-2025學年八年級（下）期末數學試卷【滬科版】考試時間：120分鐘；滿分：120分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共24題，單選10題，填空6題，解答8題，滿分120分，限時120分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25八年級·湖北隨州·期中）下列計算結果為23A．8+2 B．18?12 C．2．（3分）（24-25八年級·陜西渭南·期中）已知a是一元二次方程x2?2x=0的一個實數根，則a的值為（A．0 B．0或2 C．2 D．0或?23．（3分）（24-25八年級·浙江寧波·期末）如圖，在△ABC中，AC=2，AB=4，分別以AC，BC為邊向外作正△ACD和正△BCE，連結AE，在△ABC的邊BC變化過程中，當AE取最長時，則BC的長為（

）A．27 B．29 C．19 D．4．（3分）（24-25八年級·安徽安慶·專題練習）如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，如果BO=BE，那么∠BOE的度數為（

）A．55° B．65° C．75° D．67.5°5．（3分）（24-25八年級·山西太原·期末）山西地處黃河中游，是中國面食文化的發祥地，被稱為“世界面食之根”．為弘揚山西面食文化，學校開展“面食制作大比拼”活動．下面是甲、乙、丙、丁四個小組面食作品的評分表（單位：分），若將色、形、味三項得分按1∶2∶2的比例確定各組的最終得分，則獲得最高分的是（）小組項目甲乙丙丁色7798形8888味8977A．甲組 B．乙組 C．丙組 D．丁組6．（3分）（24-25八年級·浙江臺州·期末）如圖所示為“趙爽弦圖”，其中△ABE、△CBF、△CDG、△ADH是四個全等的直角三角形，且兩條直角邊之比為1∶2，連接BG、DE，分別交AE、CG于點M、N，則四邊形GBED和四邊形GMEN的面積比為（

）A．5∶2 B．2∶1 C．2:1 D．7．（3分）（24-25八年級·安徽安慶·專題練習）已知m是關于x的一元二次方程x2?3x+a+2=0的一個實數根，且滿足m2A．?3 B．1 C．?3或?1 D．?3或18．（3分）（24-25八年級·重慶北碚·期末）如圖，在?ABCD中，AB=BC，∠BCA=50°，對角線AC、BD交于點O，△ABE為直角三角形，F是斜邊AB的中點，∠ABE=30°，則∠AOE的度數為（

）A．30° B．30.5° C．25° D．20°9．（3分）（24-25八年級·河南開封·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=2，CD=1，AD=12，且∠BCD=90°，則四邊形A．33+22 B．33210．（3分）（24-25八年級·河南平頂山·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，BD=2AD，點E，F，G分別是OA，OB，CD的中點，EG交FD于點H，則①ED⊥CA；②FH=12FD；③SA．①② B．①③ C．②③ D．①②③二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25八年級·甘肅蘭州·期末）為了解某校八年級學生參加消防知識競賽的成績（均為整數），從中抽取了1%的學生的競賽成績，整理后繪制了如圖所示的頻數直方圖（各組只含最小值，不含最大值）．若競賽成績在90分及以上的學生可以獲得獎勵，則估計該校獲得獎勵的八年級學生有12．（3分）（24-25八年級·福建廈門·期末）圖是鼓浪嶼八卦樓的航拍圖，八卦樓的名稱源于其屋頂逐層凸起的八邊形造型和八棱紅色穹頂，則八邊形的內角和為．13．（3分）（24-25八年級·四川涼山·期末）已知y=x?4+4?x+3，則14．（3分）（24-25八年級·湖南永州·期末）已知α,β是方程x2?2024x?1=0的兩個根，則115．（3分）（24-25八年級·河南鄭州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，長方形OABC的邊OA在x軸上，OC在y軸上，OA=1，OC=2，對角線AC的垂直平分線交AB于點E，交AC于點D．若y軸上有一點P（不與點C重合），能使△AEP是以為AE為腰的等腰三角形，則點P的坐標為．16．（3分）（24-25八年級·河南新鄉·期中）圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=15，M為BC的三等分點（BM=13BC），N是從B出發，以每秒1個單位的速度沿B?A?D方向運動的動點，點N運動t秒后沿MN所在直線，將矩形紙片進行翻折，若點B恰好落在邊AD上，則t第Ⅱ卷三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（6分）（24-25八年級·福建泉州·期末）計算：(318．