第五章不可壓縮流體的二維流動

一、主要內(nèi)容

1、有旋流動和無旋流動、速度環(huán)量和旋渦強度、速度勢和流函

數(shù)。

2、基本的平面有勢流動，有勢流動的疊加。

3、有勢流動應用舉例。

4、邊界層的概念。

5、繞流物體的阻力。

二、基本要求

本章主要討論理想不可壓縮流體的二維有勢流動以及二維黏性

流體繞物體流動的基本概念，因此，要學生了解有旋流動和無旋流

動的定義，理解速度環(huán)量和旋渦強度的概念，掌握速度勢函數(shù)、流

函數(shù)及兩者關(guān)系，掌握幾種基本的平面有勢流動和有勢流動的疊加

原理及其應用，掌握邊界層概念及其特征；結(jié)合實驗了解黏性流體

繞流物體時的阻力及減小阻力措施。

三、重點和難點

重點：速度環(huán)量和旋渦強度的概念，速度勢函數(shù)、流函數(shù)

難點：有勢流動的疊加

四、本章教學內(nèi)容的深化和拓寬

深化：理想流體的無旋運動的推廣，實際流體有旋運動的斯托克氏

定理在實際工程中的應用。

拓寬：平面有勢流動的勢函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系，平行流繞圓柱體有

環(huán)量的流動。

五、本章教學方式（手段）及教學過程中應注意的問題

教學方式：講授——提問——講授——習題課——實驗

注意問題：1）概念、原理、計算方法的理解、掌握。注意實際流體

的有旋流動和理想流體勢流的應用場合，以及解題步驟與方法；注

意有渦流與勢流。

2）注意復習高等數(shù)學的導數(shù)、微分與曲線積分等基本方法

六、本章的主要參考書目

《工程流體力學》（管楚定北京電力專科學校）

《工程流體力學》（上海電力學院成教院）

《工程流體力學》（毛羽沖江西電力專科學校）

七、本章教學方式（手段）及教學過程中應注意的問題

教學方式：講授—提問—講授—習題—實驗

注意問題：有勢流動的疊加、附面層與繞流阻力。

八、本章的思考題和習題等

思考題：5-1、5-2、5-3、545-5、4-5、5-7

習題：5-1、5-2、5-3、5-5、5-8、5-9、5-10、5-13、

2

授課序號：十九

一、包含教材章節(jié)

§5-1有旋流動和無旋流動50分鐘

§5-2速度環(huán)量和漩渦強度50分鐘

二、本單元教學內(nèi)容（具體到各知識點）

§5-1有旋流動和無旋流動50分鐘

1）首先說明流體的運動形式組成，而后介紹有旋和無旋的定義。

（15分鐘）

2）講述旋轉(zhuǎn)角速度的簡單推導過程，有旋無旋的判斷方法。

（15分鐘）

3）判斷有旋、無旋的例題講述。（30分鐘）

§5-2速度環(huán)量和漩渦強度50分鐘

對于有旋運動，只講述描繪其性質(zhì)的速度環(huán)量、漩渦強度、渦量。

三、本單元的教學方式（手段）

教學方式：講授

四、本單元師生活動設計

講授提問——學生思考——講授

五、本單元的講課提綱、板書設計（電子教案）

電子教案

六、本單元的作業(yè)布置

思考題:5-1、5-2、、

習題:5-1、5-2、

3

授課序號：二十

一、包含教材章節(jié)

§5-3速度勢和流函數(shù)50分鐘

§5-4基本的平面有勢流動50分鐘

二、本單元教學內(nèi)容（具體到各知識點）

§5-3速度勢和流函數(shù)50分鐘

1）勢流函數(shù)的性質(zhì)

2）流函數(shù)的性質(zhì)

3）勢函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系

4）流網(wǎng)

§5-4基本的平面有勢流動50分鐘

1）均勻直線流動

2）平面點源和點匯

3）點渦

三、本單元的教學方式（手段）

教學方式：講授

四、本單元師生活動設計

講授提問——學生思考——講授

五、本單元的講課提綱、板書設計（電子教案）

電子教案

六、本單元的作業(yè)布置

思考題：5-3、5-4、

習題：5-3、5-4、5-5

七、課后總結(jié)

4

授課序號：二寸

一、包含教材章節(jié)

§5-5有勢流動的疊加75分鐘

§5-6應用舉例25分鐘

二、本單元教學內(nèi)容（具體到各知識點）

§5-5有勢流動的疊加75分鐘

1）勢流疊加原理

2）螺旋流

3）偶極流

4）繞圓柱體無環(huán)量的流動

§5-6應用舉例25分鐘

1）繞圓柱體無環(huán)量的流動的例題

2）三孔圓柱體測速儀的例題

三、本單元的教學方式（手段）

教學方式：講授

四、本單元師生活動設計

講授提問——學生思考——講授

五、本單元的講課提綱、板書設計（電子教案）

電子教案

六、本單元的作業(yè)布置

思考題：5-5

習題：5-8、5-9

七、課后總結(jié)

