第1頁/共1頁2025年山東省中考數學試卷真題及解析答案本試卷共8頁．滿分120分．考試時長120分鐘．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，用0.5毫米黑色簽字筆將答案寫在答題卡上．答案寫在本試卷上無效．一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個選項符合題目要求．1.如圖，數軸上表示點是（）A.M B.N C.P D.Q2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.我國“深藍2號”大型智能深海養殖網箱的主體是一個正六棱柱，其示意圖的主視圖是（）A. B. C. D.4.好客山東以其寬厚仁德的人文情懷、風景秀麗的河海山川吸引了來自世界各地的朋友，據統計，山東省2024年全年接待游客超9億人次．數據“9億”用科學記數法表示為（）A. B. C. D.5.已知，則下列運算正確的是（）A. B.C. D.6.某班學生到山東省博物館參加研學活動．博物館為同學們準備了以鎮館之寶“亞醜鉞”“蛋殼黑陶杯”“頌簋”為主題的三款文創產品，每位同學可從中隨機抽取一個作為紀念品．若抽到每一款的可能性相等，則甲、乙兩位同學同時抽到“亞醜鉞”的概率是（）A. B. C. D.7.明代數學家吳敬的《九章算法比類大全》中有一個“哪吒夜叉”問題，大意是：有3個頭6只手的哪吒若干，有1個頭8只手的夜叉若干，兩方交戰，共有36個頭，108只手．問哪吒、夜叉各有多少？設哪吒有個，夜叉有個，則根據條件所列方程組為（）A. B.C. D.8.在中國古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經常被視為君子修身齊家的象征．下圖是某玉璧的平面示意圖，由一個正方形的內切圓和外接圓組成．已知內切圓的半徑是2，則圖中陰影部分的面積是（）A. B. C. D.9.如圖，在平面直角坐標系中，A，C兩點在坐標軸上，四邊形是面積為4的正方形．若函數的圖象經過點，則滿足的的取值范圍為（）A. B. C. D.10.在水分、養料等條件一定的情況下，某植物的生長速度（厘米/天）和光照強度（勒克斯）之間存在一定關系．在低光照強度范圍（）內，與近似成一次函數關系；在中高光照強度范圍內，與近似成二次函數關系．其部分圖象如圖所示．根據圖象，下列結論正確的是（）A.當時，隨的增大而減小 B.當時，有最大值C.當時， D.當時，二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．11.寫出使分式有意義的的一個值______．12.在平面直角坐標系中，將點向下平移2個單位長度，得到的對應點的坐標是______．13.若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是______．14.取直線上一點，①過點作軸的垂線，交于點；②過點作軸的垂線，交于點；如此循環進行下去．按照上面的操作，若點的坐標為，則點的坐標是______．15.如圖，在中，，，．點為邊上異于的一點，以，為鄰邊作，則線段的最小值是______．三、解答題：本題共8小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.（1）計算：；（2）先化簡，再求值：，其中．17.在中，，，的平分線交于點．如圖1．（1）求的度數；（2）已知，分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，，作直線交于點，交的延長線于點F．如圖2，求的長．18.山東省在能源綠色低碳轉型過程中，探索出一條“以儲調綠”的能源轉型路徑．某地結合實際情況，建立了一座圓柱形蓄水池，通過蓄水發電實現低峰蓄能、高峰釋能，助力能源轉型．已知本次注水前蓄水池的水位高度為5米，注水時水位高度每小時上升6米．（1）請寫出本次注水過程中，蓄水池的水位高度y（米）與注水時間x（小時）之間的關系式；（2）已知蓄水池底面積為萬平方米，每立方米的水可供發電千瓦時，求注水多長時間可供發電萬千瓦時？19.在2025年全國科技活動周期間，某校科技小組對甲、乙兩個水產養殖基地水體的值進行了檢測，并對一天（24小時）內每小時的值進行了整理、描述及分析．【收集數據】甲基地水體的值數據：7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．乙基地水體的值數據：7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．【整理數據】甲25773乙429a2【描述數據】【分析數據】平均數眾數中位數方差甲779b7.810.10乙7.787.77c0.13根據以上信息解決下列問題：（1）補全頻數分布直方圖；（2）填空：______，______；（3）請判斷甲、乙哪個基地水體的值更穩定，并說明理由；（4）已知兩基地對水體值的日變化量（值最大值與最小值的差）要求為0.5~1，分別判斷并說明該日兩基地的值是否符合要求．