7=(4X5):(7X5),所以5小小S△八紇=(2x4):(7x5),設S△楓=8份，

則工枷=35份，S』,E=16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，

△A5C的面積是70平方厘米.由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角

形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比.

【鞏固】如圖，三角形AHC中，即是4)的5倍，AC是AE的3倍，假如三角形ADE的面積

等于1,則三角形ABC的面積是多少？

【解析】連接班:.

1?:AR=5AD

【鞏固】如圖，三角形/比'被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，BD=DC=4,跖=3,AE=6,

乙部分面積是甲部分面積的幾倍？

【解析】連接

XVBD=DC=4,

【例7】如圖在AABC中，力在84的延長線上，E在AC上，且4?:4。=5:2,

AE:EC=3:2,S4ADE=12平方厘米，求△ABC的面積.

【解析】連接BE,SAADE:S^HE=AD:AB=2:5=(2x3)：(5x3)

SAADE:S&ADC=AE:AC=3:(3+2)=(3x5):[(3+2)x5],

所以S△雌：5△枷=(3X2):[5X(3+2)]=6:25,設S△屈=6份，則S△詼=25份，S△叱=12平方

厘米，所以I份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，A4BC的面積是50平方厘米.由

此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應角（相等角或

互補角）兩夾邊的乘積之比

【例8】如圖，平行四邊形ABCD,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD,平行四邊形A4Q）

的面積是2,求平行四邊形A8C￡>與四邊形反G”的面積比.

【解析】連接AC、雙）.依據共角定理

*.*在AABC和/\BFE中，ZABC與ZFBE互補,

又SgBC=1，所以S&FBE~3

同理可得SMCF~8?SQDHC=15，S&&FH—8?

=

所以^EfxjnS△，回+W/G+S協以：+S,wc0=8+8+15+3+2=36.

所以&9=Z=_l.

SEFGH3618

【例9】如圖所示的四邊形的面積等于多少？

【解析】題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運用公式干脆求面積.

我們可以利用旋轉的方法對圖形實施變換：

把三角形繞頂點。逆時針旋轉，使長為13的兩條邊重合，此時三角形33將旋

轉到三角形OCQ的位置.這樣，通過旋轉后所得到的新圖形是一個邊長為12的正方

形，且這個正方形的面積就是原來四邊形的面積.

因此，壁四邊形的面積為12x12=144.（也可以用勾股定理）

【例10］如圖所示，AA8C中，ZABC=90°,AB=3,BC=5,以AC為一邊向AA8C外作正方形

ACDE,中心為O,求AMC的面積.

【解析】如圖，將△048沿著O點順時針旋轉90。，到達AOCV的位置.

由于ZABC=90。，Z4OC=90°,所以NOIB+NCO=180。.而=

所以NOC尸+NOC8=18（T,則8、C>/三點在一條直線上.

由于Z?OF=Z4OC=90°,所以MOP是等腰直角三角形，且斜邊即為5+3=8,

所以它的面積為8?x'=16.

4

依據面積比例模型，△03。的面積為16乂（=10.

【例11］如圖，以正方形的邊4?為斜邊在正方形內作直角三角形AHE,ZAEB=90°,AC、BD

交于O.已知AE、花的長分別為3cm、5cm,求三角形QBE的面積.

【解析】如圖，連接DE,以A點為中心，將AAZ宏順時針旋轉90。到A48F的位置.

貝INE4F=NE4B+Na4F=NE4B+NZME=90。，而ZAEB也是90。，所以四邊形AF班:是直角

梯形，l.AF=A￡=3,

所以梯形AFBE的面積為：

22222

又因為A48E是直角三角形，依據勾股定理，AB=AE+BE=3+5=34f所以

SMQ=g4B2=17(cnf).

則S.DE~SAAB/1一(^AABE+^AADE)=~=17—12=5(cnr),

所以SAOBE~5SMDE=25（cm2）.

