第第頁湖南省長沙市寧鄉市2023-2024學年高一下學期期末調研考試數學試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求．1．設z=1+2i3?4A．?15 B．?15i 2．直線l1，lA．l1，lB．l1，lC．l1平行于lD．l1，l3．擲兩枚質地均勻的骰子，設事件A為擲出的兩個骰子點數之和是5，則事件A發生的概率為（）A．14 B．13 C．164．某校舉行演講比賽，10位評委對某選手評分數據如下：7.5,7.5,7.8,7.8,8.0,8.0,8.2,8.3,8.4,9.9若去掉一個最高分和一個最低分，則新數據與原數據相比，一定不變的數字特征是（）A．平均數 B．中位數 C．方差 D．極差5．已知一個樣本有27個數據，該組數據的第75百分位數是164，則下列敘述正確的是（）A．把這27個數據從小到大排列后，164是第20個數據和第21個數據的平均數B．把這27個數據從小到大排列后，小于或等于164數據共有20個C．把這27個數據從小到大排列后，小于或等于164數據共有21個D．把這27個數據從小到大排列后，164是第21個數據6．在半徑為r的⊙O中，弦AB的長為2，則AO?A．4 B．2 C．1 D．與r有關7．如圖，將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，求棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比是（）A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:68．長方體的一條體對角線與它一個頂點處的三個面所成的角分別為α，β，γ，則（）A．cos2α+cosC．sin2α+sin二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9．下列命題為真命題的是（）A．若復數z=a+bi(a,b∈R)B．復數2?iC．若i為虛數單位，n為正整數，則iD．若z1=z10．已知a=(A．a和b都是單位向量 B．若α=β+π，則C．若a⊥b，則α=β+π11．已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊，且cosA=?A．b=2 B．sinC．sinA+sinB=2三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12．將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的體積是．13．一個古典概型的樣本空間Ω和事件A和B，其中n(Ω)=24，n(A)=12，n(B)=814．已知某射擊運動員在10次射擊中，命中環數的平均數為7，方差為4，現增加兩次射擊，命中環數分別是6和8，則該射擊運動員的這12次射擊的命中環數的方差為.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在一次猜燈謎活動中，共有20道燈謎，兩名同學獨立競猜，甲同學猜對了12個，乙同學猜對了8個，假設猜對每道燈謎都是等可能的，試求：（1）任選一道燈謎，恰有一個人猜對的概率；（2）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對的概率．16．已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊，且滿足3b（1）求A；（2）若b=2,S17．BMI（身體質量指數）是目前國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個標準，其計算公式是：BMI=體重(單位:kg)身高2單位:m2．中國成人的（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計該公司員工為肥胖的百分比；（2）估計該公司員工的BMI值的眾數，中位數；（3）已知樣本中60名男員工BMI值的平均數為u1=22.4，根據頻率分布直方圖，估計樣本中40名女員工BMI值的平均數18．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，側面PAD是正三角形，側面PAD⊥底面ABCD,M是PD的中點．（1）求證：AM⊥平面PCD；（2）求PB與底面ABCD所成角的正切值；（3）設平面PAB∩平面PCD=l，求二面角B?l?C的大小．19．如圖，設Ox,Oy是平面內相交成60°角的兩條數軸，e1,e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若向量OM=xe1+ye2，則把有序實數對(x,y)叫做向量OM在坐標系Oxy中的坐標，記作OM=(x,y).在此坐標系Oxy中，若OA（1）求：|OP（2）求OR,（3）若點M在線段AF上運動，設OM=(x,y)，求xy

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：z=1+2i3?4i=故答案為：C.【分析】利用復數代數形式的除法運算化簡復數z，再根據復數的概念判斷即可.2．【答案】D【解析】【解答】由題意選項可以推出直線l1，l2互相平行即可，

