專題24圖形的變換一、軸對(duì)稱變換【高頻考點(diǎn)精講】1、軸對(duì)稱圖形把一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩邊的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)。常見的軸對(duì)稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等。2、軸對(duì)稱性質(zhì)（1）關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。（2）對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。（3）如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。3、關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（x，﹣y）；（2）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（﹣x，y）。4、最短路線問題在直線l上方有兩個(gè)點(diǎn)A、B，確定直線l上到A、B的距離之和最短的點(diǎn)，可以通過軸對(duì)稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線l的交點(diǎn)即為所求。【熱點(diǎn)題型精練】1．（2022?天津中考）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形．下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．解：選項(xiàng)A、C、B不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，答案：D．2．（2022?北京中考）圖中的圖形為軸對(duì)稱圖形，該圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．5解：如圖所示，該圖形有5條對(duì)稱軸，答案：D．3．（2022?常州中考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)A1關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)A與點(diǎn)A2關(guān)于y軸對(duì)稱．已知點(diǎn)A1（1，2），則點(diǎn)A2的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)A1關(guān)于x軸對(duì)稱，已知點(diǎn)A1（1，2），∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣2），∵點(diǎn)A與點(diǎn)A2關(guān)于y軸對(duì)稱，∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），答案：D．4．（2022?湖州中考）如圖，已知BD是矩形ABCD的對(duì)角線，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，連結(jié)BE，DF．將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點(diǎn)A，C分別落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G，H處，連結(jié)GF．則下列結(jié)論不正確的是（）A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD，∵AB＝6，BC＝8，∴BD=A故A選項(xiàng)不符合題意；∵將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，點(diǎn)A，C分別落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G，H處，∴AB＝BG＝6，CD＝DH＝6，∴GH＝BG+DH﹣BD＝6+6﹣10＝2，故B選項(xiàng)不符合題意；∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，∵將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，點(diǎn)A，C分別落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G，H處，∴∠A＝∠BGE＝∠C＝∠DHF＝90°，∴EG∥FH．故C選項(xiàng)不符合題意；∵GH＝2，∴BH＝DG＝BG﹣GH＝6﹣2＝4，設(shè)FC＝HF＝x，則BF＝8﹣x，∴x2+42＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CF＝3，∴BFCF又∵BGDG∴BFCF若GF⊥BC，則GF∥CD，∴BFCF故D選項(xiàng)符合題意．答案：D．5．（2022?廣安中考）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B．3 C．1.5 D．5解：如圖，取AB的中點(diǎn)T，連接PT，F(xiàn)T．∵四邊形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵DF＝CF，AT＝TB，∴DF＝AT，DF∥AT，∴四邊形ADFT是平行四邊形，∴AD＝FT＝2，∵四邊形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，∴E，T關(guān)于AC對(duì)稱，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PT+PF，∵PF+PT≥FT＝2，∴PE+PF≥2，∴PE+PF的最小值為2．答案：A．6．（2022?濰坊中考）小瑩按照如圖所示的步驟折疊A4紙，折完后，發(fā)現(xiàn)折痕AB′與A4紙的長邊AB恰好重合，那么A4紙的長AB與寬AD的比值為2．解：由第②次折疊知，AB＝AB'，由第①次折疊知，∠B'AB＝45°，∴△AD'B'是等腰直角三角形，∴AB'=2AD∴AB與寬AD的比值為2，答案：2，7．（2022?遼寧中考）如圖，正方形ABCD的邊長為10，點(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折得到△FBE，連接GF，當(dāng)GF最小時(shí)，AE的長是55?5解：∵將△ABE沿BE翻折得到△FBE，∴BF＝BA＝10，∴點(diǎn)F在以B為圓心，10為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)G、F、B三點(diǎn)共線時(shí)，GF最小，連接EG，設(shè)AE＝x，由勾股定理得，BG＝55，∵S梯形ABGD＝S△EDG+S△ABE+S△EBG，∴12（5+10）×10=解得x＝55?