（6分）（24-25八年級·江蘇無錫·期末）解方程：(1)x2(2)x1?x19．（8分）（24-25八年級·四川達州·期末）如圖，在海平面上有A，B，C三個標記點，其中A在C的北偏西52°方向上，與C的距漓是40海里，B在C的南偏西38°方向上，與C的距離是30海里．(1)求點A與點B之間的距離；(2)若在點C處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為25海里，此時在點B處有一艘輪船準備沿直線向點A處航行，輪船航行的速度為每小時20海里．輪船在駛向A處的過程中，有多少小時可以接收到信號？20．（8分）（24-25八年級·湖南岳陽·開學考試）某中學舉行了2024年奧運會相關知識的競賽，賽后隨機抽查部分參賽同學成績，并制作成圖表如下．分數段頻數頻率60≤x<70600.1570≤x<80m0.4580≤x<90120n90≤x≤100400.1請根據圖表提供的信息，解答下列問題：(1)表中的數n＝；(2)請在圖中補全頻數分布直方圖；(3)若繪制扇形統計圖，分數段60≤x<70所對應扇形的圓心角的度數是；(4)全校共有2000名學生參加比賽，估計該校成績不低于80分的學生有多少人？21．（10分）（24-25八年級·湖南長沙·階段練習）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AC平分∠BAD，過點D作DP∥AC，過點C作CP∥BD，(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若AC=12，BD=16，求OP的長．22．（10分）（24-25八年級·河南鄭州·期末）為了解決初中生畫圖慢和畫圖不準的問題，老楊設計了初中專用套尺，申請了國家專利并投入生產使用．前年成本為10萬元，今年成本達到了14萬4千元．(1)如果平均每年成本的增長率相同，求這個增長率．(2)將生產出的初中專用套尺按18元/套的價格售賣時，一年可賣出7800套．市場調研發現，該套尺每漲價1元，銷售量就會減少300套．今年售價定為多少元才能使銷售額剛好為14萬4千元．23．（12分）（24-25八年級·湖北·期末）【提出問題】如圖1，在?ABCD中，BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F．求證：△ADF≌△CBE；【問題探究】如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，G是BC的中點，P是AG上的一點，連接CP，DP．若DP=DA，∠DPC=∠B．求證：BC=2AD【拓展延伸】如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，P是邊AB上的一點，連接BD，CP．若DP=DA，∠ABD=∠CPB，AP=6，PB=5，PC=10，直接寫出PD的長為24．（12分）（2025·吉林長春·一模）（1）【探究發現】如圖①，已知矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于點E，F．求證：四邊形AFCE是菱形；（2）【類比應用】如圖②，直線EF分別交矩形ABCD的邊AD，BC于點E，F，將矩形ABCD沿EF翻折，使點C的對稱點與點A重合，點D的對稱點為D′，若AB=3，BC=4，求四邊形ABFE（3）【拓展延伸】如圖③，直線EF分別交平行四邊形ABCD的邊AD，BC于點E，F，將平行四邊形ABCD沿EF翻折，使點C的對稱點與點A重合，點D的對稱點為D′，若AB=22，BC=4，∠C=45°，求

2024-2025學年八年級（下）期末數學試卷【滬科版】參考答案與試題解析第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25八年級·湖北隨州·期中）下列計算結果為23A．8+2 B．18?12 C．【答案】D【分析】本題主要考查二次根式的計算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．根據運算法則進行計算即可．【詳解】解：8+18?6×24÷故選D．2．（3分）（24-25八年級·陜西渭南·期中）已知a是一元二次方程x2?2x=0的一個實數根，則a的值為（A．0 B．0或2 C．2 D．0或?2【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程等知識點，掌握方程的解是滿足方程的未知數的值成為解題的關鍵．把x=a代入一元二次方程x2【詳解】解：∵a是一元二次方程x2∴a2?2a=0，解得：故選：B．3．（3分）（24-25八年級·浙江寧波·期末）如圖，在△ABC中，AC=2，AB=4，分別以AC，BC為邊向外作正△ACD和正△BCE，連結AE，在△ABC的邊BC變化過程中，當AE取最長時，則BC的長為（