20.如圖，在中，點在上，邊交于點，于點．是的平分線．（1）求證：為切線；（2）若的半徑為2，，求的長．21.【問題情境】2025年5月29日“天問二號”成功發射，開啟了小行星伴飛取樣探測的新篇章．某校航天興趣小組受到鼓舞，制作了一個航天器模型，其中某個部件使用3D打印完成，如圖1．【問題提出】部件主視圖如圖2所示，由于1的尺寸不易直接測量，需要設計一個可以得到的長度的方案，以檢測該部件中的長度是否符合要求．【方案設計】興趣小組通過查閱文獻，提出了鋼柱測量法．測量工具：游標卡尺、若干個底面圓半徑相同的鋼柱（圓柱）．操作步驟：如圖3，將兩個鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合．示意圖如圖4，分別與，相切于點，．用游標卡尺測量出的長度．【問題解決】已知，的長度要求是．（1）求的度數；（2）已知鋼柱的底面圓半徑為，現測得．根據以上信息，通過計算說明該部件的長度是否符合要求．（參考數據：）【結果反思】（3）本次實踐過程借助圓柱將不可測量的長度轉化為可測量的長度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果能，寫出一個；如果不能，說明理由．22.已知二次函數，其中，為兩個不相等的實數．（1）當、時，求此函數圖象的對稱軸；（2）當時，若該函數在時，y隨的增大而減小；在時，隨的增大而增大，求的取值范圍；（3）若點，，均在該函數的圖象上，是否存在常數，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由23.【圖形感知】如圖1，在四邊形中，已知，，．（1）求的長；探究發現】老師指導同學們對圖1所示的紙片進行了折疊探究．在線段上取一點，連接．將四邊形沿翻折得到四邊形，其中，分別是A，D的對應點．（2）其中甲、乙兩位同學的折疊情況如下：①甲：點恰好落在邊上，延長交于點，如圖2．判斷四邊形的形狀，并說明理由；②乙：點恰好落在邊上，如圖3．求的長；（3）如圖4，連接交于點P，連接．當點E在線段上運動時，線段是否存在最小值？若存在，直接寫出；若不存在，說明理由．

2025年山東省中考數學試卷真題及解析答案一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個選項符合題目要求．1.如圖，數軸上表示的點是（）A.M B.N C.P D.Q【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了數軸，弄清數軸上表示數的位置是解題的關鍵．觀察數軸得到表示的點即可．【詳解】解：如圖，在數軸上的點M、N、P、Q中，表示的點是M．故選：A．2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．根據中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義進行逐項判斷即可．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意；B．是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，符合題意；C．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意；D．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：B．3.我國“深藍2號”大型智能深海養殖網箱的主體是一個正六棱柱，其示意圖的主視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，掌握主視圖是從正面看到的圖形成為解題的關鍵．根據主視圖是從正面看到的圖形即可解答．【詳解】解：根據三視圖的概念，可知該正六棱柱的主視圖為．故選：C．4.好客山東以其寬厚仁德的人文情懷、風景秀麗的河海山川吸引了來自世界各地的朋友，據統計，山東省2024年全年接待游客超9億人次．數據“9億”用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了科學記數法，將數據表示成形式為的形式，其中，n為整數，正確確定a、n的值是解題的關鍵．將“9億”寫成其中，n為整數形式即可．【詳解】解：“9億”．故選C．5.已知，則下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了合并同類項、冪的乘方、同底數冪除法等知識點，掌握相關運算法則成為解題的關鍵．根據合并同類項、冪的乘方、同底數冪除法法則逐項判斷即可解答．【詳解】解：A．，故該選項錯誤，不符合題意；B．