【小學奧數培訓資料一：整數問題】

1、整數問題的概念網絡

想一想:

(1)分解質因數有怎樣的本質作用？

(2)從質因數的角度來看，最大公因數是怎樣構成的？

(3)從質因數的角度來看，最小公倍數是怎樣構成的？

(4)兩個數屬于哪些情形時肯定互質？

2、整除的數字特征及應用(一、二)

(一)學問及技能

1、整除的數字特征：

①能否被2、5整除——看末位；

能被2整除的末位有5種情形：末位是0,2,4,6,8.

能被5整除的末位有2種情形：末位是0,5.

理由：對隨意多位數a+,而是一個整十數，必能被2.5整除，因此只要看末

尾數a能否被2、5整除。

推廣：能否被4、25整除一看末兩位；

能否被8、125整除一看末三位；

你能夠仿照以上部分說明詳細情形及相應理由嗎？

②能否被3、9整除——看碼和——去“三”法/去“九”法；

理由：對隨意多位數(a+b+c+d)+(999a+99b+9c)

-(a+b+c+d)+(llla+llb+c)X9,

而(11la+1Ib+c)X9必能被3、9整除，因此只要看碼和(a+b+c+d)

能否被3、9整除。

③能否被7、11、13整除一看末三位及前數之差；

理由：對隨意多位數(-a)+1001a,而1001=7X11X13,必能被7、11、13整

除，因此只要看末三位及前數之差(一a)能否被7、11、13整除。

④能否被11整除的另一手段一看奇偶碼差；

理由:對隨意多位數［(d+b)-(c+a)］+(1001a+99b+llc)

而(1001a+99b+llc)必能被H整除，因此只要看奇偶碼差［(d+b)-

(c+a)］能否被11整除。

2、應用及技能：

①干脆應用：判別；分析推算。

留意思索問題的有序性和完備性；并能夠拓展到用字母表示數的應用領域；

②綜合分拆應用：分析推算；解決問題。

先分拆，堅持干脆、簡易的原則；

后推算，堅持從大到小、從簡到難的原則。

特殊留意：在解決問題的過程中，肯定要先將條件探討透徹！

(二)例題

例1、在口內分別填上合適的數字，分別可以組成哪一些符合條件的數？

(1)4的倍數：307□,9口4,7985D0；

(2)9的倍數：78口9,口459,口37口98；

(3)11的倍數：175口，4口5口，D8985；

例2、將1,2,3,4,……,30從左至右依次排成一個多位數123456……282930,

這個多位數除以11所得的余數是多少？

例3、己知11|,那么a=?

例4、有一個六位數能被11整除，它的首位是7,其余各位數字各不相同。這樣

的六位數中最小的一個是多少？

例5^已知11I5,那么n最小是幾?

例6、已知721五位數，求全部滿意條件的五位數。

例7、中隊輔導員買來28枝價格相同的鋼筆準備用來嘉獎進步了的學生，一共

付款9口.2口元。已知口內為同一數字，求鋼筆的單價。

例8、已知15|整數A,而且數A的各個數位上的數字只有0,8兩種，那么A

最小是多少？

例9、商店一共有6箱貨物，分別重15,16,18,19,20,31kg,兩位顧客買

走其中五箱，且其中一位所買重量是另一位的2倍。那么剩下的是哪一箱？

(三)習題

1、在口內分別填上合適的數字，分別可以組成哪一些符合條件的數?

(1)4的倍數:405□,9口8,898506；

(2)9的倍數：78口3,口453,□98D73；

(3)11的倍數：465口，5D7D,09789；

想一想：這是為什么？

你還能說出質數的哪一些特性？

2、分解質因數的概念及其本質作用：

①分解質因數：將隨意一個合數分解為若干個質數相乘的形式。

②分解質因數常依據整除的數字特征從大入手逐級分解，直至分解徹底。?般借

用乘方的寫法按質因數從小到大依次排列。

如：55440=11X10X9X56=24X32X5X7X11

③對于隨意一個合數，將其分解質因數以后即可發覺，其全部的約數不僅可以用

試除的方法一對一對地找出來，還可以依次用。個?全部質因數一一組合而成。

如：54=2X3：'

用試除方法找54的約數有：1和54,2和27,3和18,6和9；

用質因數組合找54的約數有：1（用0個），2和3（用1個），4和9（用2個）,

18和27（用3個），54（用4個即用全部）。

依據分步搭配相乘的乘法原理有如下結論：

對于合數A=aXXb'Xc'X……,

那么A的約數個數為（x+1）X（y+1）X（z+1）X……

而且A的全部約數和為（1+a+a2+-+ax）X（1+b+b2+-+by）X（1+c

Ic2I-----1c7）X.......

你能快速說出55440一共有多少個約數嗎？

④分解質因數能夠看出隨意一個合數的本質構成，從而便于進一步的進行特質分

析、條件構造和重新組合推斷。

3、應用技能：

能夠運用分解、估計、有序推理（從大入手）等手段結合質因數的分解來解決數

的構造推斷、重新組合等實際問題。

（二）例題

例1、將以下各數分解質因數（口頭分解后干脆寫出結果），然后說一說它們各

有多少個約數？

①240②42560③

例2、①已知三個連續自然數的乘積是210,求這三個數。

②已知五個連續自然數的乘積是55440,求這五人數的平均數。

例3、已知下列連等算式中口內數字正好由1?9組成，試在口中填上適當數字。

□□X□□二□□X□□□二3634

例4、自然數360一共有多少個約數？它的全部約數之和是多少？

例5、將下面8個自然數平均分成兩組，使這兩組數各自的乘積相等。

14,33,35,30,75,39,143,169.