∴AE＝55?答案：55?8．（2022?鎮(zhèn)江中考）如圖，有一張平行四邊形紙片ABCD，AB＝5，AD＝7，將這張紙片折疊，使得點(diǎn)B落在邊AD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，折痕為EF，若點(diǎn)E在邊AB上，則DB′長的最小值等于2．解：由折疊可知，BE＝B'E，BF＝B'F，如圖，當(dāng)E與A重合時(shí)，B'D最短．∵AB＝5，AD＝7，∴AB'＝5，∴B'D＝AD﹣AB'＝7﹣5＝2，即DB′長的最小值為2．答案：2．9．（2022?眉山中考）如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE，PB，若AB＝4，BC＝43，則PE+PB的最小值為6．解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，交AC于點(diǎn)F，連接B′E交AC于點(diǎn)P，則PE+PB的最小值為B′E的長度，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝43，∴tan∠ACB=AB∴∠ACB＝30°，由對(duì)稱的性質(zhì)可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，∴BF=12BC＝23，∠∴B′B＝2BF＝43，∵BE＝BF，∠CBF＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BE＝BF＝B'F，∴△BEB'是直角三角形，∴B′E=B′∴PE+PB的最小值為6，答案：6．10．（2022?鄂爾多斯中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為42．解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD=1∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF=1∴PA+2PB＝2（12PA+PB）＝2（PF+PB）＝2在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4×22=∴（PA+2PB）最小＝2BF＝42，答案：42．11．（2022?連云港中考）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求證：四邊形DBCE為菱形；（2）若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運(yùn)動(dòng)，求PM+PN的最小值．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∵E在AD的延長線上，∴DE∥BC，∴四邊形DBCE是平行四邊形，∵BE⊥DC，∴四邊形DBCE是菱形；（2）解：作N關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)N'，過D作DH⊥BC于H，如圖：由菱形的對(duì)稱性知，點(diǎn)N關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴當(dāng)P、M、N'共線時(shí)，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值為平行線間的距離DH的長，即PM+PN的最小值為DH的長，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，∴DH＝DB?sin∠DBC＝2×3∴PM+PN的最小值為3．12．（2022?棗莊中考）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒2cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；（2）如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPCP′為菱形？解：（1）如圖①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，∴AB=AC2+BC由題意得，AP=2tcm，BQ＝tcm則BP＝（42?2t）∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝90°，∴∠PQB＝∠ACB，∴PQ∥AC，∴BPBA∴42解得：t＝2，∴當(dāng)t＝2時(shí)，PQ⊥BC．（2）作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如圖②，AP=2tcm，BQ＝tcm（0≤t∵∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴△APE和△PBD為等腰直角三角形，∴PE＝AE=22AP＝tcm，BD＝∴CE＝AC﹣AE＝（4﹣t）cm，∵四邊形PECD為矩形，∴PD＝EC＝（4﹣t）cm，∴BD＝（4﹣t）cm，∴QD＝BD﹣BQ＝（4﹣2t）cm，在Rt△PCE中，PC2＝PE2+CE2＝t2+（4﹣t）2，在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2+DQ2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，∵四邊形QPCP′為菱形，∴PQ＝PC，∴t2+（4﹣t）2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，∴t1=43，t∴當(dāng)t的值為43時(shí)，四邊形QPCP二、平移變換【高頻考點(diǎn)精講】1、把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)一定的距離，得到一個(gè)新的圖形，圖形的這種移動(dòng)，叫做平移。2、平移的兩個(gè)要素：（1）圖形平移的方向；（2）圖形平移的距離。3、平移性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段平行且相等。4、平移變換與坐標(biāo)變化（1）坐標(biāo)點(diǎn)P（x，y）向右平移a個(gè)單位，得出P（x+a，y）；（2）坐標(biāo)點(diǎn)P（x，y）向左平移a個(gè)單位，得出P（x﹣a，y）；（3）坐標(biāo)點(diǎn)P（x，y）向上平移b個(gè)單位，得出P（x，y+b）；（4）坐標(biāo)點(diǎn)P（x，y）向下平移b個(gè)單位，得出P（x，y﹣b）。【熱點(diǎn)題型精練】13．（2022?