第第頁廣東省清遠市2022-2023學年高一下學期期末數學試題一、單選題1．已知i為虛數單位，則(2+3iA．13i B．?13i C．12+13i D．2．已知向量a=(mA．43 B．?43 C．33．某高中共有學生2400人，其中高一、高二、高三的學生人數比為5∶4∶6，現用分層隨機抽樣的方法從該高中所有學生中抽取一個容量為120的樣本，則應從高三年級抽取的人數為（）A．32 B．40 C．48 D．564．一個內壁底面半徑為2的圓柱體玻璃杯中盛有體積為V的水，若放入一個玻璃球(球的半徑與圓柱體玻璃杯內壁的底面半徑相同)后，水恰好淹沒了玻璃球，則V=（）A．20π3 B．6π C．165．已知cosθ+cosA．13 B．79 C．?76．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的邊長為2，PA=4，E為側棱PC的中點，則異面直線BE與PA所成角的正切值為（）A．24 B．2 C．1 D．7．在△ABC中，D為BC的中點，3sin∠ADB=2sin∠ACB，BC=6，AB=42，則△ABC的面積為（）A．23 B．33 C．22 D．428．瑞士數學家歐拉是數學史上最多產的數學家，被譽為“數學之王”，歐拉在1765年發表了令人贊美的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條直線被稱為歐拉線.已知M，N，O，P為△ABC所在平面上的點，滿足|MA|=|MB|=|A．M，N，P B．M，N，O C．M，O，P D．N，O，P二、多選題9．已知一組數據x1，x2，?，xn的平均數為a，中位數為b，方差為c，眾數為d，數據?2A．a1=?2a+1 B．b1無法確定 C．c10．已知函數f(A．f(B．f(C．f(x)D．f(x11．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BC=BA=2，AC=2，AA1=3，點A．三棱柱ABC?A1B．三棱柱ABC?A1C．B1CD．CE⊥平面B12．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=1A．A=2B B．B=2AC．a的取值范圍是(1，3三、填空題13．已知sinα=?2cosα，則tan14．互不相等的4個正整數從小到大排序為a1，a2，a3，a4，若它們的和為12，且這4個數據的極差是中位數的2倍，則這4個數據的第40百分位數為.15．已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，定義a×b為向量a與b的向量積，a×b是一個向量，它的模當k=3時，θ=若向量a與b為單位向量，當k=1515時，a在a+b上的投影向量(與a+16．在數學探究活動課中，小華進行了如下探究：如圖，這是注入了一定量水的正方體密閉容器，現將該正方體容器的一個頂點A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三條棱與水平面所成角均相等，此時水平面恰好經過BB1的中點，若AB=1，則該水平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面的面積為.四、解答題17．已知復數z的虛部為?2，z在復平面上對應的點在第三象限，且滿足|z（1）求z.（2）已知m∈R，|18．在△ABC中，BC=3BD，AE=EC，（1）用向量AB，AC表示（2）若|AB+AC|=|AB?AC|=2，AD·BC19．某市對該市全體高中學生舉行了一次關于環境保護相關知識的測試，統計人員從A校隨機抽取了300名學生，從B校隨機抽取了400名學生，統計后發現所有學生的測試成績都在區間[50，100]內，并將收集到的數據按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分組，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示.（1）估計A校這300名學生成績的75%分位數；（2）根據頻率分布直方圖，假設同組中的每個數據用該組區間的中點值代替，估計A校抽取的300名學生成績的平均值為μ1，B校抽取的400名學生成績的平均值為μ2，以及A，B兩校抽取的700名學生成績的平均值為μ0，試比較μ0和μ120．函數f(x)=Msin(ωx+φ)(（1）求x0和f（2）將f(x)的圖象向右平移13個單位長度，再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的12，縱坐標不變，得到函數g21．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為aabsin（1）求A；（2）若4a+7b=27c，求sinC．22．如圖，在正三棱臺ABC?A1B1C（1）證明：AA（2）過B1C1的平面α交AB，AC分別于E，F，若A

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】(2+3i)(3+2i)2．【答案】B【解析】【解答】由題意得-3m=4，求得m=-43.

故答案為：B3．【答案】C【解析】【解答】由題意得應從高三年級抽取的人數為120×65+4+6=48人。

4．【答案】C【解析】【解答】由題意知V玻璃球=4π3×23=32π3，∵放入一個玻璃球后水恰好淹沒了玻璃球，∴此時水面高度為4，體積5．【答案】A【解析】【解答】∵cosθ+cos(θ?π36．【答案】D【解析】【解答】如圖：

以A為原點，AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A0，0，0，P0，0，4，B2，0，0，C2，2，0，∴E1，1，2，∴AP→=0，0，4，BE→=-1，1，2，

異面直線BE與PA所成角為θ，則7．【答案】D【解析】【解答】如圖：

易知在?ACD中由正弦定理知ADAC=sin∠ACBsin∠ADC=sin∠ACBsin∠ADB=32，設AC=2m，AD=3m

在?ABD和?ABC由余弦定理得cosB=AB2+BD2-AD22AB·BD=AB8．【答案】B【解析】【解答】由題意知∵|MA|=|MB|=|MC|，∴即M為?ABC的外心；