5

授課序號：二十二

一、包含教材章節(jié)

§5-7附面層的概念50分鐘

§5-8繞流阻力50分鐘

二、本單元教學內(nèi)容（具體到各知識點）

§5-7附面層的概念50分鐘

1）附面層的定義和基本特性

2）邊界層分離

3）卡門渦街

§5-8繞流阻力50分鐘

1）阻力的定義

2）繞流阻力的計算方法

三、本單元的教學方式（手段）

教學方式：講授

四、本單元師生活動設計

講授提問—學生思考——講授

五、本單元的講課提綱、板書設計（電子教案）

電子教案

六、本單元的作業(yè)布置

思考題：5-6、5-7

習題：5-13

七、課后總結(jié)

9

第五章不可壓縮流體的二維流動

引言：在前面幾章主要討論了理想流體和黏性流體一維流動，為解決工程

實際中存在的一維流動問題打下了良好的基礎。本章討論理想不可壓流體的

二維有勢流動以及二維黏性流體繞物體流動的基本概念。

第一節(jié)有旋流動和無旋流動

剛體的運動可分解為移動和轉(zhuǎn)動兩種運動形式，

流體具有移動和轉(zhuǎn)動兩種運動形式。另外，由于流體具有流動性，它還具有

與剛體不同的另外一種運動形式，即變形運動(deformationmotion)。本節(jié)只

介紹流體旋轉(zhuǎn)運動即有旋流動(rotation-alflow)和無旋流動(irrotational

flow)o

一、有旋流動和無旋流動的定義

流體的流動是有旋還是無旋，是由流體微團本身是否旋轉(zhuǎn)來決定的。流體在

流動中，如果流場中有若干處流體微團具有繞通過其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運動，

則稱為有旋流動，如果在整個流場中各處的流體微團均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)

運動，則稱為無旋流動。

強調(diào)“判斷流體流動是有旋流動還是無旋流動，僅僅由流體微團本身是否

繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運動來決定，而與流體微團的運動軌跡無關(guān)。”

舉例雖然流體微團運動軌跡是圓形，但由于微團本身不旋轉(zhuǎn)，故它是無旋

流動；在圖5—1(b)中，雖然流體微團運動軌跡是直線，但微團繞自身軸線

旋轉(zhuǎn)，故它是有旋流動。在日常生活中也有類似的例子，例如兒童玩的活動

轉(zhuǎn)椅，當轉(zhuǎn)輪繞水平軸旋轉(zhuǎn)時，每個兒童坐的椅子都繞水平軸作圓周運動，

但是每個兒童始終是頭向上，臉朝著一個方向，即兒童對地來說沒有旋轉(zhuǎn)。

二、旋轉(zhuǎn)角速度(rotationalan叫l(wèi)arvelocity)

為了簡化討論，先分析流體微團的平面運動。如圖5—2所示有一矩形流體

微團ABCD在XOY平面內(nèi)，經(jīng)叢時間后沿一條流線運動到另一位置，微團

變形成A,B,C,Do

流體微團在Z周的旋轉(zhuǎn)角速度定義為流體微團在XOY平面上的旋轉(zhuǎn)角速度

Wc=V(3",aQ="yl

的平均值

同理可求得流體微團旋轉(zhuǎn)角速度的三個分量為

1|9St-j、

一荒！，

I；QU9W?

物=不.-----4

1ISV

3八——------9U?

2?!az3y'

/;■

3=va：i可十磅

無旋的定義

?x=g尸叫=。

■—空絲_強亞=叱

一點’6Z―8''az”

第二節(jié)速度環(huán)量和旋渦強度

一、速度環(huán)量(velocitycirculation)

為了進一步了解流場的運動性質(zhì)，引人流體力學中重要的基本概念之-----

速度環(huán)量。

假定在某一瞬時流場中每一點的速度是己知的，設在流場中任取一一封

閉曲線K,如圖5—4所示。速度環(huán)量「定義為速度沿封閉曲線K的線積分，

即

M>4注HR*融昌3t也壞R

速度環(huán)量是一個標量，但具有正負號。

速度環(huán)量的正負號與速度方向和積分時所取的繞行方向有關(guān)。后者一般規(guī)定

為：當沿封閉曲線K反時針方向繞行時，取為正號。

二、旋渦強度(strengthOfvortex)