廣西中考）2022北京冬殘奧會(huì)的會(huì)徽是以漢字“飛”為靈感來設(shè)計(jì)的，展現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)員不斷飛躍，超越自我，奮力拼搏，激勵(lì)世界的冬殘奧精神．下列的四個(gè)圖中，能由如圖所示的會(huì)徽經(jīng)過平移得到的是（）A． B． C． D．解：根據(jù)平移的性質(zhì)可知：能由如圖經(jīng)過平移得到的是D，答案：D．14．（2022?海南中考）如圖，點(diǎn)A（0，3）、B（1，0），將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5）解：過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，如圖，∵點(diǎn)A（0，3）、B（1，0），∴OA＝3，OB＝1．∵線段AB平移得到線段DC，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形．∴∠BAD＝90°，BC＝AD．∵BC＝2AB，∴AD＝2AB．∵∠BAO+∠DAE＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠EAD．∵∠AOB＝∠AED＝90°，∴△ABO∽△DAE．∴AODE∴DE＝2OA＝6，AE＝2OB＝2，∴OE＝OA+AE＝5，∴D（6，5）．答案：D．15．（2022?百色中考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)A（3，1），B（1，2），將△ABC向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（）A．（3，1） B．（3，3） C．（﹣1，1） D．（﹣1，3）解：根據(jù)平移與圖形變化的規(guī)律可知，將△ABC向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，其圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)減少2，縱坐標(biāo)增加1，由于點(diǎn)B（1，2），所以平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣1，3），答案：D．16．（2022?嘉興中考）“方勝”是中國古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿對(duì)角線BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一個(gè)“方勝”圖案，則點(diǎn)D，B′之間的距離為（）A．1cm B．2cm C．（2?1）cm D．（22?解：∵四邊形ABCD為邊長為2cm的正方形，∴BD=22+22由平移的性質(zhì)可知，BB′＝1cm，∴B′D＝（22?1）cm答案：D．17．（2022?福建中考）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12．將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動(dòng)到△A′B′C′，點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形ACC′A′的面積是（）A．96 B．963 C．192 D．1603解：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8，則BC＝AB?tan∠CAB＝83，由平移的性質(zhì)可知：AC＝A′C′，AC∥A′C′，∴四邊形ACC′A′為平行四邊形，∵點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12，點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，∴AA′＝12，∴S四邊形ACC′A′＝12×83=963答案：B．18．（2022?淄博中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若頂點(diǎn)A（﹣3，4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A1（2，5），則點(diǎn)B（﹣4，2）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是（1，3）．解：∵點(diǎn)A（﹣3，4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A1（2，5），∴點(diǎn)B（﹣4，2）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是（1，3）．答案：（1，3）．19．（2022?大連中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2），將線段OA向右平移4個(gè)單位長度，得到線段BC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（5，2）．解：將線段OA向右平移4個(gè)單位長度，得到線段BC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1+4，2），即（5，2），答案：（5，2）．20．（2022?臨沂中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（﹣1，0），則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（1，﹣3）．解：由題意知，點(diǎn)A從（0，2）平移至（﹣1，0），可看作是△ABC先向下平移2個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位（或者先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位），即B點(diǎn)（2，﹣1），平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'（1，﹣3），答案：（1，﹣3）．21．（2022?畢節(jié)中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把一個(gè)點(diǎn)從原點(diǎn)開始向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)A1（1，1）；把點(diǎn)A1向上平移2個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)A2（﹣1，3）；把點(diǎn)A2向下平移3個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位，得到點(diǎn)A3（﹣4，0）；把點(diǎn)A3向下平移4個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到點(diǎn)A4（0，﹣4），…；按此做法進(jìn)行下去，則點(diǎn)A10的坐標(biāo)為（﹣1，11）．