）A．27 B．29 C．19 D．【答案】A【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理，根據等邊三角形的性質證明△BCD≌△ECA，可得BD=AE，再根據當點A，B，D共線時，BD最大，即AE最大，然后作出圖形，并作CF⊥AD，根據勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖所示，連接BD，∵△ACD，∴AC=CD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACB，即∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ECA，∴BD=AE．∵BD≤AD+AB，∴當點A，B，D共線時，BD最大，即AE最大．過點C作CF⊥AD，交于點F，∵△ACD是等邊三角形，∴AC=AD=2，∴AF=1則BF=AB+AF=5．根據勾股定理，得CF=A在Rt△BCF中，BC=故選：A．4．（3分）（24-25八年級·安徽安慶·專題練習）如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，如果BO=BE，那么∠BOE的度數為（

）A．55° B．65° C．75° D．67.5°【答案】C【分析】本題主要考查了矩形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握相關的判定和性質．根據矩形性質得出∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，根據等腰三角形的判定得出AB=BE，證明【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD，AO=CO=12AC∴AO=BO=CO=DO，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴∠BAE=∠BEA=45°，∴AB=BE，∵BO=BE，∴AB=BO，∴AB=AO=BO，∴△ABO為等邊三角形，∴∠ABO=60°，∴∠OBE=90°?60°=30°，∵BO=BE，∴∠BOE=∠BEO=180°?30°故選：C．5．（3分）（24-25八年級·山西太原·期末）山西地處黃河中游，是中國面食文化的發祥地，被稱為“世界面食之根”．為弘揚山西面食文化，學校開展“面食制作大比拼”活動．下面是甲、乙、丙、丁四個小組面食作品的評分表（單位：分），若將色、形、味三項得分按1∶2∶2的比例確定各組的最終得分，則獲得最高分的是（）小組項目甲乙丙丁色7798形8888味8977A．甲組 B．乙組 C．丙組 D．丁組【答案】B【分析】本題主要考查加權平均數，解題的關鍵是掌握加權平均數的定義．根據加權平均數的概念分別計算出四人的平均得分，從而得出答案．【詳解】解：甲組的平均得分為7+8×2+8×21+2+2=7.8（分乙組的平均得分為7+8×2+9×21+2+2=8.2（分丙組的平均得分為9+8×2+7×21+2+2=7.8（分丁組的平均得分為8+8×2+7×21+2+2=7.6（分∴獲得最高分的是乙組．故選：B．6．（3分）（24-25八年級·浙江臺州·期末）如圖所示為“趙爽弦圖”，其中△ABE、△CBF、△CDG、△ADH是四個全等的直角三角形，且兩條直角邊之比為1∶2，連接BG、DE，分別交AE、CG于點M、N，則四邊形GBED和四邊形GMEN的面積比為（

）A．5∶2 B．2∶1 C．2:1 D．【答案】B【分析】先求出HG=EB，證明△HGM≌△EBM，得到BM=GB，再根據兩個平行四邊形的底與高的關系即可求解．【詳解】∵△ABE、△CBF、△CDG、△ADH是四個全等的直角三角形，∴AB=BC=CD=AD,∠ABE+∠FBC=∠ABE+∠BAE=90°∴四邊形ABCD是正方形∵BE：AE=1:2∴BE=HE=DG∵∠GHM=∠BME=90°，∠HMG=∠EMB∴△HGM≌△EBM∴BM=GB，故BG：MG=2:1又BF//DH，BE=DG∴四邊形

GBED是平行四邊形∴BG//DE∵AE//CG∴四邊形