沿封閉曲線K的速度環(huán)量與有旋流動之間有一個重要的關(guān)系。

如圖5—5所示，在平面XOY上取一微元矩形封閉曲線，其面積dA=dxdy,

沿封閉曲線反時針方向ABCDA的速度環(huán)量推導

r.2口叫也1

得

于是得到速度環(huán)量與旋轉(zhuǎn)角速度之間關(guān)系的斯托克斯定理(stokes,law)：沿

封閉曲線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有的旋轉(zhuǎn)角速度的面積積分的二

倍，稱之為旋渦強度I,即

dZ=

i-

由式(5—7)可導出另一個表示有旋流動的量，稱為渦量，以。表示之。

它定義為單位面積上的速度環(huán)量，是一個矢量(vector)。

由此可見，在流體流動中，如果渦量的三個分量中有一個不等于零，即

為有旋流動。如果在一個流動區(qū)域內(nèi)各處的渦量或它的分量都等于零，也就

是沿任何封閉曲線的速度環(huán)量都等于零，則在這區(qū)域內(nèi)的流動一定是無旋

流動。

(例5—2)一個以角速度按反時針方向作像剛體一樣旋轉(zhuǎn)的流動，如圖5

—6所示。試求在這流場中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并證明它是有旋流動。

上例題正是斯托克斯定理的一個例證。

以上結(jié)論可推廣適用于圓內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)。

(例5—3)一個流體繞0點作同心圓的平面流動，流場中各點的圓周速度

的大小與該點半徑成反比，即V=C,其中C為常數(shù)，如圖5—7所示。試

r

求在流場中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并分析它的流動情況。

上式說明，繞任何一個圓周的流場中，速度環(huán)量都不等于零，并保持一個

常數(shù)，所以是有旋流動。但凡是繞不包括網(wǎng)心在內(nèi)的任何圓周的速度環(huán)量必

等于零，故在圓心0點處必有旋渦存在，圓心是一個孤立渦點，稱為奇點。

第三節(jié)速度勢和流函數(shù)

速度勢函數(shù)和流函數(shù)的引入對于流體力學的研究，特別是無旋流動和不

可壓流體的平面流動起著相當大的作用。例如，我們知道流體力學研究中的

一個重要問題，就是求出流場中的速度分布，它有二個變量。對于無旋流動，

可以引入一個參數(shù)即速度勢函數(shù)，我們可以把求解三個未知量u,V,W的

問題，變?yōu)榍蠼庖粋€勢函數(shù)問題，使問題大大簡化。

一、速度勢函數(shù)(velocitypoientialfunction)

1.速度勢函數(shù)引入

在無旋流動中每一個流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度都等于零，也就是說，在無旋流

動中每一個流體微團都要滿足式(5—4)的條件，

yvNANcM合。?述c

日n----axZAx~，Ta-y

即

根據(jù)數(shù)學分析可知，式(5—4)是udx+vdy-wdz成為某一函數(shù)(D(x,y,z)

的全微分的充分和必要條件。而函數(shù)①的全微分可寫成

T型沖

—器3-篝

函數(shù)①稱為速度勢函數(shù)或位函數(shù)，簡稱為速度勢.它與電位的概念相類似,

電位的梯度是電場的強度，而速度勢的梯度則是流場的速度。

在定常流動中速度勢與時間無關(guān)，僅是坐標的函數(shù)。即中=中(x,y,z)當流體

作無旋流動時，總有速度勢存在，所以無旋流動也稱為有勢流動，或簡稱為

勢流或位流。

從以上分析可知，不論是可壓縮流體還是不可壓縮流體，也不論是定常

流動還是非定常流動。只要滿足無旋條件，必然有速度勢存在。

2.速度勢函數(shù)的性質(zhì)

⑴不可壓流體的有勢流動中，勢函數(shù)中滿足拉普拉斯方程，勢函數(shù)中是調(diào)

和函數(shù)。

在不可壓流體的有勢流動中，拉普拉斯方程實質(zhì)是連續(xù)方程的一種特殊

形式，這樣把求解無旋流動的問題，就變?yōu)榍蠼鉂M足一定邊界條件下的拉普

拉斯方程的問題。

⑵任意曲線上的速度環(huán)量等于曲線兩端點上速度勢函數(shù)中值之差。而與曲

線的形狀無關(guān)。

根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿任意曲線AB的線積分

H■|(nd.7?vdj4"小4>■卜1P■由一夕?