【例12】如下圖，六邊形A8CD斯中，AB=ED,AF=CD,BC=EF,且有AB平行于￡D,AF

平行于O4c平行于所，對角線短）垂直于〃），已知m=24厘米，4/）=18厘米,

請問六邊形ABCDEF的面積是多少平方厘米？

（解析】如圖，我們將她。/＞平移使得C7）與AF重合，將ADEF平移使得ED與AB重合，這樣EF、

8c都重合到圖中的AG了.這樣就組成了一個長方形3GQ,它的面積與原六邊形的

面積相等，明顯長方形灰;⑺的面積為24x18=432平方厘米，所以六邊形ABC。砂的

面積為432平方厘米.

【例13】如圖，三角形ABC的面積是1,七是4c的中點，點D在BC上,且⑺:DC=1:2,AD

與BE交于點F.則四邊形。灰C的面積等于.

【解析】方法一：連接w,依據燕尾定理，沁爺沁=喋=1,

、入ACFDC2'八CRF

設份,則S.OC尸=2份,5。8尸=3份,S4AEF=S4EFC=3心,如圖所標

5

所以加功

ABC12

方法二：連接小，由題目條件可得到S

^=^A4DC=lx|^c=l所以警=沁=；,

2233FE5.班1

而-1*gxS^ABC=；.所以則四邊形DFEC的面積等于3.

【鞏固】如圖，長方形鉆8的面積是2平方厘米，EC=2DE，/是OG的中點.陰影部分的

面積是多少平方厘米

【解析】設Sg=l份，則依據燕尾定理其他面積如圖所示s陰影=尋正二卷平方厘米.

【例14】四邊形A3CQ的對角線AC與加）交于點0（如圖所示）.假如三角形AHQ的面積等于

三角形的面積的g,且AO=2,DO=3,則CO的長度是。。的長度的

倍.

【解析】在本題中，四邊形A8CD為隨意四邊形，對于這種“不良四邊形”，無外乎兩種處理

方法：⑴利用己知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；⑵通過畫協助線來改造

不良四邊形.看到題目中給出條件S.椀：Sg,=l:3,這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，

于是得出一種解法.又視察題H中給出的己知條件是面積的關系，轉化為邊的關系，

可以得到其次種解法，但是其次種解法須要一個中介來改造這個"不良四邊形”，

于是可以作A”垂直AD于”，CG垂直⑺于G,面積比轉化為高之比.再應用結論:

三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結果.請老師留意比較兩種解法，

使學生體會到蝴蝶定理的優勢,從而主觀卜情愿駕馭并運用蝴蝶定理解決問題.

解法一：*.*AO:OC=S8皿：5.乂=1:3,OC=2x3=6,OC:OD=6:3=2:1.

解法二：作于〃，CG_L3￡）于G.

【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知，

求：⑴三角形8GC的面積；⑵AG:GC=?

【解析】⑴依據蝴蝶定理,S￡GCx1=2x3,則S〃GC=6；

⑵依據蝴蝶定理,AG:GC=（l+2）:（3+6）=l:3.

【例15］如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于。點，△CEP、40EF、△O。八△加龍的面

積依次是2、4、4和6.求：⑴求△（?（才的面積；⑵求△GCE的面積.

【解析】⑴依據題意可知，ABC￡＞的面積為2+4+4+6=16,則反?。和△CDO的面積都是

1632=8,所以ZkOC尸的面積為8-4=4：

⑵由于Z^CO的面積為8,△%）石的面積為6,所以△OCE的面積為8-6=2,

依據蝴蝶定理，EG:FG=SACOE:SAC（?F=2:4=1:2,所以：54團=EG:尸G=1:2,

c1c1。2

則"GCE=—S^CEF=-X2=-.

1I乙JJ

【例16】如圖，長方形A8C￡>中，BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,三角形。回G的面積為2平方厘

米，求長方形”8的面積.

【解析】連接AE,FE.

31]1

因為8E:反?=2:3，DF:FC=1:2,所以2的=x5）S長方形=而§反方初地?

JJ/?1V./

因為SA￡￡>=35長方形ABCZ）,AG：G/=；：白=5：I,所以SAGD=1。平方厘米,所以

2"0=12平方厘米.因為S"°=!s-形皿，所以長方形相C。的面積是72平方厘

o

米.