GMEN是平行四邊形∵平行四邊形GBED與平行四邊形GMEN的高相等∴四邊形GBED和四邊形GMEN的面積比為BG：MG=2:1故選B．【點睛】此題主要考查正方形的判定與性質，解題的關鍵是熟知全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質．7．（3分）（24-25八年級·安徽安慶·專題練習）已知m是關于x的一元二次方程x2?3x+a+2=0的一個實數根，且滿足m2A．?3 B．1 C．?3或?1 D．?3或1【答案】A【分析】該題考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判別式，解一元二次方程等知識點，根據方程解的定義判斷出m2?3m+1=?a?1，構建關于【詳解】解：∵m是關于x的一元二次方程x2∴m∴m∵m∴(a+1)∴a=1或?3，當a=1時，一元二次方程為x2?3x+3=0，此時∴a=?3．故選：A．8．（3分）（24-25八年級·重慶北碚·期末）如圖，在?ABCD中，AB=BC，∠BCA=50°，對角線AC、BD交于點O，△ABE為直角三角形，F是斜邊AB的中點，∠ABE=30°，則∠AOE的度數為（

）A．30° B．30.5° C．25° D．20°【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．先得出?ABCD是菱形，從而得到∠AOB=90°，由∠ACB=50°得出∠ABO=40°，再證明BF=OF=EF=AF=12AB，從而得到∠AOF=∠FAO=50°，∠AFO=80°，又由∠ABE=30°推導∠AFE=60°，從而求出∠OFE=140°，∠EOF=∠OEF=20°【詳解】解：在?ABCD中，AB=BC，∴?ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴∠AOB=90°，∵∠ACB=50°，∴∠BAC=∠BCA=50°，∴∠ABO=90°?50°=40°，∵∠AEB=90°，F是斜邊AB的中點，∴BF=OF=EF=AF=1∴∠AOF=∠FAO=50°，∠BOF=∠OBF=40°，∴∠AFO=∠OBF+∠BOF=80°，∵∠ABE=30°，∴∠BEF=∠EBF=30°，∴∠AFE=∠ABE+∠BEF=60°，∴∠OFE=80°+60°=140°，∴∠EOF=∠OEF=20°，∴∠AOE=∠AOF?∠EOF=50°?20°=30°，故選：A．9．（3分）（24-25八年級·河南開封·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=2，CD=1，AD=12，且∠BCD=90°，則四邊形A．33+22 B．332【答案】A【分析】本題主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢記勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關鍵．先由勾股定理求出BD=3，則AB2+BD【詳解】解：∵∠BCD=90°，∴BD=B∵AB=3，AD=12∴AB∴∠ABD=90°，∴S===3故選：A．10．（3分）（24-25八年級·河南平頂山·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，BD=2AD，點E，F，G分別是OA，OB，CD的中點，EG交FD于點H，則①ED⊥CA；②FH=12FD；③SA．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】根據平行四邊形ABCD的性質和BD=2AD，可以確定等腰三角形OAD，再應用等腰三角形三線合一的性質可判斷①正確；根據三角形OAB的中位線和平行四邊形ABCD的性質可以確定EF=DG，且EF∥DG，進而得到平行四邊形EFGD，再應用其對角線互相平分的性質確定②正確；根據三角形底和高之間的關系和平行四邊形ABCD的性質確定S△OEF=18S【詳解】解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BD=2DO．∵BD=2AD，∴DO=AD．∵E為OA中點，∴ED⊥CA．故①正確．②如下圖所示，連接FG，BE，∵G是CD中點，∴DG=CG=1∵E、F分別是OA、OB中點，∴EF=12∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD．∴EF=DG．EF∥CD,∴四邊形EFGD是平行四邊形，∴FH=1③如上圖所示：∵F是OB中點，∴S△OEF∵E是OA中點，∴S△OEF∵平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，∴O是AC中點，S△ACD∴S△OEF∵E是AO中點，O是AC中點，∴S△DOE∴S△EFD故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質，三角形中位線，平行四邊形的性質與判定定理以及三角形面積與底和高之間的關系，綜合應用這些知識點是解題關鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25八年級·甘肅蘭州·期末）為了解某校八年級學生參加消防知識競賽的成績（均為整數），從中抽取了1%的學生的競賽成績，整理后繪制了如圖所示的頻數直方圖（各組只含最小值，不含最大值）．