解：由圖象可知，A5（5，1），將點(diǎn)A5向左平移6個(gè)單位、再向上平移6個(gè)單位，可得A6（﹣1，7），將點(diǎn)A6向左平移7個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位，可得A7（﹣8，0），將點(diǎn)A7向右平移8個(gè)單位，再向下平移8個(gè)單位，可得A8（0，﹣8），將點(diǎn)A8向右平移9個(gè)單位，再向上平移9個(gè)單位，可得A9（9，1），將點(diǎn)A9向左平移10個(gè)單位，再向上平移10個(gè)單位，可得A10（﹣1，11），答案：（﹣1，11）．22．（2022?陜西中考）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）．將△ABC平移后得到△A'B'C'，且點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A'（2，3），點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是B'、C'．（1）點(diǎn)A、A'之間的距離是4；（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△A'B'C'．解：（1）∵A（﹣2，3），A'（2，3），∴點(diǎn)A、A'之間的距離是2﹣（﹣2）＝4，答案：4；（2）如圖所示，△A'B'C'即為所求．三、旋轉(zhuǎn)變換【高頻考點(diǎn)精講】1、將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。2、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。2、旋轉(zhuǎn)作圖根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等且等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形。【熱點(diǎn)題型精練】23．（2022?棗莊中考）剪紙文化是中國最古老的民間藝術(shù)之一，下列剪紙圖案中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B．C．D．解：A．不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；答案：D．24．（2022?青島中考）如圖，將△ABC先向右平移3個(gè)單位，再繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到△A'B'C'，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（）A．（2，0） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣3，﹣1）解：由圖中可知，點(diǎn)A（﹣2，3），將△ABC先向右平移3個(gè)單位，得坐標(biāo)為：（1，3），再繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到△A'B'C'，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（﹣1，﹣3）．答案：C．25．（2022?天津中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC邊上任意一點(diǎn)，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，連接MN，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC解：A、∵AB＝AC，∴AB＞AM，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AN＝AM，∴AB＞AN，故本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；B、當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AB∥NC，除此之外，AB與NC不平行，故本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；C、由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，∵AM＝AN，AB＝AC，∴∠ABC＝∠AMN，∴∠AMN＝∠ACN，本選項(xiàng)結(jié)論正確，符合題意；D、只有當(dāng)點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)時(shí)，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；答案：C．26．（2022?包頭中考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，其中點(diǎn)A'與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B'與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)B'恰好落在AB邊上，則點(diǎn)A到直線A'C的距離等于（）A．33 B．23 C．3 D．2解：連接AA′，如圖，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC=3BC＝23，∠B∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，∵CB＝CB′，∠B＝60°，∴△CBB′為等邊三角形，∴∠BCB′＝60°，∴∠ACA′＝60°，∴△CAA′為等邊三角形，過點(diǎn)A作AD⊥A'C于點(diǎn)D，∴CD=12AC∴AD=3CD=∴點(diǎn)A到直線A'C的距離為3，答案：C．27．（2022?內(nèi)蒙古中考）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB′C′D′，圖中陰影部分的面積為（）A．12 B．33 C．1?3解：如圖，設(shè)B′C′與CD的交點(diǎn)為E，連接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，AE=AEAB′=AD∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE＝∠B′AE，∵旋轉(zhuǎn)角為30°，∴∠DAB′＝60°，∴∠DAE=1∴DE＝1×3∴陰影部分的面積＝1×1﹣2×（12×1×3答案：C．