例6、小明的姐姐參與了今年的中學數學競賽，賽后小明問姐姐：“這次競賽你

得了多少分？獲得了第幾名？”姐姐告知他：“我得的名次和我的歲數以及我的

得分乘起來是2910,你看我的得分和名次各是多少？”你能夠幫助推算出來嗎？

例7、正好是8個約數的自然數中，最小的一個是多少?

例8、一個整數A及1980的乘積正好等于另一個不為0的整數的平方。求A的

最小值是多少？

例9、有一個自然數，它有3個不同的質因數，共有16個約數，而且其中一個

質因數是數字和為11的盡可能大的兩位數。那么這樣的自然數最小一個是多

少？

※例10、一個自然數能夠分解為3個質因數之積，而且這三個質因數的平方和為

1710。求這個自然數。

例11、分別多年的兩位老友相遇于一路碑前，其中一人說：“我有3個孩子，年

齡之積為36,年齡之和為路碑上里程數「另一人看了里程數后說：“我還是不

能確定他們的年齡」于是第一人又補充說：“我兩個小一點的孩子是雙胞胎。”

其次人立即說出了3個孩子的年齡。你能說出來嗎？

（三）習題

1、將以下各數分解質因數（口頭分解后干脆寫出結果），然后說一說它們各有多

少個約數？

①280②104055③21672

2、從360到630之間共有多少個數的約數為奇數個?

3、已知A=25X3：'X52><7,那么A的全部約數中最大的兩位數是多少？

4,自然數280一共有多少個約數？它的全部約數之和是多少？

5、有10個數：21,22,34,39,44,45,65,76,133,153<>將它們平均分成

兩組，并使得每組的5個數乘積相等。

6、有9個數：20,26,33,35,39,42,44,55,91。將他們分成三組，使得

每組數的乘積相等。

7、有4個連續奇數的乘積是326025,那么這4人數的和是多少？

8、如右圖，豎式中四個口內的數字和是多少？口口

X□□

1767

9、邊長是整數厘米且面積為105平方厘米的形態不同的長方形一共有多少種？

10、河岸邊有867名學生準備乘船過河。來了一批小船，每條小船載人人數相等。

同學們分3次過河。求一共有多少條小船？

11、有3個自然數，其中最大數比最小數多6,而另一個是它們的平均數，且這

3個數的乘積為42560。求這3個數。

12、自然數675一共有多少個約數？它的全部約數之和是多少？

13、正好是12個約數的自然數中，最小的一個是多少？

14、張爺爺今年84歲，他告知人家：“我有3個孫子，他們的年齡之積正好是我

的歲數這么大，而且這3個孫子中，有兩個孫子的年齡之和正好是另一個孫子的

年齡。”你知道他的3個孫子各是幾歲嗎？

15^已知自然數對于a、b^c有：ab=132,bc=156,ca=143o那么a+b+c;？

16、求小于1000而且正好只有15個約數的最大自然數是多少？

4、最大公約數及最小公倍數（一、二、三）

（-）學問及技能

1、最大公約數、最小公倍數的概念。

①最大公約數：幾個數公有的約數中最大的一個稱為它們的最大公約數。如A、

B的最大公約數記為（A,B）o

②最小公倍數：幾個數公有的倍數中最小的一個稱為它們的最小公倍數。如A、

B的最小公倍數記為1A,B]o

其概念運用主要體現在解決實際問題時理解條件的環節中。

2、最大公約數、最小公倍數的構成本質及求法：

①從質因數角度看它們的構成本質。

(1)幾個數的最大公約數一一由它們全部公有的質因數相乘組成。

因此在基礎數學課本中這樣用短除法求幾個數的最大公約數：每次用這兒個數公

有的質因數去除，除到不再有公有的質因數為止，其目的是在于找出這些數全部

公有的質因數；然后將全部除數連乘即得它們的最大公約數。

(2)幾個數的最小公倍數一由每一個數全部的質因數剔除重復之后相乘組成。

因此在基礎數學課本中這樣用短除法求幾個數的最小公倍數：先每次用這幾個數

公有的質因數去除；然后每次用這幾個數中某幾個公有的質因數去除，除到兩兩

互質為止，其目的都是在于剔除重復的質因數(重復一次或幾次都只以除數算一

次)；然后將全部除數和商連乘即得它們的最小公倍數。

特殊地：對于隨意兩個數A、B,有AXB=(A,B)X[A,B]。

②求法：

(1)對于較小的幾個數一用小數依次分拆法求它們的最大公約數、用大數依

次擴倍法求它們的最小公倍數。

(2)對于較大的幾個數一用輾轉相除法求它們的最大公約數。

輾轉相除法：其本質就是逐次用差替換掉其中的大數。

(二)例題

例1、干脆寫出得數：

(27,36)=；(54,72)=；(50,15,75)=；

[27,36]=；[54,72]=；[50,15,75]=；

例2、己知:A=2X32X5\B=22X3X53X7,C=2X5X72

那么(A,B,C)=?[A,B,C]=?

例3、有3根鐵絲，分別長120cm、180cm和30Ccm,現在要將它們截成長，度為

整數厘米且相等的小段并要求每段盡可能長。那么一共可以截成多少小段？

例4、有一批獎金分給甲、乙兩個小組，平均每人可得60元；假如只分給甲組,

則平均每人可得100元。那么假如只分給乙組，平均每人可得多少元？

例5、某機器加工一種零件要經過3道工序，第一道每人每小時可以完成3個，

其次道每人每小時可以完成15個，第三道每人每小時可以完成12個。現在要使

生產均衡，3道工序應各自至少配置多少人？

例6、一張長方形硬紙，長2703cm、寬1113cm.現在要將它截成若干個一樣大

小的正方形紙板，同時正方形邊長為整數厘米而且盡可能大并硬紙沒有剩余。那

么正方形紙板的邊長是多少？（圖示引入輾轉相除法求最大公約數）

例7、(4811,1981)=?(1008,1260,882,1134)=?