【例17]如圖，正方形A8C。面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點.求圖中陰影部分的面

積.

【解析】因為M是4）邊上的中點，所以AM:8c=1:2,依據悌形蝴蝶定理可以知道

Sz^SAQS.cGaKLFyxZAaxD筌WnZd,設S“GM=1份，則

S&9=1+2=3份，所以正方形的面積為1+2+2+4+3=12份，S陰影=2+2=4份，所

以S陰影：S正方形=1:3,所以S陰影=1平方厘米?

【鞏固】在下圖的正方形A8CZ）中，E是8c邊的中點，AE與8Z）相交于/點，三角形8樣的

面積為1平方厘米，則正方形4心）面積是平方厘米.

【解析】連接。石，依據題意可知鹿：4）=1：2,依據蝴蝶定理得S梯形=（1+2）2=9（平方厘

米），S△皿=3（平方厘米），貝口他。=12（平方厘米）.

【例18】已知是平行四邊形，BC:CE=3:2,三角形O/M的面積為6平方厘米,則陰影

部分的面積是平方厘米.

【解析】連接AC.

由于ABCZ）是平行四邊形，BC:CE=3:2,所以C￡AD=2:3,

22

依據梯形蝴蝶定理，5COF:S4OC:SOO￡:5^D=2:2x3:2x3:3=4:6:6:9,所以

S.oc=6（平方厘米），5八m=9（平方厘米），又S板=SM=6+9=15（平方厘米），

陰影部分面積為6+15=21（平方厘米）.

【鞏固】右圖中A8CD是梯形，陽是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方

厘米），陰影部分的面積是平方厘米.

【分析】連接AE.由于4）與8C是平行的，所以AECD也是梯形，則SAOCD=.

依據蝴蝶定理，S&OCDxS&OAE=S&OCExS^OAO=4x9=36,故S^OCD—36,

所以乂。8=6（平方厘米）.

【鞏固】右圖中附8是梯形，AMD是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方

厘米），陰影部分的面積是平方厘米.

【解析】連接.由于與8c是平行的，所以A?CD也是梯形，則=SANE.

依據蝴蝶定理,SAOSXSAOAE—SAOCEXS&QAO—2X8—16,故SAgfnlG,所以

SAOS=4（平方厘米）.

另解：在平行四邊形ABED中，S.EJSA8EL5X（16+8）=12（平方厘米），

乙乙

所以SMOE=S.oL12-8=4（平方厘米），

依據蝴蝶定理，陰影部分的面積為8x2+4=4（平方厘米）.

【例19］如圖，長方形ABC。被CE、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平

方厘米，則余下的四邊形的面積為平方厘米.

【解析】連接QE、CF.四邊形EDC9為梯形，所以SMS=S」“，又依據蝴蝶定理，

SSSS

SEOD-S'FOC=&tor,ACOD，所以sEoi），S,0c=S詡…S“.g=2x8=16,所以SAW=4（平方匣米），

5皿=4+8=12（平方厘米）.則長方形ABC。的面積為12x2=24平方厘米，四邊形QF8C

的面積為24-5-2-8=9（平方厘米）.

【例20］如圖，AA8C是等腰直角三角形，OEFC是正方形，線段與CQ相交于K點.已知

正方形。目P的面積48,AK:KB=\:3,則的面積是多少？

【解析】由于力EFG是正方形，所以與3C平行，則四邊形4）8。是梯形.在梯形4）8。中，

MDK和AACK的面積是相等的.而AK:KB=1:3,所以AACK的面積是兇8c面積的

—=-,則的面積也是ZVU5C面積的L

1+344

由于AABC是等腰直角三角形，假如過A作AC的垂線，M為垂足，則M是AC的中點,

而且=可見A48M和。CM的面積都等于正方形OEFG面積的一半，所以A48C

的面積與正方形。EAG的面積相等，為48.

則她/次的面積為48」=12.

4

【例21】下圖中，四邊形40）都是邊長為1的正方形，E、F、G、”分別是神，BC,CD,

的中點，假如左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分數竺，貝!I,

〃

（"7+H）的值等于.