，故該選項正確，符合題意；C．與不是同類項，無法合并為，故該選項錯誤，不符合題意；D．，故該選項錯誤，不符合題意．故選：B．6.某班學生到山東省博物館參加研學活動．博物館為同學們準備了以鎮館之寶“亞醜鉞”“蛋殼黑陶杯”“頌簋”為主題的三款文創產品，每位同學可從中隨機抽取一個作為紀念品．若抽到每一款的可能性相等，則甲、乙兩位同學同時抽到“亞醜鉞”的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了運用列表法求概率，根據題意正確列表確定所有等可能結果數和符合題意的結果數是解題的關鍵．先用列表法確定所有等可能結果數和符合題意的結果數，然后用概率公式計算即可．【詳解】解：設三款鎮館之寶“亞醜鉞”“蛋殼黑陶杯”“頌簋”分別用A、B、C表示：根據題意列表如下：

ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C則共有9種等可能結果，其中甲、乙兩位同學同時抽到“亞醜鉞”的結果數為1，則甲、乙兩位同學同時抽到“亞醜鉞”的概率是．故選A．7.明代數學家吳敬的《九章算法比類大全》中有一個“哪吒夜叉”問題，大意是：有3個頭6只手的哪吒若干，有1個頭8只手的夜叉若干，兩方交戰，共有36個頭，108只手．問哪吒、夜叉各有多少？設哪吒有個，夜叉有個，則根據條件所列方程組為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程組的應用，審清題意、找準等量關系、列出方程是解題的關鍵．設哪吒有個，夜叉有個，然后根據等量關系“共有36個頭”和“108只手”列出二元一次方程組即可解答．【詳解】解：設哪吒有個，夜叉有個，然后根據題意可得：．故選D．8.在中國古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經常被視為君子修身齊家的象征．下圖是某玉璧的平面示意圖，由一個正方形的內切圓和外接圓組成．已知內切圓的半徑是2，則圖中陰影部分的面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了正方形的內切圓、外切圓、勾股定理等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關鍵．如圖：連接相交于O，由正方形的內切圓的半徑是2，，，再運用勾股定理可得，則，最后根據圓的面積公式求解即可．【詳解】解：如圖：連接相交于O，∵正方形的內切圓的半徑是2，∴，，∴，，∴圖中陰影部分的面積是．故選D．9.如圖，在平面直角坐標系中，A，C兩點在坐標軸上，四邊形是面積為4的正方形．若函數的圖象經過點，則滿足的的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了正方形的性質、坐標與圖形、反比例函數與不等式等知識點，掌握數形結合思想是解題的關鍵．由題意可設點B的坐標為，易得，即點B的坐標為，再結合反比例函數圖象即可解答．【詳解】解：∵四邊形是面積為4的正方形，設點B的坐標為，∴，解得：（已舍棄負值）．∴點B的坐標為，∵函數的圖象經過點，∴滿足的取值范圍為．故選A．10.在水分、養料等條件一定的情況下，某植物的生長速度（厘米/天）和光照強度（勒克斯）之間存在一定關系．在低光照強度范圍（）內，與近似成一次函數關系；在中高光照強度范圍內，與近似成二次函數關系．其部分圖象如圖所示．根據圖象，下列結論正確的是（）A.當時，隨的增大而減小 B.當時，有最大值C.當時， D.當時，【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次函數圖象的性質、二次函數與不等式等知識點，掌握數形結合思想是解題的關鍵．根據拋物線可直接判斷A選項；根據拋物線以及相關數據可得拋物線的對稱軸為，進而判定B選項；根據函數圖象可判定C選項；根據二次函數的對稱性可判定D選項．【詳解】解：A．當時，隨的增大先增大、后減小，即A選項錯誤，不符合題意；B．由函數圖象可知：拋物線的對稱軸為，即當時，有最大值，則B選項正確，符合題意；C．由函數圖象可知：當時，，即C選項錯誤，不符合題意；D．當時，由圖象知，對應的值有兩個，即D選項錯誤，不符合題意．故選B．二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．11.寫出使分式有意義的的一個值______．【答案】1（不唯一）【解析】【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件為分母不等于零是解題的關鍵．先根據分式有意義的確定x的取值范圍，然后確定x的可能取的值即可．【詳解】解：∵分式有意義，∴，解得：．∴的取值可以為．故答案為：1（不唯一）．12.