第第頁廣西平果市鋁城中學2023-2024學年高一下學期期末考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知i是虛數單位，a∈R，則“(a+iA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．在△ABC中，cA．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=2，b+c=23，且△ABC的面積為62，則A．64 B．54 C．324．圓臺的一個底面周長為另一個底面周長的2倍，母線長為4，圓臺側面積為36π，則圓臺較小底面半徑為（）A．3 B．6 C．9 D．125．地磚是一種地面裝飾材料，也叫地板磚，用黏土燒制而成，質堅?耐壓?耐磨?防潮．地板磚品種非常多，圖案也多種多樣．如圖是某公司大廳的地板磚鋪設方式，地板磚有正方形與正三角形兩種形狀，且它們的邊長都相同，若OD=m,A．(233C．(2336．一個電路如圖所示，A，B，C，D為4個開關，其閉合的概率均為23A．7681 B．7781 C．40817．化橘紅具有散寒燥濕，利氣消疾，止咳、健脾消食等功效．如圖，小明為了測量一棵老橘紅樹的高度，他選取與樹根部C在同一水平面的A、B兩點，在A點測得樹根部C在西偏北30°的方向上，沿正西方向步行20米到B處，測得樹根部C在西偏北75°的方向上，樹梢D的仰角為30°，則樹的高度是（）

A．106米 B．103米 C．1033米8．已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB=120°，PA=2，點C在底面圓周上，且二面角P?AC?O為45°，則（）A．該圓錐體積為3π B．該圓錐的側面積為C．AC=3 D．△PAC二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，答案有兩個選項只選一個對得3分，錯選不得分；答案有三個選項只選一個對得2分，只選兩個都對得4分，錯選不得分。9．如果平面向量a=(2A．a//b C．a在b上的投影向量為(1,110．知一組數據：2,A．若m=7，則平均數為4.4 B．若m=5，則第25百分位數為3C．若m=6，則中位數為4 D．若m=10，則方差為4011．已知矩形ABCD，AB=3，BC=1，將△ADC沿對角線AC進行翻折，得到三棱錐A．三棱錐D?ABC的體積最大值為1B．三棱錐D?ABC的外接球體積不變C．異面直線AB與CD所成角的最大值為9D．AD與平面ABC所成角的最大值為3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知向量m,n，滿足|m|=4，|n|=6，m13．如圖，O'A'B'C'是平面四邊形OABC14．已知某運動員每次投籃命中的概率是40%．現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中，0,5,四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．有3個相同的球，分別標有數字1，2，3，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．用(x，y)表示試驗的樣本點，其中x表示第一次取出的基本結果，（1）寫出這個試驗的樣本空間Ω；（2）用A表示事件“第一次取出的球的數字是1”；用B表示事件“兩次取出的球的數字之和是4”，求證：P(16．在①m∥n；②在△ABC中，角A,B,C（1）若C=π3，求（2）已知c=2,cosC=17．如圖，已知四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E為側棱SC的中點.（1）求證：SA//平面EDB（2）設平面SAB∩平面SCD=l，求證：AB18．暑假期間，某中學為了解學生的課外閱讀情況，隨機抽取了200名學生并獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數據，將其整理后分為5組畫出頻率分布直方圖如圖所示，但是第一、五兩組數據丟失，只知道第五組的頻率是第一組的2倍.（1）求第一組、第五組的頻率并補全頻率分布直方圖（用陰影涂黑）；（2）現從第四、五組中按分層抽樣方法抽取6人參加校古詩詞比賽，經過比賽后，第四組得分的平均數x=8，方差s2=2，第五組得分的平均數y=5，方差t219．如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面為直角梯形，AD//BC，∠BCD=90°，PA=PB，（1）證明：CD與平面PAD不垂直；（2）證明：平面PAB⊥平面ABCD；（3）如果CD=AD+BC，二面角P?BC?A等于60°，求二面角P?CD?A的大小．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：因為(a+i)2=則“(a+i)故答案為：A.【分析】根據復數的乘法運算結合復數相等求出a的值，再利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：由c2根據余弦定理可得c2=bc?b化簡可得a2+b故答案為：B.【分析】由題意，利用余弦定理化簡判斷即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：因為△ABC的面積為62，所以S△ABC由余弦定理可得cosA=因為sin2A+cos2A=1故AB?故答案為：B.