例8、已知甲、乙兩數的最大公約數是4,而它們的最小公倍數是252。那么甲、

乙兩數分別是多少？

例9、[21672,11352]=?

例10、已知（A,B）=12,且A共有8個約數、B共有9個約數。那么A+人?

例11、已知AXB=5766,且（A,B）=31。那么A、B分別是多少？

例12、已知A+B=612,且（A,B）=51。那么A、B分別是多少?

（三）習題

1、A、B、C三人定期去圖書館：A每6天去一次,B每8天去一次，C每9天去

一次。假如他們在10月1日那一天三人同時去了圖書館，那么下一次三人同時

去圖書館是在什么日期？

2、有36枝鋼筆、40個練習本平均獎給幾個優秀學生，結果多出了1枝鋼筆,

但少了2個練習本。那么優秀學生有兒人?

七、爺爺對小明說：“我現在的年齡是你的7倍，夠幾年后就只是你的6倍了,

再過一些年分別會變成你的5倍、4倍、3倍。”

聽了你這段話，你能求出爺爺和小明今年各自的歲數嗎？

/、馬路上有一排電線桿共有25根，每相鄰兩根之間的間隔距離為45米，現在

要改造成每相鄰兩根之間的間隔距離為60米。那么共有有多少根無需移動？

5、甲、乙、丙三人沿一環形跑道跑步，甲跑一圈須要1分12秒、乙跑一圈須要

1分20秒，丙跑一圈須要1分30秒。三人同時從起點動身后，最少經過多少時

間三人又同時相遇于起點？

6、求小于2000而且正好只有21個約數的最大自然數是多少？

7、某數除以3余2,除以5余4,除以7余6。那么這個數最小是多少？

8、兩個數的最大公約數是6而最小公倍數是108、和是66o這兩個數各是多少？

9、已知甲、乙兩數的最大公約數是12,而它們的最小公倍數是576。那么甲、

乙兩數分別是多少？

10、已知（A,B）=20,且A共有8個約數、B共有9個約數。那么A+B=?

11、已知AXB=12250,且（A,B）=35。那么A、B分別是多少?

12、已知A+B=630,且（A,B）=42。那么A、B分別是多少？

町3、某人每連續上8天班后連休2天，已知他本周周六、周日休息，那么要再

過幾個星期后他又會在周日休息？

“4、現在已知3個不同自然數的和為385。那么這樣的3個不同自然數的最大

公約數可以達到的最大值是多少？

15、四個連續奇數的最小公倍數為9009,那么這四個數之和是多少？

16、已知自然數A有2個約數，那么自然數5A有多少個約數？

5、余數問題（一、二）

（-）學問及技能

1、依據帶余除法的結溝駕馭余數的本質含義及性質，并能應用其解決相關實際

問題。

①被除數+除數=商……余數（OW余數V除數）

商和余數說明白被除數是除數的幾倍多幾。除數和商I（被除數一余數）

②余數的含義在實際生活中常被應用于周期現象的對應推算。

③余數的性質常用于轉化整除的分析。

2、同余：

整數a,b除以n時所得余數相同，則稱a,b對于n同余。記為a三b(modn)

①依據整除的相關學問，相應可得同余的有關性質。

(1)反身性、對稱性、傳遞性。

(2)和、差、積、倍,幕運算的封閉性。

若a三b(modn),c=d(modn)，那么：

a+c=b+d(modn),a—c=b—d(modn).

ac=bd(modn),ka=kb(modn),an=b"(modn)

說明：運用同余的性質可以將整數在只關注余數角度的狀況下不斷化簡，直到求

出小于除數的余數為止。

②依據同余的性質可以遞推出中國剩余定理巧解“韓信點兵二

③某些求幕的個位數字的問題既一方面可歸為對于10的同余問題，另一方面可

以更加簡潔地歸為具有循環現象的周期問題。

(二)例題

例1、一個兩位數去除251,得到的余數是41,求這個兩位數。

例2、已知A：B=8……16,且AIB=439,那么A=?B=?