A：L】

這樣，將求環(huán)量問題，變?yōu)榍笏俣葎莺瘮?shù)值之差的問題。對于任意封閉

曲線，若A點和B點重合，速度勢函數(shù)是單值且連續(xù)的，則流場中沿任一

條封閉曲線的速度環(huán)量等于零

二、流函數(shù)(streamfunction)

1.流函數(shù)引入

對于流體的平面流動，由不可壓縮流體平面流動的連續(xù)性方程(3—29)得

三平河堵靖比蚯線M分方之

如一也=0(j1C

根拱效學分析訓蚓,這日-IS：星式，5-?力史為某曲激的仝鬻夕的充分餐外

筌條件.即

df?一江d，：-%dv--rdk?y<lv151G

3丫砂*?

于是巧u一■T,——

在極唯行中，可寫戌

——1?4/?+3,?56

(5ID

“=+Ia費v?，”產(chǎn)—a非d

若令dW=0或甲=常數(shù)，由式(5—17)可知，在每一條流線上函數(shù)邛都

有各自的常數(shù)值，所以函數(shù)中(x,y)稱為流函數(shù)。流函數(shù)永遠滿足連續(xù)性方

程。

對于不可壓縮的二維流動，無論是有旋流動還是無旋流動，流體有谿性

還是沒有黏性，一定存在流函數(shù)。要注意的是，在三維流動中，一般不存在

流函數(shù)(軸對稱流動除外)。

2.流函數(shù)的性質(zhì)

(1)對于不可壓縮流體的平面流動，流函數(shù)中永遠滿足連續(xù)性方程。

(2)對于不可壓縮流體的平面勢流，流函數(shù)中滿足拉普拉斯方程，流函數(shù)也

是調(diào)和函數(shù)。

因此，在平面不可壓縮流體的有勢流場中的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為求解

一個滿足初始條件和邊界條件的〒的拉普拉斯方程。

(3)平面流動中，通過兩條流線間任一曲線單位厚度的體積流量等于兩條流

線的流函數(shù)之差。這就是流函數(shù)中的物理意義。

如圖5-8所示，在兩流線間任一曲線AB,則通過單位厚度的體積流

量為

由式可知，平面流動中兩條流線間通過的流量等于這兩條流線上的流函數(shù)

之差。

三、①和中的關(guān)系

如果是不可壓縮流體的平面無旋流動，必然同時存在著速度勢和流函數(shù)，比

較式(5—11)和式(5—18),可得到速度勢函數(shù)和流函數(shù)之間存在的如下關(guān)系

式(5—22)是等勢線簇和流線簇互相正交的條件，在平面上可以將等勢線簇

和流線簇構(gòu)成的正交網(wǎng)絡，稱為流網(wǎng)({lOwnet),如圖5—9所示。

(例5—4)有一不可壓流體平面流動的速度為u=4x,v=-4y,判斷流動是

否存在流函數(shù)和速度勢函數(shù)，若存在求出其表達式。

(解)由不可壓縮流體平面流動的連續(xù)性方程

流動滿足連續(xù)性方程，流動是存在的，存在流函數(shù)。

由流函數(shù)的全微分式得：

第四節(jié)基本的平面有勢流動

引言：流體的平面有勢流動是相當復雜的，很多復雜的平面有勢流動可以

由一些簡單的有勢流動疊加而成，介紹幾種基本的平面有勢流動，它包括均

勻直線流動，點源和點匯、點渦等。

一、均勻直線流動(uniformrectilinearflow)

流體作均勻直線流動時，流場中各點速度的大小相等，方向相同，

即U=U。和V=Vo

rs-u丘勺匈色痕to/編

由式(5—11)和式(5—18),得速度勢和流函數(shù)

3=區(qū)仟+管0了

夕=—肛

由于流場中各點的速度都相等，根據(jù)伯努里方程(3—41),得

￡一多=常數(shù)

如果均勻直線流動在水平而上，或流體為氣體，一般可以忽略重力的影響，

于是P=常數(shù)