在平面直角坐標系中，將點向下平移2個單位長度，得到的對應點的坐標是______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了點的平移，掌握平移規律“左減右加，上加下減”是解題的關鍵．直接運用平移規律“上加下減”即可解答．【詳解】解：將點向下平移2個單位長度，得到的對應點的坐標是，即，故答案為：．13.若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，注意記憶判別式大于0時有兩個不相等的實數根，判別式等于0時有兩個相等的實數根，判別式小于0時方程無實數根．根據有兩個不相等的實數根，直接得到判別式，即可求解本題．【詳解】解：∵方程有兩個不相等的實數根，∴，解得：；故答案：．14.取直線上一點，①過點作軸的垂線，交于點；②過點作軸的垂線，交于點；如此循環進行下去．按照上面的操作，若點的坐標為，則點的坐標是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一次函數和反比例函數規律探究；根據題意可以寫出點、、、的坐標，從而可以發現各點的變化規律，從而可以寫出點的坐標．【詳解】解：∵點的坐標為，∴點的橫坐標為1，∴點的坐標為，∴點的縱坐標為1，∴點的坐標為，同理點的橫坐標為，∴點的坐標為，點的坐標為，∴四個點一個循環，∵余1，∴點的坐標與點相同，是，故答案為：．【點睛】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征、規律型，勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質和數形結合的思想解答．15.如圖，在中，，，．點為邊上異于的一點，以，為鄰邊作，則線段的最小值是______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質、垂線段最短等知識點，掌握平行四邊形對角線相互平分是解題的關鍵．由勾股定理可得，設與交于點O，過O作于點，由四邊形作是平行四邊形得、，根據垂線段最短可得當時，即P與重合時，最小；再運用三角函數求得，進而求得即可解答．【詳解】解：∵在中，，，，∴，如圖，設與交于點O，過O作于點，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴、∴當線段長最小，則線段的長最小，由垂線段最短可得：時，即P與重合時，最小；∵，∴，解得：．∴線段長最小為．故答案為：．三、解答題：本題共8小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.（1）計算：；（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）2；（2），4【解析】【分析】本題考查了實數的混合運算，分式化簡求值．（1）根據零指數，算術平方根的性質，進行計算即可求解；（2）先根據分式的加減計算括號內的，然后進行乘法進行化簡，最后將字母的值代入求解．【詳解】解：（1）；（2）；當時，原式．17.在中，，，的平分線交于點．如圖1．（1）求的度數；（2）已知，分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，，作直線交于點，交的延長線于點F．如圖2，求的長．【答案】（1）；（2）．【解析】2025年山東省中考數學試卷真題及解析答案【分析】（1）由角平分線的定義求得，再利用三角形的外角性質求解即可；（2）由作圖知是線段的垂直平分線，求得，求得，，再證明，據此求解即可．【小問1詳解】解：∵，，∴，∵是的平分線，∴，∴；【小問2詳解】解：由作圖知是線段的垂直平分線，∴，∵，∴，∵，，∴，，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查了三角形的外角性質，垂直平分線的作法和性質，解直角三角形，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．18.山東省在能源綠色低碳轉型過程中，探索出一條“以儲調綠”的能源轉型路徑．某地結合實際情況，建立了一座圓柱形蓄水池，通過蓄水發電實現低峰蓄能、高峰釋能，助力能源轉型．已知本次注水前蓄水池的水位高度為5米，注水時水位高度每小時上升6米．（1）請寫出本次注水過程中，蓄水池水位高度y（米）與注水時間x（小時）之間的關系式；（2）已知蓄水池的底面積為萬平方米，每立方米的水可供發電千瓦時，求注水多長時間可供發電萬千瓦時？【答案】（1）（2）注水5小時可供發電萬千瓦時．【解析】【分析】本題考查一次函數的應用、一元一次方程的應用等知識點，正確列出函數解析式和方程是解題的關鍵．（1）根據蓄水池的水位高度等于注水時水位每小時升高的高度乘以注水時間與本次注水前蓄水池的水位高度的和，據此列出函數關系式即可；（2）根據y與x的函數關系式以及已知條件列關于x的一元一次方程并求解即可．【小問1詳解】解：由題意可得：蓄水池的水位高度y（米）與注水時間x（小時）之間的關系式．