若競賽成績在90分及以上的學生可以獲得獎勵，則估計該校獲得獎勵的八年級學生有【答案】2000【分析】本題考查頻數分布直方圖，樣本估計總體，根據頻數分布直方圖求出調查人數，進而求出八年級學生總人數，最后再求出成績在90分以上的學生人數即可．【詳解】解：參加競賽的總人數為：4+7+10+13+16=50（人）則八年級學生總人數為：50÷1%∴該校獲得獎勵的八年級學生有：5000×13+7故答案為：200012．（3分）（24-25八年級·福建廈門·期末）圖是鼓浪嶼八卦樓的航拍圖，八卦樓的名稱源于其屋頂逐層凸起的八邊形造型和八棱紅色穹頂，則八邊形的內角和為．【答案】1080°【分析】本題主要考查了多邊形的內角和公式，解答本題的關鍵是熟練掌握多邊形的內角和公式．根據多邊形的內角和公式計算即可．【詳解】解：八邊形的內角和為：8?2×180°=1080°故選：1080°．13．（3分）（24-25八年級·四川涼山·期末）已知y=x?4+4?x+3，則【答案】34/【分析】本題考查二次根式有意義的條件，分式的求值，根據二次根式有意義的條件，得到x=4,y=3，進而求出分式的值即可．【詳解】解：∵y=x?4∴x?4≥0,4?x≥0，∴x=4，∴y=3，∴yx故答案為：3414．（3分）（24-25八年級·湖南永州·期末）已知α,β是方程x2?2024x?1=0的兩個根，則1【答案】?2024【分析】本題考查了一元二次方程根與系數關系，分式的加法，熟練掌握知識點是解題的關鍵．由題意得α+β=2024，αβ=?1，再對1α【詳解】解：∵α，β是方程x2∴α+β=2024，αβ=?1，∴1α故答案為：?2024．15．（3分）（24-25八年級·河南鄭州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，長方形OABC的邊OA在x軸上，OC在y軸上，OA=1，OC=2，對角線AC的垂直平分線交AB于點E，交AC于點D．若y軸上有一點P（不與點C重合），能使△AEP是以為AE為腰的等腰三角形，則點P的坐標為．【答案】(0,34)，【分析】設AE=m，根據勾股定理求出m的值，得到點E（1，54【詳解】∵對角線AC的垂直平分線交AB于點E，∴AE=CE，∵OA=1，OC=2，∴AB=OC=2，BC=OA=1，∴設AE=m，則BE=2-m，CE=m，∴在Rt?BCE中，BE2+BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2，解得：m=54∴E（1，54設點P坐標為（0，y），∵△AEP是以為AE為腰的等腰三角形，當AP=AE，則(1-0)2+(0-y)2=(1-1)2+(0-54)2，解得：y=±當EP=AE，則(1-0)2+(54-y)2=(1-1)2+(0-54)2，解得：y=∴點P的坐標為(0,34)，(0,?故答案是：(0,34)，(0,?【點睛】本題主要考查等腰三角形的定義，勾股定理，矩形的性質，垂直平分線的性質，掌握勾股定理，列出方程，是解題的關鍵．16．（3分）（24-25八年級·河南新鄉·期中）圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=15，M為BC的三等分點（BM=13BC），N是從B出發，以每秒1個單位的速度沿B?A?D方向運動的動點，點N運動t秒后沿MN所在直線，將矩形紙片進行翻折，若點B恰好落在邊AD上，則t【答案】53【分析】由N是從B出發，以每秒1個單位的速度沿B?A?D方向運動的動點，可知，需要分類討論，結合折疊的性質，可得直角三角形，再利用勾股定理，即可求解．【詳解】設B點沿過點M的直線翻折后落在AD上的對應點為點B′①如圖1，過點M作ME⊥AD交AD于點E，N在AB上，可得四邊形ABME為矩形，∴EM=AB=3，AE=BM，∵M為BC的三等分點，BC=15，∴由折疊可得B′在Rt△B′∴AB設AN=x，則NB=AB?AN=3?x，在Rt△ANAN解得x=4∴NB=AB?AN=3?4故t=5②如圖2，過點M作ME⊥AD交AD于點E，N在AD上．可得四邊形ABME為矩形，∴ME=AB=3，AE=BM=5．在Rt△EMB′AB設AN=AN′=y則NB在Rt△NAy=4，即AN=4，則t=(3+4)÷1=7，綜上所述，t=5故答案為：t=5【點睛】本題主要考查了動點問題、折疊問題、勾股定理、矩形的性質．第Ⅱ卷三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（6分）（24-25八年級·福建泉州·期末）計算：(3【答案】?1【分析】本題考查了二次根式的混合運算，先利用平方差公式、二次根式的乘法和除法法則運算，然后化簡二次根式后進行有理數的加減運算．熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則、除法法則是解決問題的關鍵．【詳解】解：原式=3?1?=3?1?=3?1?5+2=?1．18．（6分）（24-25八年級·江蘇無錫·期末）解方程：(1)x2(2)x1?x【答案】(1)x1=1?(2)x1=1【分析】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．（1）把常數移到右邊，再利用配方法解答即可；（2）把右式移到左邊，再利用因式分解法解答即可；【詳解】（1）解：∵x2∴x2∴x2即x?12∴x?1=±2∴x1=1?2（2）解：∵x1?x∴x1?x∴1?xx+3∴1?x=0或x+3=0，∴x1=1，19．（8分）（24-25八年級·四川達州·期末）如圖，在海平面上有A，B，C三個標記點，其中A在C的北偏西52°方向上，與C的距漓是40海里，B在C的南偏西38°方向上，與C的距離是30海里．(1)求點A與點B之間的距離；(2)若在點C處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為25海里，此時在點B處有一艘輪船準備沿直線向點A處航行，輪船航行的速度為每小時20海里．輪船在駛向A處的過程中，有多少小時可以接收到信號？【答案】(1)點A與點B之間的距離為50海里(2)有0.7小時可以接收到信號【分析】本題考查了勾股定理的應用?航海問題，方向角的應用，路程、速度、時間的關系，熟練掌握勾股定理是解答本題的關鍵．（1）由題意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得點A與點B之間的距離；（2）過點C作CH⊥AB交AB于點H，在AB上取點M，N，使得CN=CM=25海里，分別求得NH、MH的長，可求得此時輪船過MN時的時間，從而可求得最多能收到的信號次數．【詳解】（1）解：由題意，得：∠NCA=52°，∠SCB=38°；∴∠ACB=90°；∵AC=40海里，BC=30海里；∴AB=A即：點A與點B之間的距離為50海里；（2）解：過點C作CH⊥AB交AB于點H，在AB上取點M，N，使得CN=CM=25海里．∵CH⊥AB；∴∠CHB=90°；∵S△ABC∴CH=24海里；∵CN=CM=25海里；∴NH=MH=C行駛時間為7×2÷20=0.7（小時）．答：有0.7小時可以接收到信號．20．（8分）（24-25八年級·湖南岳陽·開學考試）某中學舉行了2024年奧運會相關知識的競賽，賽后隨機抽查部分參賽同學成績，并制作成圖表如下．分數段頻數頻率60≤x<70600.1570≤x<80m0.4580≤x<90120n90≤x≤100400.1請根據圖表提供的信息，解答下列問題：(1)表中的數n＝；(2)請在圖中補全頻數分布直方圖；(3)若繪制扇形統計圖，分數段60≤x<70所對應扇形的圓心角的度數是；(4)全校共有2000名學生參加比賽，估計該校成績不低于80分的學生有多少人？【答案】(1)0.3(2)圖見解析(3)54°(4)估計該校成績不低于80分的學生有800人【分析】本題考查頻數（率）分布直方圖，用樣本估計總體，頻數（率）分布表，扇形統計圖，解答本題的關鍵要結合生活實際，繪制頻數分布直方圖或從統計圖中獲取有用的信息，（1）根據60≤x<70的頻數及其頻率求得總人數，進而計算可得n的值；（2）求出m.的值，可以補全直方圖；（3）用360°乘以樣本中分數段60≤x<70的頻率即可得；（4）總人數乘以樣本中成績80≤x≤100范圍內的學生人數所占比例.【詳解】（1）解：本次調查的總人數為60÷0.15=400人，n=120÷400=0.3，故答案為：0.3；（2）解：m=400×0.45=180，補全頻數分布直方圖如下：（3）解：若繪制扇形統計圖，分數段60≤x<70所對應扇形的圓心角的度數是360°×0.15=54°，故答案為：54°；（4）解：2000×0.3+0.1答：估計該校成績不低于80分的學生有800人．21．（10分）（24-25八年級·湖南長沙·階段練習）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AC平分∠BAD，過點D作DP∥AC，過點C作CP∥BD，(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若AC=12，BD=16，求OP的長．【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）根據平行四邊形的性質和角平分線的定義證得∠BAC=∠BCA，進而利用等角對等邊得到AB=BC，然后根據菱形的判定定理可得結論；（2）先根據菱形的性質和勾股定理求得CD=10，AC⊥BD，再證明四邊形OCPD是矩形，利用矩形的對角線相等得到OP=CD=10．