例3、已知2009年8月5日是星期三，那么2010年元旦是星期兒？

2009年六一兒童節呢？

例4、如圖，從數字行算起，2009在從上往下第幾行？從左往右第幾列？

ABCDEFG

23293541475359

777165

838995101107113119

137131125

例5、(1)求15X38X412X541除以13所得的余數。

(2)求4327X3275+3983—19X876除以17所得的余數。

例6、假如今日是星期六，那么過ZOOO?順天是星期幾？

例7、(1)求2OO92009的個位數字。

(2)求7加。的末兩位數字。

例8、某數除以3余1,除以5余3,除以7余5.滿意這個條件的最小自然數是

多少？

※例9、傳聞漢朝大將韓信點兵時，只要讓他看看士兵進行操練時的隊形變換狀

況就可以知道有多少士兵。有一次他檢閱一支一千多人的隊伍，望見成四路縱隊

時多出2人，成五路縱隊時多出1人，成七路縱隊時多出兩人，成十一路縱隊時

多出3人。至此他已經知道了士兵總數，你能夠求出嗎？

例10、一個數除以5余1,除以6余3,除以7余6。這個數最小是多少？

(三)習題

1、有一個整數，用它去除300,262,205所得的余數相同且不為0,那么這個

整數是多少？

2、在一個有余數的除法算式里，被除數、除數、商和余數之和為933,而已知

商是40、余數是16。那么被除數是多少？

3、有一列數：3,5,8,8,5,3,3,5,8,8,5,3,……

這個數列的第2009項是幾？它的前2009項之和是多少？

4、已知2009年8月18日是星期二，那么2012年元旦是星期幾？

2012年六一兒童節呢？

5、如圖，從數字行算起，2007在從上往下第幾行？從左往右第幾列？

ABCDEFG

33394551

696357

75818793

in10599

6、(1)求47X67X567X741除以13所得的余數。

(2)求4589X3475+3897-23X896除以17所得的余數。

7、假如今日是星期六，那么過3點天是星期幾?

8、⑴求1987-的個位數字。

(2)求7200°的末兩位數字。

9、某數除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,除以7

余6,除以8余7,除以9余8.滿意這個條件的最小自然數是多少？

10、一個數除以5余3,除以7余2,除以8余5。這個數最小是多少？

11、某年的10月份有5個星期六、4個星期天。那么這一年的10月1日星期幾?

12、求1,+2,+3,+4,-5'+……+198'+199’的和得個位數字。

6、整數的奇偶性

(-)學問及技能

1、對于整數問題，我切除了常從整除的角度進行思索以外，還有另一常用的思

索和分析工具一一奇偶性。

①排列方面

奇數的個位依次為1,3,5,7,9；偶數的個位依次為0,2,4,6,8。

這一方面說明白相鄰的奇數或相鄰的偶數依次相差2,另一方面還說明白依據自

然數的依次奇、偶數交替排列。這一性質常被借用于染色說理。

②運算方面

加減法中，兩數相加減，同性得偶，異性得奇；推廣即有：若干個數相加減，只

有當其中共奇數個奇數時結果才為奇數。

乘法中則只要有一個因數為偶數則積為偶數。

2、解題要求：

①能夠依據奇偶性進行簡潔的數的推斷及結果的性質判別。

②能夠借用奇偶數的排列性質，結合染色手段,解決有關實際問題的推斷和說理。

(二)例題

例1、將1999拆為兩人質數之和。那么這兩個質數的積是多少？

例2、(1)算式1+2+3+4+5+……+2009的結果為奇數還是偶數?為什么?

(2)算式1X2+3X4+5X6+……+2009X2010的結果為奇數還是偶數？

為什么？

例3、(1)將2009個小球隨意分堆，則個數為奇數的堆數是奇數還是偶數？為

什么？

(2)有101個盒子排成一排,依次放入1,2,3,4,……，101個小球；

然后隨意打亂依次，再依次放入1,2,3,4,……，101個小球。這時將每個盒

子里球數相乘，積是奇數還是偶數？為什么？

例4、三個連續的偶數之積是一個六位數求這三個偶數。

例5、某月內有3個星期天的日期為偶數，那么這個月的12號是星期兒?

例6、如圖，你能用3個“田”和1個“T”覆蓋住4X4的網格嗎？為什么？

田

例7、如圖是中國象棋棋盤的一部分，依據規則，“馬”走“日”，那么棋盤上的

“馬”能否經過2009步跳到A點處？為什么？

(三)習題

1、三個連續的偶數之積是一個五位數8派派派8,求這三個偶數。

2、三個連續的奇數之積是一個六位數求這三個奇數。

3、將4018張卡片分為兩組，每組的2009張上面分別寫有數1,2,3,4,……,

2009o每次從兩組中各自抽出一張并將卡片上兩數相加，共得2009個和。那么

這2009個和得積是奇數還是偶數？為什么？

4、有一批文章共19篇，頁數分別為1,2,3,4,……，19。假如將這批文章

依據某種次序裝訂成冊并統一編上頁碼，那么每篇文章的第一頁是奇數的文章最

多能有多少篇？

5、已知A、B、C是三個連續的自然數，且其中只有一個偶數。那么(A-l)X

(B-2)X(C-3)的結果是奇數還是偶數？為什么？

6、有11只杯子，杯口全部朝上。每次將其中的4只翻轉稱為一次運動。那么能

否經過若干次運動使得杯口全部朝下？為什么？

7、證明：不存在這樣的整數A、B、C使得下面3個算式同時成立?

ABC+A=2009..........①

ABC+B=2011..........②

ABC+C=2013..........③

8、隨意交換某個三位數的三個數字得到一個新的三位數。某位同學將這兩個三

位數相加后得到和為999。證明：該同學的計算肯定有錯誤。

9、某個展覽會有25個展廳分布如圖呈一個5X5網格，且相鄰兩室均有門相通。

有人希望能夠從入口進，從出口出，每個展室去一次且只去一次。他能夠辦到嗎？

為什么？

【小學奧數培訓資料二：計數】

1、枚舉法

一、內容概述

1、計數即統計數目，計數的關鍵在于既不重復、也不遺漏。要做到這一點，關

鍵是要在確定范圍以后先依據肯定的標準分類，再按肯定的依次進行計數。枚舉

就是將要計數的物體分類有序地一一列舉、再進行總數統計的方法。

2、枚舉無疑是最原始、最簡潔的計數方法，但是它同時也是計數最牢靠的方法,

也是發覺規律、找到技巧的最佳方法。枚舉是解決計數的過程中的基本方法，不

是最終目的。因此，假如能夠在列舉過程中剛好發覺規律并加以應用和推廣，將

更有利于問題的盡快、盡簡解決。

3、對于多步枚舉，借助樹形圖列舉是是解決這一問題的常用技巧。

二、枚舉法的運用舉例

1、分類枚舉

例1、分子小于6而分母小于60的最簡真分數共有多少個？

例2、一本書共356頁，那么編它的頁碼時一共月多少個數字？

例3、一個長方形被一條直線分為2個部分，那么8條直線最多可以將長方形分

為多少個部分？假如是2002條呢？

例4、各位數字之和等于10的三位數一共有多少個?