∵NA+NB+NC=0，∴即N為?ABC的重心；

∵OA?OB=OB?OC=OC?OA，∴OA→?OB→-OB→?OC→=OA→-OC→?OB→=CA→?OB→=0，∴OB⊥AC，同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O為9．【答案】A,D【解析】【解答】不妨設x1≤x2≤?≤xn，則?2x1+1≥?2x2+1≥?≥?2xn+1，

A、a=x1+x2+?+xnn10．【答案】B,C,D【解析】【解答】A、∵f(x)=sinxcosx=12sin2x，∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，A錯誤；

B、∵f(-x)=12sin2-x=-1211．【答案】B,C,D【解析】【解答】A、由題意得三棱柱ABC?A1B1C1的側面積為S側=AB+BC+AC·AA1=2+2+2×3=62+6，A錯誤；

B、∵BC=BA=2，AC=2，∴?ABC是以B為頂點的等腰直角三角形，

∴直三棱柱ABC?A1B1C1的外接球半徑r=AC22+AA122=12+322=132

∴外接球的表面積為S表=4πr2=13π，B正確；

C、∵BC∥B1C1，BC?平面BCD，B1C1?平面BCD，∴B1C1∥平面BCD，C正確；

D、∵BC=BA，D是A1C1的中點，∴B1D⊥A1C1，又直三棱柱ABC?A1B1C1，∴側棱AA1⊥平面A1B1C12．【答案】A,D【解析】【解答】AB、∵b=1，∴a2?b2=c=bc

由正弦定理得sin2A?sin2B=sinBsinC，∴1-cos2A2?1-cos2B2=sinBsinC，即cos2B-cos2A=2sinBsinC，∴cosB+A+B-A-cosB+A-B-A=-2sinB+AsinB-A=2sinBsinC，即13．【答案】?【解析】【解答】∵sinα=?2cosα，∴sinαcosα=tanα=?2，∴tan(14．【答案】2【解析】【解答】由題意知4個數據的極差為a4-a1，中位數a2+a32，∴a4-a1=2×a2+a32，∴a4=a1+a2+a3，∴a1+a15．【答案】π6；【解析】【解答】∵a→·b→=a→·b→cosθ，|a→×b→|=|a→||b→|sinθ，∴a→·b→cosθ=k|a→||b→|sinθ即tanθ=1k，又k=3，∴tan16．【答案】3【解析】【解答】∵AD，AB，AA1三條棱與水平面所成角均相等，∴水平面與平面A1BD平行，

又水平面恰好經過BB1的中點，∴水平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面為過BB1，A1B1，A1D1，DC，BC的中點的正六邊形，其邊長為22，面積為6×3417．【答案】（1）解：設z=a?2i，a∈由a2+(（2）解：由（1）得z=?1?2i則|z所以m?1=0，m=1.【解析】【分析】(1)根據已知條件設z=a?2i，a∈R，且a<0，根據模長公式求出a，得到z；

18．【答案】（1）解：BE=因為BC=3所以AD=AB所以BF=因為BE=2（2）解：因為|AB所以|AB即AB2+AC所以AB⊥AC又AD·BC=(23則AB2=AC2=1所以△ABC的面積為12【解析】【分析】(1)根據向量的線性運算和向量共線定理求解判斷；

(2)利用向量的模長公式和向量數量積的運算求解.19．【答案】（1）解：設A校這300名學生成績的75%分位數為x，

∵10×0.005+0.015+0.02=0.4<0.75，10×0.005+0.015+0.02+0.04=0.8>0.75，∴x∈80，90，∴10×0.005+0.015+0.02++（2）解：μ1μ2則μ1又A校與B校抽取的學生人數比值為3：所以A校抽取的學生人數占總數的37，B校抽取的學生人數占總數的4故A，B兩個學校抽取的700名學生成績的平均值為μ0故μ0【解析】【分析】（1）根據百分位數定義求解；

（2）根據頻率分布直方圖求出平均值μ1、μ2、μ0，比較μ0和μ120．【答案】（1）解：設f(x)因為A(?1所以T=4×(所以x0=?1所以AB=(1因為AB⊥AC，所以因為M>0，所以M=3所以f(將點B(13，3所以13π+因為|φ|<所以f(（2）解：將f(x)可得y=3再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的12，縱坐標不變，得到g由x∈[0，所以?1所以?3所以g(x)在[【解析】【分析】(1)由題意結合圖象可得T=4×(13+16)=2，求出ω和x0，再由AB⊥AC求出M，將點B(13，32)代入21．【答案】（1）解：因為absin所以ab2+a所以cosA=又0<A<π，所以A=（2）解：由4a+7b=27即23又因為B+C=2π3整理得372sin因為C∈(0，2πsinC=【解析】【分析】(1)利用正弦定理角化邊得到b2+c2?a2=bc，再結合余弦定理求A；

22．【答案】（1）證明：設AA1，BB所以M?ABC為正三棱錐，即MA=MB=MC，設BC的中點為G，連接AG，MG，設MG∩B1所以MG⊥BC，又MG∩AG=G，MG?平面MAG，AG?平面所以BC⊥平面MAG因為AA1?平面MAG（2）解：連接A1H，設因為AA1//平面α，AA1?平面MAG，平面MAG因為BC//B1C1，B1C1?平面α，BC?平面α所以平面α⊥平面MAG