即流場中壓強處處相等。

二、平面點源和點匯

如果在無限平面上流體不斷從一點沿徑向直線均勻地向各方流出，則這種流

動稱為點源，這個點稱為源點；若流體不斷沿徑向直線均勻地從各方流入一

點，則這種流動稱為點匯，這個點稱為匯點。顯然，這兩種流動的流線都是

從原點0發(fā)出的放射線，即從源點流出和向匯點流入都只有徑向速度

ffi5-11點就和點工的溫售

(<)點集，C)AC

現(xiàn)將極坐標的原點作為源點或匯點，則去q、,是點源或點匯在每秒內(nèi)流出或

流人的流量，稱為點源強度或點匯強度。

對于點源，q、，取正號；對于點匯，qv取負號，于是

等勢線簇是同心圓簇(在圖5—11中用虛線表示)與流線簇成正交。而且除源

點或匯點外，整個平面上都是有勢流動。

三、點渦

設有一旋渦強度為I的無限長直線渦束，該渦束以等角速度三繞自身軸旋

轉(zhuǎn)，并帶動渦束周圍的流體繞其環(huán)流。由于直線渦束為無限長，所以可以認

為與泯束垂直的所有平面上的流動情況都一樣。也就是說，這種繞無限長直

線渦束的流動可以作為平面流動來處理。

F8Z-I3&/R范舌

由渦束所誘導出的環(huán)流的流線是許多同心圓。根據(jù)斯托克斯定理可知，沿任

一同心圓周流線的速度環(huán)量等于渦束的旋渦強度，即

r=2EM=1=常數(shù)

于是3=若，(5?29)

因此渦束外的速度與半徑成反比。若渦束的半徑r°一()，則成為一條渦線，

這樣的流動稱為點渦。但當r。-*0時，v-8,所以渦點是一個奇點。

點渦的速度勢和流函數(shù)分別為

c工

“=-Inr

當「乂)時，環(huán)流為反時針方向，如圖5—13所示；當「《)時，環(huán)流為順忖

針方向。

點渦的等勢線簇是經(jīng)過渦點的放射線，而流線簇是同心圓，而且除渦點外，

整個平面上都是有勢流動。

r

設渦束的半徑為1,渦束邊緣上的速度為％=——，壓強為的「->8：時的

2兀r°

速度顯然為零，而壓強為P-。代人伯努里方程，得渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強分

布為

12「P1

pg一熱=E卬。

在渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強隨著半徑的減小而降低，所以渦束外區(qū)域內(nèi)從渦束邊

緣到無窮遠處的壓強降是一個常數(shù)。

又由式(5—32)式可知，在r->0處，壓強P-8,顯然這是不可能的。所以

在渦束內(nèi)確實存在如同剛體一樣以等角速度旋轉(zhuǎn)的旋渦區(qū)域，稱為渦核區(qū)。

由式(5—33)可得渦核的半徑

由于渦核內(nèi)是有旋流動，故流體的壓強可以根據(jù)歐拉運動微分方程求得。

可見，渦核內(nèi)、外的壓強降相等，都等于用渦核邊緣速度計算的動壓頭。

渦核內(nèi)、外的速度分布和壓強分布如圖5—14所示.

第五節(jié)有勢流動的疊加

一、勢流疊加原理

只有對一些簡單的有勢流動，才能求出它們流函數(shù),和勢函數(shù)①，但當

流動較復雜時，根據(jù)流動直接求解中和中往往十分困難。我們可以將一些簡

單有勢流動進行疊加，得到較復雜的流動，這樣一來，為求解流動復雜的流

場提供了一個有力的工具。

前面我們知道，速度勢函數(shù)和流函數(shù)都滿足拉普拉斯方程。凡是滿足拉

普拉斯方程的函數(shù)，在數(shù)學分析上都稱為調(diào)和函數(shù)，所以速度勢函數(shù)和流函

數(shù)都是調(diào)和函數(shù)。根據(jù)調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)，即若干個調(diào)和函數(shù)的線性組合仍然

是調(diào)和函數(shù)，可將若干個速度勢函數(shù)(或流函數(shù))線性組合成一個代表某一有

勢流動的速度勢函數(shù)(或流函數(shù))。

現(xiàn)將若干個速度勢函數(shù)疊加，得

中=的+供+%―…

顯然，疊加后新的速度勢函數(shù)中也滿足拉普拉斯方程。同樣，疊加后新的

流函數(shù)中也滿足拉普拉斯方程。

幾個簡單的基本平面有勢流動疊加成所需要的復雜有勢流動。將新的速度

勢函數(shù)中分別對x、y和z取偏導數(shù)，就等于新的有勢流動的速度分別在X、

y和Z軸方向上的分量：

由此可見，疊加后所得的復:雜有勢流動的速度為疊加前原來的有勢流動速

度的矢量和。

二、螺旋流

螺旋流是點渦和點匯的疊加。將式(5—30)和式(5—26)相加以及將式(5—31)

和式(5—27)相加即得新的有勢流動的速度勢和流函數(shù)

(rdqrlnr)<5-4L)

Snr十的防C542)

顯然，等勢線簇和流線簇是兩組互相正交的對數(shù)螺旋線簇(圖5-15),稱為

螺旋流。流體從四周向中心流動。旋風燃燒室和旋風除塵器等設備中的旋轉(zhuǎn)

氣流即可看成是這種螺旋流。

圖5-15螺旋流的流譜

如向速M(7?uR**nLiAlveiocky)'"一；暮(575)