2、多步枚舉一一借助樹形圖

例5、某人在A、B、C三個城市巡游，他今日在這個城市，明天就要到另一個

城市。那么，他從A城動身，4天后仍舊回到A城，共有多少種不同巡游路途？

例6、甲、乙兩人進行象棋競賽，雙方約定先勝四局者最終勝。現在三局過后，

甲為二勝一負。那么要決出最終輸贏為止，一共有多少種不同的可能情形？其中

甲勝的不憐憫形共有多少種？（假設沒有和局）

3、標數枚舉（求最短路徑）

例7、如圖，要從A點走到B點，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方,

那么共有多少種不同走法？

例8、如下各圖，由A點沿最短路途到達B點各有多少種不同走法?

A(1)⑵

三、習題

1、分子小于5而分母小于30的最簡真分數共有多少個?

2、用4、5、6、7、8這五個數能夠組成多少組互質數？

3、現有1克、2克、4克、8克、16克的跌碼各一個，稱東西時，祛碼只能放在

天平的一邊，用這些祛碼可以稱出多少種不同的重量?

4、各位數字之和等于15的三位數一共有多少個?

5、在1?200的自然數中，不含數字“7”的數有多少個?

6、如下圖，由A點沿最短路途到達B點各有多少種不同走法?

7、從1、2、3、4、6、8這六個數字中隨意取出兩個作為被除數和除數，那么比

1大的不同的商一共有多少個？

8、甲、乙兩人進行乒乓球競賽，雙方約定先勝五局者最終勝。現在四局過后，

甲為三勝一負。那么要決出最終輸贏為止，一共有多少種不同的可能情形？

其中甲勝的情形共有多少種？

2、加法，乘法原理（一）

一、內容概述

1、加法原理和乘法原理來源于枚舉法中分類枚舉和多步枚舉，是枚舉中對于規

律的一種概括。

加法原理：完成一件事情，有k類不同的方法，而各類方法中明顯分別有皿、

m2、m3.....mk種不同的做法，那么完成這一件事情的方法總

數為：mi+m2+...+mk

乘法原理：完成一件事情，有k個必經的步驟，而各個步驟中分別有mi、m2、

m3.............mk種不同的做法且搭配一樣，那么完成這一件事情的

xx

方法總數為：mixm2.......mk

2、可以用下圖表示加法原理和乘法原理：

|起點卜4|第一步第二步修

f|第一步卜》|終點

加法原理乘法原理

一、運用

例1、書架上有1?4冊的語文書各一本、1?3冊的外語書各一本、1?6冊的數

學書各一本。那么：

（1）從書架上取書一本，共有多少種取法？

（2）從書架上取語文、外語、數學書各一本，共有多少種取法？

例2、有5分幣，2分幣，1分幣各若干，現要組成1角錢，共有多少種不同的

組合方式？

例3、用10把鑰匙開10把鎖，但是不知道哪把鑰匙開哪把鎖，那么最多試多少

次就能夠將全部的鑰匙和全部的鎖一配好？

例4、由數字0、1、3、5、7可以組成多少個沒有重復數字的四位數？能被5整

除的四位數（沒有重復數字）有多少個？

例5、在下圖中共有16個方格，現在要將A、B、C、D四枚棋子放到方格中，

而且要求每一行、每一列都只能出現一枚棋子，那么一共有多少種不同的放法?

例6、紅日小學的乒乓球代表隊由10名男隊員和8名女隊員組成:

（1）在鄉乒乓球對抗賽上，紅日小學要從這些隊員中選擇1名男隊員，1名女

隊員配成一組去參與男女混合雙打競賽，問有多少種不同的搭配方式？

（2）紅日小學榮獲鄉乒乓球競賽團體總分第一，校領導要從男隊員或女隊員中

任選一人去登臺領獎，問有多少種不同的選法？

三、習題

1、玩具商店有玩具槍5種、玩具飛機3種、玩具汽車6種。小明的爸爸只許他

選買一種。小明有多少種選擇方法？

2、有1枚5分硬幣、4枚2分硬幣、8枚1分硬幣。現在要取出8分錢，有多少

種取法？

3、有20名乒乓球選手進行單循環賽（每兩人都要賽一場），共要進行多少場競

賽？

4、在1000?1999的自然數中，個位數字大于百位數字的數一共有多少個？

5、有5件不同的上衣、3條不同的褲子、4頂不同的帽子，從中取出一頂帽子、

一件上衣、一條褲子配成一套裝束，最多有多少種不同的搭配方式?

6、用數字0?4這五個數字可以組成多少個沒有重復數字的三位數?