【詳解】（1）證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∴∠DAC=∠BCA，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形．（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，∴OC=12AC=6，OD=∴CD=O∵DP∥AC，∴四邊形OCPD是平行四邊形．∴四邊形OCPD是矩形，∴OP=CD=10．【點睛】本題考查菱形的判定與性質、矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定、勾股定理、角平分線的定義等知識，熟練掌握菱形和矩形的判定與性質是解答的關鍵．22．（10分）（24-25八年級·河南鄭州·期末）為了解決初中生畫圖慢和畫圖不準的問題，老楊設計了初中專用套尺，申請了國家專利并投入生產使用．前年成本為10萬元，今年成本達到了14萬4千元．(1)如果平均每年成本的增長率相同，求這個增長率．(2)將生產出的初中專用套尺按18元/套的價格售賣時，一年可賣出7800套．市場調研發現，該套尺每漲價1元，銷售量就會減少300套．今年售價定為多少元才能使銷售額剛好為14萬4千元．【答案】(1)20(2)20元或24元【分析】本題考查了一元二次方程的應用，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）依題意，設平均每年成本的增長率為x，根據前年成本為10萬元，今年成本達到了14萬4千元，列式101+x2=14.4（2）根據將生產出的初中專用套尺按18元/套的價格售賣時，一年可賣出7800套．市場調研發現，該套尺每漲價1元，銷售量就會減少300套，列式18+r7800?300r=144000，再解出【詳解】（1）解：設平均每年成本的增長率為x，依題意，得101+x解得x=0.2=20%∴平均每年成本的增長率為20%（2）解：設該套尺每漲價r元，依題意，得18+r7800?300r解得r=2或6；∴18+2=20（元）或18+6=24（元），∴今年售價定為20元或24元才能使銷售額剛好為14萬4千元．23．（12分）（24-25八年級·湖北·期末）【提出問題】如圖1，在?ABCD中，BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F．求證：△ADF≌△CBE；【問題探究】如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，G是BC的中點，P是AG上的一點，連接CP，DP．若DP=DA，∠DPC=∠B．求證：BC=2AD【拓展延伸】如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，P是邊AB上的一點，連接BD，CP．若DP=DA，∠ABD=∠CPB，AP=6，PB=5，PC=10，直接寫出PD的長為【答案】提出問題：證明見解析；問題探究：證明見解析；拓展延伸：3【分析】本題考查平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，勾股定理；提出問題：由垂直可得∠BEC=∠AFD=90°，由?ABCD，可得AD=BC，AD∥BC，得到∠DAC=∠BCA，即可證明問題探究：過D作DL⊥AG于L，過B作BH⊥AG于H，過C作CK⊥AG交AG延長線于K，先證明△BGH≌△CGKAAS，得BH=CK，GH=GK，再證明△ABH≌△PCKAAS，得到PK=AH，推出AL=PL=GH=GK，即可證明△DPL≌△BGHAAS，得到PD=BG拓展延伸：過D作DL⊥AB于L，過C作CK⊥AB交AB延長線于K，證明△DPB≌△CBPAAS，得到PC=BD=10，再由勾股定理得到DL=6，最后根據PD=【詳解】解：提出問題：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEC=∠AFD=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥∴∠DAC=∠BCA，∴△ADF≌△CBEAAS問題探究：過D作DL⊥AG于L，過B作BH⊥AG于H，過C作CK⊥AG交AG延長線于K，則∠ALD=∠K=∠BHK=∠BHA=90°，∵G是BC的中點，∴BG=CG，∵∠BGH=∠CGK，∴△BGH≌△CGKAAS∴BH=CK，GH=GK，∵DP=DA，∴AL=PL=12AP∵AD∥BC∴∠DAP=∠BGA，∴∠DAP=∠BGA=∠DPA，∵∠DPC=∠B，∠DPA+∠DPC+∠KPC=180°=∠B+∠BGA+∠BAG，∴∠KPC=∠BAG，∴△ABH≌△PCK