的向速度"”6宿1vModiy)”,?7一落(2府1

-黑r

代人伯曼里方程<3U1),而風場中的壓強分布

p「所■■意r+QI,青_也！「如

三、偶極流

將流量各為+Qv的點源和一Qv的點匯相距2a距離放在X軸上，疊加后的

流動圖形如圖5—16所示，它的速度勢和流函數(shù)各為

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由流線方程(5—50)中二常數(shù)，得。二常數(shù)，所以流線是經(jīng)過源點A和匯

點B的圓簇，而且從源點流出的流量全部流入?yún)R點。

現(xiàn)在分析一種在點源和點匯無限接近的同時，流量無限增大(即2a-0,

Qv-8),以至使2aQv保持一個有限常數(shù)值M的極限情況。在這種極限情

況下的流動稱為偶極流，M稱為偶極矩或偶極強度。偶極流是有方向的，

一般規(guī)定由點源指向點匯的方向為正向。如圖5-17所示，偶極流指向X

軸方向，這時的偶極矩M取正值。

偶極流的速度勢可由式(5—49)根據(jù)上述極限條件求得，將式(5—49)改

寫成

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流函數(shù)

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四、繞圓柱體無環(huán)景流動

將均勻直線流與偶極流疊加，可以得到繞圓柱體無環(huán)量流動。設有一在無窮

遠處速度為V-、、平行于X軸、由左向右流的均勻直線流，與在坐標原點0

上偶極矩為一M、方向與X軸相反的偶極流疊加，如圖5—19所示。

組合流動的流函數(shù)為

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洸泛上.桎

遣取不同的泮數(shù)值5W件到如博小7折

示的能號四形,，龍華一心■。的所淘零流教

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出新忙勺,這小半制機會儂動拈焚函放為

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它的速度勢

中—丫34+祟-i^-Vu.rj］十，江；?

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流場中任一點的速度分量為

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A點為前駐點，B點為后駐點。

用極坐標表示的速度分量為

(5-60)

沿包圍圓柱體圓周的速度環(huán)量為

r=打，也+倒!sindd6=0

所以，均勻直線流繞圓柱體的平面流動是沒有速度環(huán)量的。因此，一個

速度為V”的均勻直線流繞半徑為ro的圓柱體無環(huán)量的平面流動，可以用

2

由這個均勻直線流與偶極矩一M二-2nVmr0的偶極流疊加而成的平面組

合流動來代替。

當r=r<>,在圓柱面上

vr-Q

.>(5-61)

0夕=一2八5由。)

說明：

Q流體在圓柱面上各點的速度都是沿切線方向的，也就是說理想流體繞圓柱

體無環(huán)量的平面流動不會與圓柱面發(fā)生分離。

6在圓柱面上的速度是按照正弦曲線規(guī)律分布的，在0=0。和〃=180。處，

V?=0；在。=土90。處，Vo達到最大值V?=2k,與圓柱體的半徑無關(guān)，而

等于無窮遠處速度的兩倍。

由伯努里方程(3—41)可求得不可壓縮理想流體的圓柱面上壓強分布的

公式，即

式中—.無勢遠處流體的.7強,

路式A-6n代人上式.筆

：3尸.?(14%in^)<36,

在工程上常用無量綱的壓強系數(shù)來表示流體的壓強分布，它定義為

'w，

將我052)代人之人。褥

Cf=1—?l5)n'^=1—Isin*CiO*-)=1—oin'G(5?!1)