7、上海到南京的快車，除起點、終點外還要停靠6個站。那么該路快車要準備

多少種車票？

8、一支籃球隊有A、R、C、D、E五名隊員，由于某種緣由，C不能做中鋒,其

余四名隊員可以安排到五個位置中的隨意一個上。那么該支籃球隊一共有多少種

不同的站位方式？

9、有4只小鳥飛入4個不同的籠子里，而每只小鳥都有自己的一個籠子，且每

個籠子里只能進一只小鳥。假如要求都不飛入自己的籠子里，那么一共有多少種

不同的飛法？

3、加法，乘法原理（二、三）

一、學問要點：

1、加法原理和乘法原理的區分首先在于是對所完成的“事情”能夠一步到位而進

行分類還是必需分步。

2、生活中進行加法原理及乘法原理的實際應用時，常常應當先考慮分類，再考

慮在每一類中進行分步。但要留意：有時并不能干脆發覺分類，而是在依據所分

的步驟前進幾步以后才發覺某一步中方法數不確定，這時就須要找到不確定的緣

由并作為分類的標準重來，先分類、再分步進行計數。

3、在乘法原理的運用中，常用到以下技巧：

(1)特殊位置先排或恃殊對象優先考慮；

(2)相鄰站位時的整體捆住法；

(3)不相鄰站位時的選空插入法。

二、加法及乘法原理的綜合運用

例1、如圖是連接城市A、B、C的馬路網，汽車從A點動身經過B到C選擇不

繞遠路的不同路途共有多少種？

例2、在1-50()的自然數中，不含有數字“4”的數共有多少個？A

例3、用4種顏色染下圖中編號為1,2,3,4的4個矩形，使任二相鄰的矩形

所染的顏色都不相同的染色方法有多少種？

例4、用紅、黃、綠三面旗子掛在旗桿上，可以掛一面、兩面、三面，不同的依

次，算不同的掛法。問有多少種不同的掛法？

例5、有1()級臺階，小明每步只能跨一級或者二級，那么小明要從底層上樓到

第I級有多少種不同的走法？

例6、育才小學有語文、數學、音樂、圖畫、體育5個課外活動小組，每個學生

必需參與且只能參與其中任何一個小組，冬冬和明明不在同一課外活動小組

的狀況有多少種？

例7、如下圖，從A處穿過房間到達B處，假如要求只能夠從小號房間走向大

號房間，而且相鄰的房間都有門相通，那么一共有多少種不同走法？

例8、有A、B、C、D、E五人站成一排照相：

（1）A、R只能站兩端，一共有多少種不同的站法？

（2）A、B不能站兩端，一共有多少種不同的站法？

（3）A、B只能站相鄰位置，一共有多少種不同的站法?

（4）A、B不能站相鄰位置，一共有多少種不同的站法?

三、習題

1、如圖，從A城到B城一共有多少種不同的走法?

2、支配甲、乙、丙、丁四人坐在一條長椅上，一共有多少種不同的方法？

3、一本書有376頁，那么編排這本書的頁碼共用多少個數字？其中數字“2”用

了多少次？

4、用兩個3、一個1、一個2可以組成多少個不同的四位數?

5、如圖是連接城市A、B、C的馬路網，汽車從A點動身經過B到C選擇不繞

遠路的不同路途共有多少種？P

6、有10級臺階，小明每一步只能跨一級或者兩級或者三級，那么小明要從地面

跨上第10級臺階一共有多少種不同的走法?

7、用數字0?5可以組成多少個：

（1）沒有重復數字的四位數？（2）沒有重復數字的能被5整除的四位數?

去（3）沒有重復數字的能被4整除的四位數？

8、有A、B、C、D、E、F、G、H八人站成一排照相，其中A、B、C三人只能

站在一起，那么一共有多少種不同的站法？

9、如圖，分別用4種顏色中的某一種對圖中A?E五個區域染色，要求相鄰區域

不同顏色，那么各圖中各有多少種不同

的染色方法？

4、容斥原理

(1)

一、內容概述

I、前面所學的枚舉計數以及加法原理及乘法原理的運用都要求各類獨立。然而

實際生活中的計數還常常遇到不行避開的各類中互有重復的情形，這時就要用到

容斥原理。

2、容斥原理（又稱包含及解除）是計數中的一個基本原理，也是一個常用的計

數方法：在計數過程中，常常先將所計數的對象分為兒個部分，在對全部的部分

分別計數后再進行相加，然后減去重復計數的那些部分。

3、應用容斥原理進行三類相互重復的實際計數時，為了能夠清晰直觀地看到計

數的各個部分以及全部重復的那些部分，常常通過作出“韋恩圖”一相交的圓圈

集合覆蓋圖予以展示。（如下圖）

從圖示可以看出：要計數第一、二、三部分一起

覆蓋面的大小，一方面可以將圖分為7個互不

相交的部分干脆相加；（這樣即分類枚舉）另一方面也

可以先將一、二、三部分相加，再減去重復的部分。想一想：怎樣減去？

3、對于容斥原理還要能夠敏捷地正反運用于計數中解決實際問題。

二、運用

（一）C=A+B-AB,這一公式可計算出兩個集合圈的有關問題。

例1、四?一班的全體同學都參與了音樂、美術這樣兩個課外活動小組。其中參與

音樂組的有29人，參與美術組的有32人，而兩個組都參與的同學有12人、那

么四.一班一共有多少名同學？

例2、在1-5（）的自然數中，是6的倍數或者9的倍數的數一共有多少個?