A中l1與l2不僅可以平行還可能相交或異面直線；

B中l1與l2不僅可以平行還可能相交或異面直線；故答案為：D。

【分析】利用已知條件結合充分條件的判斷方法，從而找出直線l1，l23．【答案】D【解析】【解答】解：易知擲兩枚質地均勻的骰子，共有36種結果，

事件A擲出的兩個骰子點數之和是5有：(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)，共有4種結果，根據古典概型概率公式得，P(A)=4故答案為：D.【分析】利用列舉法，結合古典概型概率公式求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：去掉一個最高分和一個最低分，則新數據與原數據相比，一定不變的是中位數.故答案為：B．【分析】根據均數、中位數、方差和極差的定義判斷即可．5．【答案】D【解析】【解答】解：樣本的27個數據從小到大排列，27×75%=20.125，則第21個數據為中位數，且第21個數據為164；小于或等于164的數據可能有21個，也可能多于故答案為：D.【分析】由題意，根據百分位數的概念可以判斷出第21個數據是164，小于或等于164的數據可能有21個，也可能多于21個判斷即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：如圖所示：

取線段AB的中點D，則OD⊥AB，即AB?DO則AB?AO故答案為：B.【分析】取線段AB的中點D，易知OD⊥AB，再利用向量數量積的運算法則求解即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：設該長方體的長、寬、高分別為a，b，c，易知長方體的體積為V長方體=abc，

三棱錐的體積為V三棱錐=1故棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比V三棱錐故答案為：C.【分析】設該長方體的長、寬、高分別為a，b，c，利用棱錐體積公式及長方體體積公式，求出三棱錐的體積與剩下的幾何體體積，作比求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】依題意，體對角線l滿足則l=a設l與上下底面成角α，則α=∠DAE，sinα=設l與左右側面成角β，則β=∠ADB，sinβ=設l與前后面成角γ，則γ=∠DAC，sinγ=所以sin2α+sin故答案為：A.

【分析】根據長方體的特征逐項進行分析，即可得出答案。9．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、若復數z=a+bi(a,b∈R)為純虛數，則a=0，B、復數2?i在復平面內對應的點為(2,?1)C、若i為虛數單位，n為正整數，則i4n+3D、若|z1|=|z2|=1，則故答案為：AD．【分析】利用復數的基本概念即可判斷A；利用復數的代數表示法及其幾何意義即可判斷BD；利用虛數單位i的運算性質即可判斷C．10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)B、若α=β+π，則cosα=?cosβ,sinC、若a⊥b，則a?b=cosαcosβ+sinαD、易知(a+b故答案為：ABD．【分析】根據平方關系求出|a|，11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、sinA=2sinB由余弦定理a2=b2+B、由A可知：a=2b=4，sinA=154C、a+b=6=2c，由正弦定理可得：sinA+D、由sinA=154，b=4，c=3故答案為：ABC.【分析】由正弦定理結合余弦定理求解即可判斷A；用正弦定理即可判斷BC；利用三角形的面積公式計算即可判斷D.12．【答案】π【解析】【解答】解：易知將邊長為1的正方形繞其一邊所在直線旋轉一周，所得幾何體為圓柱，圓柱的底面半徑為1，高為1，則圓柱的體積為π×1故答案為：π.【分析】易知正方體旋轉軸旋轉一周形成底面半徑為1，高為1的圓柱，根據圓柱的體積公式求解即可.13．【答案】1【解析】【解答】∵n(A)=12，n(B)∴n(∴P(故答案為：16

【分析】利用已知條件交事件的個數求解公式，即n(AB)=n(A)14．【答案】3.5???????【解析】【解答】解：設某射擊運動員前10次射擊命中環數分別為x1,x2,???,x10即x1增加兩次射擊后，這12次射擊的命中環數的平均數為：11212次射擊的命中環數的方差為：112故答案為：3.5.【分析】設前10次射擊的命中環數分別為x115．【答案】解：（1）設事件A=“甲猜對”，事件B=“乙猜對”，