注意：Oi在計算時，0角是從前駐點A(。二0。)起沿順時針方向增加。在前

駐點A（0=0。）上，速度等于零，壓強達到最大值，Cp=l；垂直于來流方

向的最大截面（9=90°）上，速度增加到最大值，壓強降到最小值，Cp=-3；

在后駐點B（0=180。）上，速度又降到零，壓強又回升到最大值，Cp=lo

。2這種流動在圓柱面上的壓強分布上下、前后都是對稱的，因此流體作用在

圓柱面上的壓強合力等于零。由于流體作用在圓柱面上的壓強合力可分為與

來流方向垂直的升力和與來流方向平行的阻力。因此，無黏性的理想流體繞

圓柱體無環(huán)量流動時，圓柱體上既不承受升力，也不承受阻力。不承受升力

與實際情況是相符合的，但是不承受阻力則與實際情況大不相符，這就是著

名的達朗伯（J.R.d,Alembert）疑題。

d事實上，有黏性的實際流體繞圓柱體無環(huán)量流動時，在圓柱面上流動方向

的壓強分布是不對稱的。這是由于實際流體存在著谿性，當流體繞流圓柱體

時.，從前駐點開始在圓柱面上逐漸形成一層邊界層（在第七節(jié)中講述）。流體

在圓柱體的前半部的流動是降壓增速，邊界層處于較穩(wěn)定狀態(tài)。到圓柱體的

后半部變?yōu)樯龎簻p速流動，容易發(fā)生邊界層分離，在圓柱體后面形成尾渦區(qū)，

壓強下降。破壞了圓柱體面上前后壓強分布的對稱性，使圓柱體前后產(chǎn)生壓

強差，形成壓差阻力。

五、繞圓柱體有環(huán)量流動

補充內(nèi)容。

將均勻直線流、偶極流與點渦會加，可以得到繞圓柱體有環(huán)量流動。

第六節(jié)應用舉例

舉兩個不可壓縮流體平面有勢流動的應用實例，以加深對此內(nèi)容的理解C

例5-5為測量在平面流場中任一點處的速度大小和方向，可以采用三孔圓

柱形測速管來測量，這種測速管是在圓柱體的同一橫截面的表面上開有三個

測壓孔，各自用傳壓管將壓強引至測壓計上，測得三孔的靜壓強，即可測量

流體的速度。由于這種測速管是在直徑細小的圓柱截面上開三個測壓孔，

故俗稱三孔探針，如圖5—22所示，三個孔之間夾角Q=45。，測量流體速

度時，是將測速管垂直放置，這樣可看成是理想流體繞圓柱體無環(huán)量的流動，

測得壓強Pl、P2和P3,并知道來流方向與X軸的夾角3,試求理想不兀壓

流體來流速度Voo的表達式和壓強Poo的表達式。

［般】對一理恁流環(huán)球國住體無訐*笆平囪流動，艮-體衣面I?.在一發(fā)的出竭出法式

藤-￡2）的

.?—*>.一■^7，c.（1-"；W

二個安壓扎r制有加丹機分別為

"九1:<l-4sin-/7j(b)

w

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來就速序

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東流的慶強由式（b）用

P—P丁/爐也。一Ssin甲）

"T2離（L4sin*

第七節(jié)邊界層的概念

一、邊界層的基本概念

邊界層（boundarylayer）的概念是1904年德國著名的力學家普朗特（Prand由提

出的。指出對于水和空氣等黏度很小的流體，在大雷諾數(shù)下繞物體流動時，

黏性對流動的影響僅限于緊貼物體壁面的薄層中，而在這一薄層外黏性影響

很小，完全可以忽略不計，這一薄層稱為邊界層。

K5-21機翼型上的邊界層

圖5-24所示為大雷諾數(shù)下黏性流體繞流翼型的二維流動，根據(jù)普朗特

邊界層理論，把大雷諾數(shù)下均勻繞流物體表面的流場劃分為三個區(qū)域，即邊

界層、外部勢流和尾渦區(qū)。

總結(jié)：O1在邊界層和尾渦區(qū)內(nèi)，黏性力作用顯著，黏性力和慣性力有相同

的數(shù)量級，屬于黏性流體的布?旋流動區(qū)；

02在邊界層和尾洞區(qū)外，流體的運動速度幾乎相同，速度梯度很小，邊界

層外部的流動不受固體壁面的影響，即使黏度較大的流體，黏性力也很小，

主要是慣性力。所以可將這個區(qū)域看作是理想流體勢流區(qū)，可以利用前面介

紹的勢流理論和理想流體伯努里方程來研究流場的速度分布。

。3實際上邊界層內(nèi)、外區(qū)域并沒有明顯的分界面，一般將壁面流速為零與

流速達到來流速度的99%處之間的距離定義為邊界層厚度。邊界層厚度沿

著流體流動方向逐漸增厚，這是由于邊界層中流體質(zhì)點受到摩擦阻力的作

用，沿著流體流動方向速度逐漸減小，因此，只有離壁面逐漸遠些，也就是

邊界層厚度逐漸大些才能達到來流速度。

04根據(jù)實驗結(jié)果可知，同管流一樣，邊界層內(nèi)也存在著層流和紊流兩種流

動狀態(tài)。若全部邊界層內(nèi)部都是層流，稱為層流邊界層

(laminarboundarylayer)；若在邊界層起始部分內(nèi)是層流，而在其余部分內(nèi)是

素流，稱為混合邊界層(mixedboundarylayer),如圖5—25所示，在層流變?yōu)?/p>

紊流之間有一過渡［X(transitionzone)。在紊流邊界層(turbulentboundaryayer)

內(nèi)緊靠壁面處也有一層極薄的層流底層。

05判別邊界層的層流和紊流的準則數(shù)仍為雷諾數(shù)，但雷諾數(shù)中的特征尺寸

用離前緣點的距離x表示之，特征速度取邊界層外邊界上的速度V8。，即

VX

(5-65)