【小問2詳解】解：根據題意，得，解得．答：注水5小時可供發電萬千瓦時．19.在2025年全國科技活動周期間，某校科技小組對甲、乙兩個水產養殖基地水體的值進行了檢測，并對一天（24小時）內每小時的值進行了整理、描述及分析．【收集數據】甲基地水體的值數據：7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．乙基地水體的值數據：7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．【整理數據】甲25773乙429a2【描述數據】【分析數據】平均數眾數中位數方差甲7.79b7.810.10乙7.787.77c0.13根據以上信息解決下列問題：（1）補全頻數分布直方圖；（2）填空：______，______；（3）請判斷甲、乙哪個基地水體的值更穩定，并說明理由；（4）已知兩基地對水體值的日變化量（值最大值與最小值的差）要求為0.5~1，分別判斷并說明該日兩基地的值是否符合要求．【答案】（1）見解析（2）；（3）甲基地水體的值更穩定，理由見詳解；（4）甲符合要求，乙不符合要求．【解析】【分析】本題考查了直方圖與統計表，中位數及眾數，方差等知識點．（1）先求得a的值，即可補全頻數分布直方圖；（2）根據中位數及眾數的定義求解即可；（3）根據方差的意義求解即可；（4）計算值最大值與最小值的差即可求解．【小問1詳解】解：根據題意得，補全頻數分布直方圖如圖；；【小問2詳解】解：甲基地水體的值數據中，7.67出現了4次，出現次數最多，則；2025年山東省中考數學試卷真題及解析答案乙基地水體的值數據中，由小到大排列中間兩個數為7.77和7.81：則；故答案為：；；【小問3詳解】解：∵甲的方差為0.10，乙的方差為0.13，，∴甲基地水體的值更穩定；【小問4詳解】解：甲基地對水體值的日變化量：，乙基地對水體值的日變化量：，∴該日兩基地的值甲符合要求，乙不符合要求．20.如圖，在中，點在上，邊交于點，于點．是的平分線．（1）求證：為的切線；（2）若的半徑為2，，求的長．【答案】（1）見解析（2）．【解析】【分析】本題考查了切線的判定，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理等．（1）利用等邊對等角求得，由角平分線的定義求得，可證明，即可證明為的切線；（2）先證明等腰三角形，求得，據此求解即可．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∵是的平分線，∴，∴，即且為半徑，∴為的切線；【小問2詳解】解：∵，又，∴等腰直角三角形，∵的半徑為2，∴，∴，∴．21.【問題情境】2025年5月29日“天問二號”成功發射，開啟了小行星伴飛取樣探測的新篇章．某校航天興趣小組受到鼓舞，制作了一個航天器模型，其中某個部件使用3D打印完成，如圖1．【問題提出】部件主視圖如圖2所示，由于1的尺寸不易直接測量，需要設計一個可以得到的長度的方案，以檢測該部件中的長度是否符合要求．【方案設計】興趣小組通過查閱文獻，提出了鋼柱測量法．測量工具：游標卡尺、若干個底面圓半徑相同的鋼柱（圓柱）．操作步驟：如圖3，將兩個鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合．示意圖如圖4，分別與，相切于點，．用游標卡尺測量出的長度．【問題解決】已知，的長度要求是．（1）求的度數；（2）已知鋼柱的底面圓半徑為，現測得．根據以上信息，通過計算說明該部件的長度是否符合要求．（參考數據：）【結果反思】（3）本次實踐過程借助圓柱將不可測量的長度轉化為可測量的長度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果能，寫出一個；如果不能，說明理由．【答案】（1）；（2）該部件的長度符合要求；（3）見解析【解析】【分析】本題考查了切線長定理，解直角三角形的應用．（1）根據切線長定理求解即可；（2）解直角三角形求得，推出，據此求解即可；（3）能，將圓柱換成正方體．【詳解】解：（1）∵分別與，相切于點，，∴，；（2）∵鋼柱的底面圓半徑為，∴，∵，，∴，∴，同理，∴，∵，∴該部件的長度符合要求；（3）能，將圓柱換成正方體．22.已知二次函數，其中，為兩個不相等的實數．（1）當、時，求此函數圖象的對稱軸；（2）當時，若該函數在時，y隨的增大而減小；在時，隨的增大而增大，求的取值范圍；（3）若點，，均在該函數的圖象上，是否存在常數，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本題主要考查了二次函數的性質、因式分解的應用等知識點，靈活運用二次函數的性質成為解題的關鍵．（1）將、代入化簡，然后根據二次函數的性質即可解答；（2）代入化簡可得，然后根據二次函數的性質即可解答；（3）先求出，然后代入進行求解即可．