【分析】根據三角形面積求得sinA=6bc，再由余弦定理求得cosA=4?bcbc，根據4．【答案】A【解析】【解答】解：設圓臺的比較大的底面的半徑為R，比較小的底面半徑為r，因為圓臺的一個底面周長為另一個底面周長的2倍，所以R=2r，又圓臺的側面積為36π，即π(r+R)故答案為：A．【分析】分別設出圓臺的比較小的半徑和比較大的半徑為r，R，由題意可得R=2r，再根據圓臺的側面積求解即可．5．【答案】B【解析】【解答】解：以AB的中點M為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示：設|AB|=2，則O(0,3OD=(3設AF=λOD+μOI，則3λ?3故答案為：B.【分析】以AB的中點M為坐標原點，建立平面直角坐標系，根據平面向量的坐標運算公式，結合平面向量基本定理求解即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：開關A，B所在的分支不通電的概率為1?2開關C，D所在的分支不通電的概率為1-1所以燈亮的概率為1?5故答案為：A.【分析】先根據題意求出燈不亮的概率，再結合對立事件運算求解.7．【答案】D【解析】【解答】解：在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°?30°=45°，AB=20由正弦定理得可得BCsin30°=在Rt△BCD中，∠DBC=30°，則CD=BC?故樹的高度為106故答案為：D．【分析】在△ABC中，利用正弦定理求得BC的值，再在Rt△BCD中，求8．【答案】D【解析】【解答】解：A、易知PO⊥平面ABC，因為AB?平面ABC，所以PO⊥AB，

又因為∠APB=120°，PA=PB=2，所以∠PAB=18AO=PA2B、因為AO=3，PA=2，所以圓錐的側面積為πC、連接CB，設AC的中點為D，如圖所示：

因為O，D為AC，AB的中點，所以OD//BC又因為AB為底面直徑，所以AC⊥CB，則AC⊥OD，因為PA=PC，AC的中點為D，所以AC⊥PD，因為二面角P?AC?O為45°，所以∠PDO=45°，OD=PO=1，BC=2OD=2，則AC=AD、△PAC的面積為S=故答案為：D.【分析】根據二面角的定義，結合銳角三角函數定義、圓錐的體積和側面積公式逐項判斷即可.9．【答案】C,D【解析】【解答】解：平面向量a=(2,0)，b=(1,1)，

A、21≠01，則a→，b→不平行，故A錯誤；

B、2×1+0×1≠0，則a→10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、若m=7，則平均數為2+3+4+6+75B、若m=5，因為5×0.C、若m=6，這組數據從小到大排列為2，3，4，6，6，則中位數為4，故C正確；D、若m=10，則這組數的平均數為5，