（二）D=A+B+C-AB-AC-BC+ABC,這一公式可計算三個集合圈的有關

問題。

例3、六年級的160名學生參與期末考試，其中：數學得滿分的有58人，語文

得滿分的有53人，外涪得滿分的有59人；而語文、數學都得滿分的有17人，

數學、外語都得滿分的有22人，語文、外語都得滿分的有2（）人：語文、數學、

外語都得滿分的有1（）人。那么六年級學生中語、數、外一門滿分都沒得的有多

少人？

例4、在1-500的自然數中，既不能被2整除、又不能被3整除、且不能被5整

除的數一共有多少個？

（三）圖像法綜合運用

不是利用容斥原理的公式計算，而是依據題意畫圖，并借助圖形幫助分析，

逐個地計算出各個部分，從而解答問題。

例5、某班有學生48人，其中21人參與數學競賽，13人參與作文競賽，有7

人既參與數學競賽又參與作文競賽，那么

（1）只參與數學競賽的有多少人？

（2）參與競賽的一共有多少人？

（3）沒有參與競賽的一共有多少人？

例6、在不超過100的自然數中：

（1）被2、3、5三個數都能整除的數有多少個？

（2）能被2、3、5中一數整除，但不能被另兩數整除的數分別有多少個？

（3）能被2、3、5中兩數整除，但不能被另一個整除的數分別有多少個？不能

被2、3、5中任何一個數整除的數有多少個？

例7、有6個邊長10厘米的正方形紙片都在中心被挖了一個正方形洞而形成了6

個寬1厘米的正方形方框放在桌面上，如圖。求它們一共蓋住桌面的面積。

三、習題

1、在1?100的自然數中，既不是3的倍數、也不是5的倍數的數一共有多少個?

2、六年級有語文、數學、英語三個課外活動小組。參與了語文小組的有27人，

參與了數學小組的有23人，參與了英語小組的有18人；而同時參與了語文、數

學小組的有4人，同時參與了數學、英語小組的有7人，同時參與了英語、語文

小組的有5人；三個小組都參與的有2人。那么六年級參與了課外小組的一共有

多少人？

3、如圖：A、B、C三人圓的面積分別為9、8、1：平方厘米，而A及B、B及C、

C及A每兩個圓的公共部分面積分別為5、4、3衣方厘米。

現在已知三個圓共蓋住桌面18平方厘米。那么三個圓都重A，一[/1B

合的部分有多大？\7

4、在1?500的自然數中，既不是3的倍數、也不是5的倍數、且不是7的倍數

的數一共有多少個？

5、抽屜原理(一)

一、學問要點：

1、抽屜原則是應用生活實例得出的一種描述整體狀態的“數學模型

(1)簡潔的抽屜原則:將n+1個“蘋果”放入n個“抽屜”中,則必定有一個“抽

屜”中至少放入了2個“蘋果”。

(2)加強的抽屜原則：將mn+1個“蘋果”放入n個“抽屜”中，則必定有一個“抽

屜”中至少放入了m+1個“蘋果”。

抽屜原則的結論可以用反證法進行證明。

2、理解抽屜原則時須要留意：

（1）“蘋果”只是所考察的不同事物或者事物組的一個形象代稱；

（2）“抽屜”也只是在某種給定形式之下的一個個相互獨立的“單位”。

（3）抽屜原則所關注只是全部事物的一個整體狀態的最小值，因此不關注也不

須要求出詳細是哪一個“抽屜”的狀態，也不管其詳細的精確值。

一、運用

（一）已知“蘋果”和“抽屜”而借助抽屜原理說理或證明

例1、試證：任何13人中至少有2人在同一月份過生日。

例2、某奧林匹克數學班有52名同學，他們分別來自10所小學，請你證明，至

少有一所小學來的人數超過5人。

例3、有黑色、白色、黃色的筷子各8根混雜在一起，黑暗中想要從這些筷子中

取出不同顏色的兩雙筷子。那么至少要取多少根才能保證達到要求？

（-）求“蘋果”或“抽屜”

例4、一個口袋中裝有500粒珠子，共有5種顏色，每種顏色各100粒，假如你

閉上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保證其中有5粒顏色相同？

例5、體育器材里有一批籃球、排球、足球和實心球，每人隨意搬3個，那么在

61位搬運者中，至少有幾人搬運的球完全相同？為什么？

例6、用1、2、3這三個數字隨意寫出一個2003位數，從這個2003位數中隨

意截取相鄰的3位數字，可以組成很多三位數，這些三位數中至少有多少個是相

同的？

三、習題

1、在一副撲克牌中去掉大王和小王以后，任取多少張則至少有兩張為同一花色?