P（A）=1220=35，P（B）=820=25，【解析】【分析】（1）設事件A=“甲猜對”，事件B=“乙猜對”，求出pA，pB，任選一道燈謎，恰有一個人猜對的概率為：（2）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對的概率為PA16．【答案】（1）解：3bcosA?asinB=0在△ABC中，因為sinB>0，所以3cosA=又因為A∈(0,π)，所以（2）解：因為b=2,S△ABC=33，所以12則a=b【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡求得tanA=（2）利用三角形面積公式求得c=6，再利用余弦定理求值即可.（1）（1）因為3b由正弦定理得3sin在△ABC中，sinB>0，則3cosA?而A∈(0,π)，可（2）因為b=2,S所以12bcsinA=33所以a=b則a=2717．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖各矩形面積和為1，可得2×(0.01+0.02+0.03+0.06+0.07+0.08+a+0.13)=1，解得a=0.1，則公司員工為肥胖的百分比為2×(0.01+0.03)×100%（2）解：由頻率分布直方圖可得，眾數為18+202因為2×(0.08+0.13)=0.42<0.5，2×(0.08+0.13+0.1)=0.62>0.5，所以中位數在[20,22)，設為m，則m=20+0.5?0.42（3）解：設樣本平均數為x，易知x=2×(17×0.08+19×0.13+21×0.1+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03)=21.64根據x=60u1+40【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖各矩形面積之和為1計算a的值，再結合頻率分布直方圖即可得肥胖的百分比即可；（2）利用頻率分布直方圖估計眾數，中位數即可；（3）先計算整體的平均數，再由分層抽樣平均數的公式求解即可．（1）由題，2×(0.01+0.02+0.03+0.06+0.07+0.08+a+0.13)=1，解得：a=0.1，由頻率分布直方圖可得，該公司員工為肥胖的百分比為2×(0.01+0.03)×100%（2）由頻率分布直方圖可得，眾數為18+202因為2×(0.08+0.13)=0.42<0.5，2×(0.08+0.13+0.1)=0.62>0.5，故中位數在[20,22)，設為m，則m=20+0.5?0.42（3）設樣本平均數為x，則由頻率分布直方圖可得；x=2×(17×0.08+19×0.13+21×0.1+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03)=21.64又x=即60×22.4+40μ210018．【答案】（1）證明：在四棱錐P?ABCD中，因為側面PAD是正三角形，M是PD的中點，所以AM⊥PD，又因為底面ABCD為正方形，所以AD⊥CD，又因為側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又因為AM?平面PAD，所以AM⊥CD，又因為PD∩CD=D，PD、CD?平面PCD，所以AM⊥平面（2）解：取AD的中點O，連接OP，OB，如圖所示：因為側面PAD是正三角形，所以OP⊥AD，又因為側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，OP?平面PAD，所以OP⊥平面ABCD，則∠PBO即為PB與底面ABCD所成角，設正方形ABCD的邊長為2a，則OP=3a，在Rt△OPB中，tan則PB與底面ABCD所成角的正切值為155（3）解：因為AB//CD，AB?平面PAB，CD?平面PAB，所以CD//平面PAB又因為平面PAB∩平面PCD=l，CD?平面PCD，所以CD//l，由（1）知CD⊥平面PAD，則l⊥平面PAD，因為PA?平面PAD，所以PA⊥l，同理可得PD⊥l，則∠APD即為二面角B?l?C的平面角，因為側面PAD是正三角形，所以∠APD=π故二面角B?l?C的大小為π3【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質可得AM⊥PD，由面面垂直的性質定理可得CD⊥平面PAD，從而知AM⊥CD，再利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）取AD的中點O，連接OP，OB，利用面面垂直的性質定理可證OP⊥平面ABCD，從而知∠PBO即為所求，再利用銳角三角函數的知識求解即可；（3）先證CD//平面PAB，由線面平行的性質定理知CD//l，再證l⊥平面PAD，從而知PA⊥l，同理可證PD⊥l，于是∠APD即為所求．（1）證明：因為側面PAD是正三角形，M是PD的中點，所以AM⊥PD，因為底面ABCD為正方形，所以AD⊥CD，又側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因為AM?平面PAD，所以AM⊥CD，又PD∩CD=D，PD、CD?平面所以AM⊥平面PCD．（2）解：取AD的中點O，連接OP，OB，因為側面PAD是正三角形，所以OP⊥AD，又側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，OP?平面PAD，所以OP⊥平面ABCD，所以∠PBO即為PB與底面ABCD所成角，設正方形ABCD的邊長為2a，則OP=3a，在Rt△OPB中，tan所以PB與底面ABCD所成角的正切值為155（3）解：因為AB//CD，AB?平面PAB，CD?平面PAB所以CD//平面PAB，又平面PAB∩平面PCD=l，CD?平面PCD，所以CD//l，由（1）知CD⊥平