【解析】左、右兩個圖中的陰影部分都是不規則圖形，不便利干脆求面積，視察發覺兩個圖

中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的

面積.

如下圖所示，在左圖中連接反;.設4G與比的交點為M.

左圖中AEGD為長方形，可知4VWD的面積為長方形AEG。面積的L所以三角形

4

的面積為ExLxlnL又左圖中四個空白三角形的面積是相等的，所以左圖中陰影

248

部分的面積為1」X4=L

82

如上圖所示，在右圖中連接4C、EA設AF、成?的交點為N.

可知砂〃4C且AC=2所.則三角形的面積為三角形A3C面積的L所以三角形

4

BEF的面積為FxLLL梯形AEFC的面積為LU.

248288

在梯形WC中，由于M:AC=1:2,依據梯形蝴蝶定理，其四部分的面積比為：

12：lx2:lx2:22=l:2:2:4,所以三角形E/W的面積為3x1=1，則四邊形B&VF的

81+2+2+424

面積為\_L=L而右圖中四個空白四邊形的而積是相等的，所以右圖中陰影部分

8246

的面積為1」X4=L

63

則左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為!」=3:2,即冬二，

23n2

則m+n=3+2=5.

【例22］如圖，AABC中，DE,FG,8c相互平行，AD=DF=FB,

：

貝！IS〉ADE床邊形。￡3??:S四邊形FGCB=?

【解析】設&?=1份，依據面積比等于相像比的平方，

2

所以SAADE:S&AFG=AD?：A.?=1:4,^￡^ADE:S△甌=AD~:AB=1:9,

因此LFG=4份，S△枷=9份，

進而有Spq邊形0EGF=3份，加邊形FGCB=5份，所以S^A［K：際邊形。曲：S網邊形,8=1：3：5

【鞏固】如圖，DE平行BC,且4）=2,AB=5,AE=4,求AC的長.

【解析】由金字塔模型得AD:他=AE:AC=D石:3C=2:5,所以AC=4+2x5=10

【鞏固】如圖，AABC中，DE,FG,MN,PQ,8C相互

平行，

AD=DF=FM=MP=PB,貝!］

22

【解析】設s△機=1份，S^.S^.G=AD:AF=\:4f因此

Szu“=4份，進而有S四邊形DEGF=3份，同理有

S四邊形“GNM=5份，S四邊形MNQP=7份，S四邊形PQCB=9份.

所以有

【例23］如圖，已知正方形人BO）的邊長為4,廠是4c邊的

中點，E是DC邊上的點，且DE:EC=1:3,A/與的相交于點G,求Sk8G

【解析】方法一：連接AE,延長AF,DC兩條線交于點用，構造出兩個沙漏，所以有

AB:CM=BF:FC=1:1,因此CM=4,依據題意有CE=3,再依據另一個沙漏有

GB:GE=AB:EM=4:7,所以S△八的=8$a八跖=\x(4x4+2)=苔.

方法一?:連接AE,EF，分別求S>ABF=4X2+2=4,S二3=4x4—4x1+2—3x2+2—4=7,

依據蝴蝶定理Sf：S2EF=BG:GE=4:7,所以

S△八8G=-^jS^ABE=jjX（4x4+2）=JY.

【例24］如圖所示，已知平行四邊形A8C7）的面積是1,E、尸是AB、4）的中點，BF交EC

于M,求ABMG的面積.

【解析】解法一:由題意可得，E、尸是Afi、4）的中點，得EF//BD,而FD;BC=FH:HC=1:2,

EB:CD=BG:GD=1:2所以CH:CF=GH:EF=2:3,

并得G、"是的三等分點，所以3G=G"，所以

BG:EF=BM:MF=2:3,所以S^FD=~SMliD=-x-SAliCD=~；

又因為8G=；8O,所以.

