第22頁（共22頁）專題02勾股定理一、選擇題（共10小題）1．（2025春?藤縣期中）以下列各組數為邊長的三角形中，能構成直角三角形的是A．3，4，6 B．12，18，22 C．，， D．8，15，172．（2025春?道里區校級期中）以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其中兩個正方形的面積如圖所示，則正方形的邊長為A． B．6 C． D．3．（2025春?官渡區校級期中）下列各組數中是勾股數的是A．3，3，5 B．4，6，8 C．7，24，25 D．6，12，134．（2025春?官渡區校級期中）下列條件不能判定△是直角三角形的是A． B． C． D．5．（2025春?滑縣期中）如圖1為圓柱形筆筒，圖2為其模型，已知模型底面半徑為，高為（壁厚不計），在筆不漏出筆筒的前提下，能放入的鉛筆最長為A． B． C． D．6．（2024秋?臨漳縣期末）嘉嘉畫了一個如圖所示的四邊形，若，，連接，，則的長為A． B． C． D．7．（2024秋?橋西區期末）如圖，若直角三角形的兩條直角邊長分別為6，8，則圖中陰影部分（正方形）的面積為A．10 B．24 C．48 D．1008．（2025春?海淀區校級期中）如圖，面積為5的正方形的頂點在數軸上，且表示的數為1，若以點為圓心，長為半徑畫弧，與數軸正半軸交于點為，則點所表示的數為A． B． C． D．9．（2025春?莒南縣期中）如圖1是一幅“青朱出入圖”，運用“割補術”，通過三個正方形之間的面積轉化證明勾股定理．如圖2，連結，，，記四邊形與正方形的面積分別為，若，則的值為A． B． C． D．10．（2025春?齊河縣期中）《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有池，方一文，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問葭長幾何．大意是：如圖，水池底面的寬丈丈等于10尺），蘆葦生長在的中點處，高出水面的部分尺，將蘆葦向池岸牽引，尖端達到岸邊時恰好與水面平齊，即，蘆葦的長度是尺．A．10 B．12 C．13 D．15二、填空題（共10小題）11．（2025春?金安區校級期中）如圖，一架長的梯子斜靠在一面豎直的墻上，這時，梯子底端距墻底端距離，如果梯子的頂端沿墻下滑，則梯子底端將向外移．12．（2025春?東莞市期中）如圖，所有涂色四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面積分別為3，9，6，則正方形的面積為．13．（2025春?銅梁區校級期中）如圖，一個長方體形狀的飲料盒的底面長為，寬為，高為，在它的一角處開一個插吸管的小孔，將一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的長度為，則此吸管的總長度為．14．（2025春?召陵區期中）如圖，在的網格上標出了和，則．15．（2025春?中山區期中）如圖，一根垂直于地面的木桿在離地處折斷，木桿頂端落在離木桿底端處．則木桿折斷之前高．16．（2025春?靜海區期中）若直角三角形中，有兩邊長是3和4，則第三邊長為．17．（2025春?天河區校級期中）如圖，分別以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，記三個正方形的面積分別為，，，若，，則．18．（2025春?珠海校級期中）已知是△的邊上的高，若，，，則的長為．19．（2025春?道外區期中）如圖，某公園有這樣兩棵樹，一棵樹高，另一棵樹高，兩樹相距，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了米．20．（2024秋?名山區校級期中）如圖，一個長方體盒子緊貼地面，一只螞蟻由出發，在盒子表面上爬到點，已知，，，這只螞蟻爬行的最短路程是．三、解答題（共7小題）21．（2025春?廣信區期中）如圖，在中，，，．（1）求的長；（2）若點為線段上一點，連接，且，求的長．22．（2025春?松滋市期中）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1．（1）求的周長；（2）求證：；（3）若點為直線上任意一點，則線段的最小值為．23．（2025春?