對平板的邊界層，層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯呐R界雷諾數(shù)為Re、=5X105、

3X103臨界雷諾數(shù)的大小與物體壁面的粗糙度、層外流體的紊流度等因素

有關(guān)。增加壁面粗糙度或?qū)油饬黧w的紊流度都會降低臨界雷諾數(shù)的數(shù)值，使

層流邊界層提前轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鬟吔鐚印?/p>

根據(jù)理論計算，平板上離前緣點J處的邊界層厚度

對層流邊界層

對于紊流邊界層

與管流一樣，在同一Rex下紊流邊界層中的阻力要比層流邊界層中的

阻力大，這是因為在層流中摩擦阻力只是由于不同流層之間發(fā)生相對運動引

起的；而在紊流中還由于流體質(zhì)點有劇烈的橫向摻混，從而產(chǎn)生更大的阻力。

根據(jù)理論計算，長度為1的平板層流和紊流邊界層內(nèi)的總摩擦阻力分別為：

層流邊界層內(nèi)

紊流邊界層內(nèi)

二、邊界層的基本特征

⑴與物體的特征長度相比，邊界層的厚度很小，8?Xo

(2)邊界層內(nèi)沿厚度方向，存在很大的速度梯度。

(3)邊界層厚度沿流為流動方向是增加的，由于邊界層內(nèi)流體質(zhì)點受到黏性

力的作用，流動速度降低，所以要達到外部勢流速度，邊界層厚度必然逐漸

增加。

(4)由于邊界層很薄，可以近似認為邊界層中各截面上的壓強等于同一截面

上邊界層外邊界上的壓強值。

(5)在邊界層內(nèi)，黏性力與慣性力同一數(shù)量級。

(6)邊界層內(nèi)的流態(tài)，也有層流和紊流兩種流態(tài)。

三、邊界層分離和卡門渦街(boundarylayersepa「atesandkarmanvortexstreet)

1、邊界層分離現(xiàn)象

如果黏性流體繞流物體表面所形成的是減速的邊界層，則在一定條件

下，不論邊界層是層流還是紊流，邊界層都可能在物體下游劇烈變厚，形成

旋渦，使邊界層脫離物體表面，產(chǎn)生很大的能量損失。這種邊界層分離的現(xiàn)

象主要發(fā)生在圓柱體和球體這樣的鈍頭體上以及擴散角相當大的擴散形通

道中。

2、邊界層分離原因

現(xiàn)以繞流圓柱體(如圖5-26所示)為例來解釋邊界層分離的現(xiàn)象。當黏

性流體繞圓柱體流動時，在圓柱體前駐點A處，流速為零，該處尚未形成

邊界層，即邊界層厚度為零。隨著流體沿圓柱體表面上下兩側(cè)繞流，邊界層

厚度逐漸增大。層外的流體可近似地作為理想流體，理想流體繞流圓杵體時，

在圓柱體前半部速度逐漸增加，壓強逐漸減小，是加速流。當流到圓柱體

最高點月時速度最大，壓強最小。到圓柱體的后半部速度逐漸減小，壓強

逐漸增加，形成減速流。

由于邊界層內(nèi)各截面上的壓強近似地等于同一截面上邊界層外邊界上的流

體壓強，所以,在圓柱體前半部邊界層內(nèi)的流動是降壓加速，而在圓柱體后

半部邊界層內(nèi)的流動是升壓減速。因此，在邊界層內(nèi)的流體質(zhì)點除了受到摩

擦阻力的作用外，還受到流動方向上壓強差的作用。在圓柱體前半部邊界層

內(nèi)的流體質(zhì)點受到摩擦阻滯逐漸減速，不斷消耗動能。

但由于壓強沿流動方向逐漸降低，使流體質(zhì)點得到部分增速，也就是說流體

的部分壓強能轉(zhuǎn)變?yōu)閯幽埽瑥亩窒徊糠忠蚰Σ磷铚饔枚牡膭幽埽?/p>

以維持流體在邊界層內(nèi)繼續(xù)向前流動。但當流體繞過圓柱體最高點B流到

后半部時，壓強增加，速度減小，更促使邊界層內(nèi)流體質(zhì)點的減速，從而使

動能消耗更大。

當達到S點時，近壁處流體質(zhì)點的動能已被消耗完盡，流體質(zhì)點不能垂繼

續(xù)向前運動，于是一部分流體質(zhì)點在S點停滯下來，過S點以后，壓強繼

續(xù)增加，在壓強差的作用下，除了壁上的流體質(zhì)點速度仍等于零外，