【小問1詳解】解：當、時，二次函數可化為：，∴此函數圖象的對稱軸為．【小問2詳解】解：當時，二次函數可化：，∴拋物線對稱軸為，∵，∴拋物線開口方向向上，∵在時，y隨的增大而減小；∴，∵在時，隨的增大而增大；∴，∴．【小問3詳解】解：∵若點，，均在該函數的圖象上，∴，，∴；；∵，∴，整理得：∵，為兩個不相等的實數，∴，∴，解得：．23.【圖形感知】如圖1，在四邊形中，已知，，．（1）求的長；【探究發現】老師指導同學們對圖1所示的紙片進行了折疊探究．在線段上取一點，連接．將四邊形沿翻折得到四邊形，其中，分別是A，D的對應點．（2）其中甲、乙兩位同學的折疊情況如下：①甲：點恰好落在邊上，延長交于點，如圖2．判斷四邊形的形狀，并說明理由；②乙：點恰好落在邊上，如圖3．求的長；（3）如圖4，連接交于點P，連接．當點E在線段上運動時，線段是否存在最小值？若存在，直接寫出；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）①四邊形是矩形，理由見解析；②；（3）線段的最小值為．2025年山東省中考數學試卷真題及解析答案【解析】【分析】（1）利用勾股定理求得，再證明，利用相似三角形的性質求解即可；（2）①由折疊的性質得，，再證明，根據有三個角是直角的四邊形是矩形即可得解；②延長和相交于點，連接，證明四邊形是正方形，再證明，據此求解即可；（3）先利用折疊的性質求得，推出點在以為直徑的上，連接，，得到，據此求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴；（2）①四邊形是矩形，理由如下，由折疊的性質得，，∵，∴，∴四邊形是矩形；②延長和相交于點，連接，由折疊的性質得，，，∵點恰好落在邊上，∴，，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∵，∴點在對角線上，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴；（3）由折疊的性質得，，∴是線段的垂直平分線，∴，∴點在以為直徑的上，連接，，∴，即點在上時，線段存在最小值，∵，∴線段的最小值為．【點睛】本題考查了翻折的性質，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分線的性質，相似三角形的判定和性質，圓周角定理等知識點，難度較大，第三問判斷點在以為直徑的上是解題的關鍵．算或推理；驗證：檢查結果的合理性。

然而，許多學生往往跳過分析和規劃，直接進行計算，導致解題效率低下。2.4心理因素的影響數學焦慮：部分學生因害怕出錯而不敢嘗試新方法；畏難情緒：遇到復雜問題時容易放棄；缺乏自信：不相信自己能獨立解決問題。三、提升數學解題能力的系統策略3.1強化基礎，構建知識網絡2025年山東省中考數學試卷真題及解析答案概念理解：采用類比、舉例等方式幫助學生深入理解數學概念。公式推導：避免死記硬背，引導學生自主推導公式。錯題分析：建立錯題本，定期歸納常見錯誤類型。3.2培養數學思維，提高解題靈活性一題多解訓練：鼓勵學生用不同方法解決同一問題。例如：解方程時，可嘗試因式分解、配方法、求根公式等。逆向思維訓練：從結論反推條件，培養邏輯推理能力。例如：幾何證明中采用“分析法”逆向思考。數形結合訓練：利用圖形輔助代數問題的解決。例如：利用函數圖像分析方程根的分布。3.3優化解題策略，提高解題效率波利亞解題四步法：理解問題→制定計劃→執行計劃→回顧反思分類訓練：針對不同題型（如代數、幾何、應用題）采用針對性策略。限時訓練：提高解題速度和應試能力。3.4增強心理素質，培養解題自信鼓勵試錯：允許學生在安全環境中犯錯，培養探索精神。漸進式挑戰：從簡單問題入手，逐步增加難度。成功體驗強化：及時肯定學生的進步，增強自信心。四、案例分析4.1案例背景某初中二年級兩個平行班（實驗班45人，對照班43人）進行對比實驗。實驗班采用系統化思維訓練方法，對照班維持傳統教學。4.2實驗結果指標實驗班（提高率）對照班（提高率）基礎題正確率+15%+5%綜合題得分+20%+8%解題速度+18%+6%4.3典型學生進步分析學生A：原本害怕幾何證明，經過逆向思維訓練后，能獨立完成中等難度證明題。學生B：通過一題多解訓練，在解方程時能靈活選擇最優方法，計算錯誤率降低50%。五、結論與建議5.1研究結論數學思維的培養是提升解題能力的核心；系統化的訓練方法（如逆向思維、數形結合）能顯著提高解題效率；心理素質的優化有助于增強學生的解題信心。5.2教學建議教師層面：采用啟發式教學，引導學生自主探索；設計分層練習，滿足不同學生的需求。學生層面：養成反思習慣，建立錯題本；積極參與數學討論，拓展思維。5.3未來研究方向探索信息技術（如AI解題助手）在數學思維訓練中的應用；研究不同學習風格學生的個性化培養策略。折疊問題中必考的七大題型

圖形的“折疊問題”是近年中考數學中每年必考的熱點問題。折疊的對象也往往有三角形、矩形、正方