則方差s2故答案為：ABC．【分析】根據平均數、百分位數、中位數、方程的計算公式或者定義逐項計算判斷即可.11．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、要使三棱錐D?ABC的體積最大值，則點D到平面ABC的距離最大，此時平面DAC⊥平面ABC時，作DE⊥AC，垂足為因為平面ACD∩平面ABC=AC，DE?平面DAC，所以DE⊥平面因為AC?DE=AD?CD，所以DE=3S△ABC=即三棱錐D?ABC的體積最大值為14B、因為△ADC和△ABC均為以AC所以AC中點到A,B,C,所以三棱錐D?ABC的外接球半徑R=1所以三棱錐D?ABC的外接球體積V=4C、假設異面直線AB與CD所成角的最大值為90°，則又因為AB⊥BC，BC∩CD=C，BC,CD?平面BCD，所以因為BD?平面BCD，所以AB⊥BD，所以△ABD是以ADAD>AB，與已知矛盾，故假設錯誤，故C錯誤；D、設AD與平面ABC所成角為θ，點D到平面ABC距離為d，則sinθ所以當點D到平面ABC距離最大時，AD與平面ABC所成角最大，當平面DAC⊥平面ABC時，點D到平面ABC距離最大，此時dmax即(sinθ)故答案為：AB.【分析】當平面DAC⊥平面ABC時，點D到平面ABC的距離最大，此時三棱錐體積最大，AD與平面ABC所成角最大，利用面積橋求得DE后，即可判斷AD；根據外接球特點可知外接球球心為AC中點，由此確定半徑R=1，知外接球體積為定值即可判斷B；假設C正確，由線面垂直的判定和性質可知AB⊥BD，得AD>AB，與已知矛盾，即可判斷C；設AD與平面ABC所成角為θ，點D到平面ABC距離為d，由題意可得當平面DAC⊥平面ABC時，點D到平面ABC距離最大，根據線面角的定義求解，即可判斷D.12．【答案】2【解析】【解答】解：因為|m|=4，|n|=6，m與n的夾角為60°故答案為：219【分析】由題意，根據向量的模公式求解即可.13．【答案】16【解析】【解答】解：易知O'A'OA=O'A'=2則原圖形的面積周長為2×(故答案為：16.【分析】根據原圖形與斜二測畫法直觀圖之間的關系，還原原圖形求解即可.14．【答案】3【解析】【解答】解：由題意，可知三次投籃恰有兩次命中情形有204，171，263三組，則該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率P=故答案為：310【分析】根據古典概型概率公式求解即可．15．【答案】（1）從3個球中有放回的隨機取兩次，該試驗的樣本空間Ω＝{（2）證明：事件A包含的樣本點為(1，1)，事件B包含的樣本點為(1，3)，而事件AB表示“第一次取出的球的數字是1且兩次取出的球的數字之和是4”，它包含的樣本點為(1，3)，故P(【解析】【分析】（1）利用已知條件結合列舉法寫出這個試驗的樣本空間Ω。

（2）利用已知條件結合古典概型求概率公式，進而求出事件A，B的概率，再利用獨立事件乘法求概率公式，進而求出事件AB的概率，從而證出P(16．【答案】（1）解：選①因為m∥n，所以由正弦定理可得sinAcosA=由于在△ABC中A,B∈(0因為C=π3，故A+B=π選②因為m?n=2acosB由正弦定理可得sinBcosA=由于在△ABC中A,B∈從而A=B，因為C=π3，所以（2）解：若選①，由以上解答可知，A=B或A+B=π因為cosC=45，故A+B=π2由余弦定理cosC=a2+b因為cosC=45從而△ABC的面積為1若選②，由（1）解答可知，A=B，則a=b，由余弦定理cosC=a2+b因為cosC=45從而△ABC的面積為1【解析】【分析】（1）選①，根據m∥n結合正弦定理求得sin2A=選②，由m?n=2acosB可得b（2）選①，由（1）結合條件可知A=B，則a=b，再由余弦定理求得a，根據三角形面積公式求解即可；選②，由（1）結合條件可知A=B，則a=b，在由余弦定理求得a，根據三角形面積公式，求解即可.17．【答案】（1）證明：連接AC，交BD于點O，連接OE，如圖所示：

因為ABCD是平行四邊形，故O為AC中點，又E為側棱SC的中點，故SA//又SA?平面EDB，EO?平面EDB，故SA//平面EDB（2）證明：因為AB//CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，所以AB//又因為平面SAB∩平面SCD=l，AB?平面所以AB//【解析】【分析】（1）連接AC，交BD于點O，連接OE，根據線面平行的判定定理證明即可；（2）證明AB//平面SCD，由線面平行的性質定理證明AB18．【答案】（1）解：第一組的頻率為x，則第五組的頻率為2x，依題意得x+(0.所以第一組的頻率為0.05，則第五組的頻率為0.10，頻率分布直方圖如下：（2）解：因為第4組和第5組的頻數之比為2：1，所以從第4組抽取4人，第5組抽取2人，所以這6人得分的平均數a=方差b2【解析】【分析】（1）根據頻率分布直方圖矩形面積之和為1求解即可；（2）根據分層抽樣抽樣比求解第4組抽取4人，第5組抽取2人，利用方差的公式求解即可.19．【答案】（1）證明：若CD⊥平面PAD，則CD⊥PD，由已知PC=PD，得∠PCD=∠PDC<90°，這與CD