為什么？

2、已知六一班共55名學生，那么該班中至少有多少名學生同在一個月生日？為

什么？

3、有黑色、白色、黃色的筷子各12根混雜在一起，黑暗中想要從這些筷子中取

出不同顏色的兩雙筷子。那么至少要取多少根才能保證達到要求？

4、一個口袋中裝有600粒珠子，共有6種顏色，每種顏色各100粒，假如你閉

上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保證其中有6粒顏色相同？

5、六一班有43名學生報名參與數學、美術、書法這三個課外小組每人可以報名

參與一個、兩個或者三個小組。那么這些學生中至少有多少人的報名方式完全相

同？

6、用1、2、3這三個數字隨意寫出一個2009位數，從這個2009位數中隨意截

取相鄰的3位數字，可以組成很多三位數，這些三位數中至少有多少個是相同

的？

7、有N支隊伍參賽的足球競賽中，已經賽過了N+1場。證明：必定有一支隊

伍至少賽過了3場。

6、抽屜原理（二）

一、學問要點：

1、須要留意的兒個地方：

（1）抽屜原理是探討物品及抽屜的關系，要求物品數比抽屜數或抽屜數的倍

數多，至于多多少，這倒無妨。

（2）“隨意放”的意思是不限制把物品放進抽屜里的方法，不規定每個抽屜中

都要放物品，即有些抽屜可以是空的，也不限制每個抽屜放物品的個數。

（3）抽屜原理只能用來解決存在性問題，“至少有一個”的意思就是存在，滿

意要求的抽屜可能有多個，但這里只須要保證存在一個達到要求的抽屜

就夠了。

（4）將。件物品放入〃個抽屜中，假如"〃=機...b,其中匕是自然數，那

么由抽屜原理二就可得到，至少有一個抽屜中的物品數不少于（6+1）件。

（5）把全部整數依據除以某個自然數加的余數分為相類，叫做〃?的剩余類或

同余類，用[0],[1],…，[川-1]表示，每一個類含有無窮多個數，在

探討及整除有關的問題時，常用剩余類作為抽屜，依據抽屜原理.，可以

證明：隨意”+1個自然數中，總有兩個自然數的差是〃的倍數。

2、構造抽屜的方法：

運用抽屜原理解決有關的數學問題，關鍵是構造抽屜，常見的構造抽屜的方

法有：“數的分組”、“圖形的分割”、染色分類“、剩余類”等。

二、抽屜的構造

1、剩余類

例1、任取多少個自然數，必有兩個數的差是7的倍數？

2、數的分組

例2、從2、4、6、…、30、32這16個偶數中，任取幾個數，其中肯定有兩個

數之和是34?

例3、從1、2、3.............10這十個數中，任取六個數，試證：這六個數中總可

找到兩個數，其中一個數是另一個的倍數。

3、圖形的分割

例4、己知一平行四邊形，其較長對角線長為12米，隨意放進若干個點，至少

要放多少個點，才能保證其中必有兩點之間的距離不超過3米？

例5、在邊長為1的正三角形內(或其邊上)隨意放入1()個點，試證：其中至

少有兩個點的距離不超過

3

4、染色分類

例6、如圖在同一個3x9的方格棋盤內，隨意用紅色或藍色涂每個方格，試證:

至少有兩列的涂色方式是相同的。

3O00

-0-

Oo30

g--

Oo00

-7-

13o08

※例7、在一個3x7的方格棋盤的每一個小方格內放上一粒白棋子或一粒黑棋子,

試證：不論怎樣放，必定存在一個長方形，其四個角上小方格內的棋子同色。

解：如圖所示，每列3粒棋子擺放共有8種狀況，考慮最糟糕狀況，

先將2至7號放入3X7的方格棋盤中，此時還沒有這樣的長方形。

（1）若剩下的1列放2至7號中的某1歹力則同號的兩列

必存在四個角上小方格內的棋子同色：

若剩下的列放號，則、、號及號存在四個角上

（2）112341_--

000

--

小方格內的棋子同色；0oo00

3--

3oo00

--

（3）若剩下的1列放8號，則5、6、7號及834oo678

號存在四個角上小方格內的棋子同色。

所以不論怎樣放，必定存在一個長方形，其四個角上小方格內的棋子同色。

三、習題

1、任取多少個自然數，必有兩個數的差是9的倍數？

2、從2、4、6、…、60這30個偶數中，任取幾個數，其中肯定有兩個數之和是

62?

3、一個口袋里有紅球3個、黃球5個、藍球8個、黑球9個。從袋子里隨意取

球，一次至少取出多少個球才能保證必有4個同顏色的球？

4、有紅、黃、綠、白四種顏色的小球各若干個，每個人可以從中任取2個,那

么當有多少人取球時才能保證至少有4人所取得球完全相同？

5、某旅游團一行50人，隨意巡游甲、乙、丙三地。那么至少有多少人巡游為地

方完全相同？

6、在邊長2厘米的正三角形內有5個點。那么必有兩個點，它們之間的距離不

超過1厘米。為什么？

【小學奧數培訓資料三：計算】

1、分數的意義和性質

一、內容概述

1、分數的意義一一把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數,

叫做分數。

分數各部分名稱一一在分數里，中間的橫線叫做分數線；分數線下面的數叫做分

母，表示單位“1”平均分成多少份；分數線上面的數叫做分子，表示有這樣的

多少份。和除法相對應，分數的分子相當于被除數，分母相當于除數，分數線相

當于除號，因此。不能作為分母。

對于分數，要自覺聯想到關于它的平均分的整體（即單位“1”）和相應的份數。

對于除法計算，要自覺運用分數表示其結果。

2、分數的分類

真分數一一分子比分與小的分數，或者說分數值小于1的分數，如3、2。

57

假分數一一分子不小于分母的分數，或者說分數值不小于1的分數，如［、-o

69

一個假分數可以化為整數或帶分數（由整數和真分數合成的數如讓，3-）c

45

3、分數的性質一一分數的分子、分母同時擴大或縮小相同的倍數（不為0）,分

數值保持不變。

將一個分數的分子、分母縮小相同倍數的過程叫約分；將幾個分數的分母化為相

同的過程叫通分。

4、分數的大小比較常用方法：

統一分母；統一分子；都和1比；求差或求商比較法；倒數比較法，……

二、應用

例1、已知甲數是乙、丙平均數的那么甲數是甲、乙、丙平均數的幾分之幾？

7

例2、某人從甲地到乙地，用時3()分鐘；他返回時速度提高那么他回來用

4

時多久？

例3、要把9塊完全相同的巧克力平均分給4個孩子，每塊巧克力最多只能切成

兩部分。怎么分？

7

例4、分數1■的分子加上6,要使分數值不變，則分母應加上多少？

1

例5、計算：(1)(2)

234Too

例6、比較大小：

7515101260

(1)把下列各數用“〈”連接起來：—

3823萬‘歷‘87

(2)比較及的大小。

(3)比較分數和的大小。

(4)比較(1+—+—+—)X(—+—+—+—)

2342