解法二：延長CE交04于/,如右圖，

可得，加:=即=1:1,從而可以確定M的點的位置,

BM:MF=BC:IF=2:3,BM=-BF,8G（鳥頭定理），

53

可得S2MG=5-x-3S加F=5-x3-x-4SAM=—30

【例25】如圖，A8CD為正方形，AM=yVB=DF=FC=1cmMN=2cm,請問四邊形PQ?5的面

積為多少？

【解析】（法I）由44//S,有竺二生，所以PC=2AW,又避=竺，所以

MNDCQCEC

MQ=QC=-MC9所以〃Q=!仞C-1MC=LwC,所以/世其占梟八代的■,

22366

I*7

所以S=-xlx(l+l+2)=-(cm2).

SPQR63

(法2)如圖，連結AE,則SMBE=gx4x4=8(cm),

而外變，所以歿=竺=2216/2、

2,c

S&，BR=§SM5E=§X8=1(cm).

ABEFEFEF

2

S^t/iQ-S/SANS=—x3x4x—=3（cm）,因為=

所以貝IJS/」X2X4XL士（end）,陰影部分面積等于

【例26】如右圖，三角形ABC1中，BD:DC=4:9,CE:E4=4:3,求A尸:用.

【解析】依據燕尾定理得S.A.:S*=8。:CO=4:9=12:27

（都有“統的面積要統一，所以找最小公倍數）

所以工人也：S4MC=27:16=AF:F8

【點評】本題關鍵是把5QB的面積統一，這種找最小公倍數的方法，在我們用比例解題中

屢見不鮮，假如能駕馭它的轉化本質，我們就能達到解奧數題四兩撥千斤的巨大力

氣！_

【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD:ZX7=3:4,A￡:CE=5:6,求":月5.

［解析】依據燕尾定理得S^AOB:S“0c=8。:8=3:4=15:20

（都有AAOB的面積要統一，所以找最小公倍數）

所以$△八”：§△好=2°:18=1（）:9=A"：

【鞏固】如右圖，三角形A5c中，BD:DC=2:3,￡4:CE=5:4,求M:皿

［解析】依據燕尾定理得S?AOR:S△3=:8=2:3=10:15

（都有"08的面積要統一，所以找最小公倍數）

所以S：:SM0C=15:8=AF:TO

【點評】本題關鍵是把A4Q8的面積統一，這種找最小公倍數的方法，在我們用比例解題中

屢見不鮮，假如能駕馭它的轉化本質，我們就能達到解奧數題四兩撥千斤的巨大力

氣！

【例27】如右圖，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形相C的面積是1,

則三角形觸的面積為,三角形AGE的面積為,三角形G”/的面積

為?

【分析】連接4"、Bl、CG.

由于":慫=3:2,所以4E=2AC,故SM8￡=2SMSC=2：

5eVtOC5UrlOV5

依據燕尾定理，5.￡麗=68。=2：3，§麗￡的=8叢=3：2,所以

.49

f

SAACG?S&A%:^ABCG=4:6:9,AllSSCG=而=—；

milc_2V_24_8

Z\US^Arc=—Sua=-X---=---9

AAGE55|995

同樣分析可得心.=，則￡G:E"=SMCG：SMC“=4:9,EG:EB=SMCG：SMCB=4：19,所以

￡G:G":"8=4:5:10,同樣分析可得AG:G/:/O=10:5:4,

所以S￡E=QWE=4|=，SAG”,亮S.亮x；4.

【鞏固】如右圖，三角形"C中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:29且三角形G”/的面積是1,

求三角形ABC的面積.

【解析】連接舐=6份

依據燕尾定理，S^AGC:SABGC=/4F:FB=3:2=6:4,S^ARG:S/XAGC=BD:DC=3:2=9:6

得S-4（份），S/=9（份），則&枷=19（份），因此沁=9

同理連接力/、CH得屋皿=6,。=色，所以AJ9666_L

S△ABC19S&ABC19^^ABC1919

三角形。〃的面積是1,所以三角形/1%的面積是19

【鞏固】如圖，AA8C中8/）=2￡）A,CE=2EB,AF=2FC,則AA3C的面積是陰影二角形面積

的倍.

【分析】如圖,連接4.