28．（2022?阜新中考）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，則點(diǎn)D到BC的距離是2．解：如圖，連接BD，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝4，∠ABD＝60°，∴∠DBC＝30°，∵DH⊥BC，∴DH=12∴點(diǎn)D到BC的距離是2，答案：2．29．（2022?盤錦中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C'，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'落在邊AB上時(shí)，點(diǎn)C'在BA的延長線上，連接BB'，若AA'＝1，則△BB'D的面積是334解：如圖所示，設(shè)A'B'與BD交于點(diǎn)O，連接A'D和AD，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AB＝AC，∠ABC＝30°，∴AD⊥BC，A'D⊥B'C'，A'D是∠B′A′C′的角平分線，AD是∠BAC的角平分線，∴∠B'A'C'＝120°，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠B'A'D＝60°，∵A'D＝AD，∴△A'AD是等邊三角形，∴A'A＝AD＝A'D＝1，∵∠BA'B'＝180°﹣∠B'A'C'＝60°，∴∠BA'B'＝∠A'AD，∴A'B'∥AD，∴A′O⊥BC，∴A′O=1∴OD=1?∵A'B'＝2A'D＝2，∵∠A'BD＝∠A'DO＝30°，∴BO＝OD，∴OB′=2?12=∴S△BB′D30．（2022?黃石中考）如圖，等邊△ABC中，AB＝10，點(diǎn)E為高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF＝30°，F(xiàn)B+FD的最小值為53．解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥CB，∴∠BAE=12∠∵△BEF是等邊三角形，∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，BA=BC∠ABE=∠CBF∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠BCF＝30°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG，BG，BG交CF的延長線于點(diǎn)F′，連接DF′，此時(shí)BF′+DF′的值最小，最小值＝線段BG的長．∵∠DCF＝∠FCG＝30°，∴∠DCG＝60°，∵CD＝CG＝5，∴△CDG是等邊三角形，∴DB＝DC＝DG，∴∠CGB＝90°，∴BG=BC2∴BF+DF的最小值為53，答案：30°，53．31．（2022?廣州中考）如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP′，連接PP′，CP′．當(dāng)點(diǎn)P′落在邊BC上時(shí)，∠PP′C的度數(shù)為120°；當(dāng)線段CP′的長度最小時(shí)，∠PP′C的度數(shù)為75°．解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．∵△BPP′是等邊三角形，∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，∴∠ABP＝∠EBP′，在△ABP和△EBP′中，BA=BE∠ABP=∠EBP′∴△ABP≌△EBP′（SAS），∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，∴點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動(dòng)，如圖1中，設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)P′落在BC上時(shí)，點(diǎn)P′與O重合，此時(shí)∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，當(dāng)CP′⊥EP′時(shí)，CP′的長最小，此時(shí)∠EBO＝∠OCP′＝30°，∴EO=12OB，OP′=∴EP′＝EO+OP′=12OB+12∵BC＝2AB，∴EP′＝AB＝EB，∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．答案：120°，75°．32．（2022?柳州中考）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為25?2解：連接DG，將DG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DM，連接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM=42+∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值為25?答案：25?33．（2022?錦州中考）如圖，在△ABC中，AB=AC=25，BC=4，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，（1）如圖1，求證：DF=5（2）如圖2，將∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到∠PDQ，當(dāng)射線DP交AB于點(diǎn)G，射線DQ交BC于點(diǎn)N時(shí)，連接FE并延長交射線DP于點(diǎn)M，判斷FN與EM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)DP⊥AB時(shí)，求DN的長．（1）證明：如圖1，連接AF，∵AB=AC=25，BC=4，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，∴DE=12BC=2，AF∴DF=1∴DF=5（2）解：FN=5理由如下：連接AF，如圖2，∵AB=AC=25，BC=4，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，∴EF=1∴四邊形CDEF是平行四邊形，∴∠DEF＝∠C，∵DF=1∴∠DFC＝∠C，∴∠DFC＝∠DEF，∴180°﹣∠DFC＝180°﹣∠DEF，∴∠DFN＝∠DEM，∵將∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到