依據燕尾定理，SMC/：SMC7=A。：人。=2:1，SSBCI:SSABI=CF:AF=\:2f

22

所以，Sga：S⑻：S&w/=1:2:4,則，5Am芯二53戶k

同理可知AACG和MM的面積也都等于AA&?面積的2,所以陰影三角形的面積等于

7

AA3C面積的1-全3=1所以AA8C的面積是陰影三角形面積的7倍.

【鞏固】如圖在ZM8C中，生=且=，求竽竺嘿的值.

DBECFA2Z\ABC的面積

【解析】連接能，設=1份，依據燕尾定理

S△八a：=AF:FB=2:1，S△皿：S△八0c=BD:DC=2:l,得S△八8二2（份），S△伯=4（份），則

S=7（份），因此紅金二，同理連接力/、〃得沁￡:，沁=2,所以

S—7S人皿7S…7

S?_7-22-2J

%A6C77

【點評】假如隨意一個三角形各邊被分成的比是相同的，則在同樣的位置上的圖形，雖然

形態千變萬化，但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，

即再重復一次解題思路，因此我們有對稱法作協助線.

【例28】如圖，三角形ABC的面積是I,BD=DE=EC,CF=FG=GA,三角形/WC被分成9部

分，請寫出這9部分的面積各是多少

【解析】設陽與/〃交于點R陽與4?交于點0,即與/〃交于點機BF與AE交于點、N.連

接mCQ,CM,CN.

依據燕尾定理，S^ABP:SACBP=AG:GC=\:2fS^ABP:S^ACP=BD:CD=\:29設5△布=1（份），

貝l」S△他.=1十2十2=5（份），所以5“即=2

=1所以5號13<」二」

|口J理可得，^^ABQ1、S&ARN=5，而S&ABG~-9-----=—，

3535AW-3-7"21

1239

R］理,S^RPM=行S&BDM=~，所以$四邊形P0WN

273570'

_c_2_j_5,-1s-1115

==1nl

3四邊形MVEO3-35~70*3邊形NFCE=§一五一42-6,J四邊收汨VQ一321642

【鞏固】如圖,A/WC的面積為1,點。、E是灰,邊的二等分點，點尸、G是AC邊的二等分

點，則四邊形水出的面積是多少？

【解析】連接CK、C/>CJ.

依據燕尾定理，sMCK：sMBK=CD:BD=1:2,S58K：S：\CBK=AG:CG=1:2,

_1_J_

所以SNCK?SNBK?SAC=1：2:4，則S=?+o+4=］，R9

MCKMGK-3-21

類似分析可得九°=《?

又S*-F:CF=2:1，SMW：=BD:CD=2:\，可得之。=：?

則，SCGKJ=---=-?

（342184

依據對稱性，可知四邊形CEH/的面積也為口，則四邊形JK由四周的圖形的面積之

84

導靠所以四邊形陽〃的面積為糕喘

和為ScGKJ*2+S&AGI+S^EE=2+91I

[^129]右圖，AA?C中，G是人。的中點，。、E、尸是BC邊上的四等分點，AD與BG交

于M,AF與BG交于N,已知△A8M的面積比四邊形/CGN的面積大72平方厘米，

則Z^ABC的面積是多少平方厘米？

【解析】連接CM、CN.

依據燕尾定理，S&ABM:S&TW=AG:GC=1:1,S&ABM:S△八5=BD:CD=1:3,所以

%g；

再依據燕尾定理，S“N：%8N=4G:GC=I:1,所以S*：S*=S.BN：S*=4：3,所以

AN:NF=4:3,則^^='x±=2,所以S-eL215__5_

1一二S8AFC=亍XW%ABC=R%AHC?

S/24+37°7）

依據題意,有:S△.-布=7.2,可得S△樹=336（平方厘米）

3Zo

【例30】如圖，面積為1的三角形上中，D、E、F、G、H、/分別是被BC、CA的三等

分點，求陰影部分面積.

【解析】三角形在開會，則就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！

令以與⑦的交點為弘心與切的交點為MBI與AF的交點、為P,BI與CE的交點、

為。，連接4伙BN、CP

⑴求S四邊形如〃：在△/$（:中，依據燕尾定理，

S△ABM'SACRM=A/:C7=1:2S^ACM:SMBM=AD:BD