富錦市期中）一艘輪船以16海里小時的速度離開港口向東南方向航行，另一艘輪船同時以12海里小時的速度離開港口向西南方向航行，經過1.5小時后，兩艘輪船分別到達、兩處．求此時、之間的距離．24．（2025春?巴彥縣期中）學習了“勾股定理”之后，為了測量風箏的垂直高度，小軍進行了如下操作：①測得水平距離的長為15米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為17米；③牽線放風箏的小軍的手離地面的高為1.6米．（1）如圖1，求風箏的垂直高度為多少米；（2）如圖2，如果小軍想在長度不變的情況下，讓風箏沿方向再上升12米到點，則他應該再向外放線多少米？25．（2025春?天門期中）如圖，是的高，已知，，，判斷的形狀，并說明理由．26．（2025春?潛山市期中）如圖，在△中，，，．（1）試判斷與是否垂直？并通過計算進行說明；（2）若△的面積為3，求的長．27．（2025春?召陵區期中）如圖，在邊長為的正方形中，有四個斜邊為的全等直角三角形，已知其直角邊長為，，利用這個圖試說明勾股定理．

一、選擇題（共10小題）題號12345678910答案DACACBDCDC一、選擇題（共10小題）1．【答案】【分析】三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形．先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可．【解答】解：、，故不是直角三角形，不符合題意；、，故不是直角三角形，不符合題意；、，故不是直角三角形，不符合題意；、，故是直角三角形，符合題意．故選：．2．【答案】【分析】根據勾股定理求出正方形的邊長的平方，根據算術平方根求出正方形的邊長．【解答】解：由勾股定理得：，則正方形的邊長為，故選：．3．【答案】【分析】根據勾股數的定義：三個正整數，滿足兩個數的平方和等于第三個數的平方，逐一進行判斷即可．【解答】解：、，不是勾股數，不符合題意；、，不是勾股數，不符合題意；、，是勾股數，符合題意；、，不是勾股數，不符合題意，故選：．4．【答案】【分析】由三角形內角和定理以及勾股定理的逆定理分別進行判斷即可．【解答】解：、，，，，，△不是直角三角形，故選項符合題意；、設，則，，，，△是直角三角形，故選項不符合題意；、，，，△為直角三角形，故選項不符合題意；、，，△是直角三角形，且，故選項不符合題意；故選：．5．【答案】【分析】將圓柱沿母線切開得到一個長方形，該長方形的一邊為筆筒底面圓的直徑，另一邊為筆筒高，對角線的長度就是筆筒內所能龍蝦的最長花莖的長度，然后根據勾股定理求出對角線的長度即可．【解答】解：如圖所示：為圓柱形花器底面圓的直徑，為圓柱形花器高，線段的長度就是筆筒內所能龍蝦的最長花莖的長度，在△中，，，由勾股定理得：．答：需預留花莖最長為．故選：．6．【答案】【分析】在△，△中，根據勾股定理求解即可．【解答】解：在△中，，，，由勾股定理得：，在△中，，，由勾股定理得：，故選：．7．【答案】【分析】根據勾股定理求出的值即可得到答案．【解答】解：直角三角形的兩條直角邊長分別為6，8，，陰影部分是一個正方形，陰影部分的面積為，故選：．8．【答案】【分析】根據正方形的面積公式求得邊的長，即可得到點與原點的距離，進而得到點所表示的數．【解答】解：由正方形面積公式得，點在數軸正半軸上，點到原點的距離為，點所表示的數為．故選：．9．【答案】【分析】過點作于點，根據得到，四邊形是矩形，繼而得到．證明△△得到，結合正方形的性質，得到，設，則，，根據△△得到，繼而得到，，利用圖形面積分割法用表示出，，再求出比值即可．【解答】解：（1）過點作于點，，四邊形是正方形，，四邊形是矩形，，，，四邊形，四邊形，四邊形都是正方形，，，，，在△和△中，，△△，，，，設，則，，，，，，又，△△，，，，四邊形的面積，正方形的面積，故選：．10．【答案】【分析】找到題中的直角三角形，設水深為尺，根據勾股定理解答．【解答】解：由題意可得：尺，尺，設水深尺，蘆葦尺，由勾股定理：，，解得：，所以，答：蘆葦的長度是13尺．故選：．二、填空題（共10小題）11．【答案】0.8．【分析】根據勾股定理求出的長得出的長，再根據勾股定理求出的長即可求解．【解答】解：如圖，由題意可知，，，，，在△中，由勾股定理得，，，在△中，由勾股定理得，，，即梯子底端將向外移，故答案為：0.8．12．【分析】設正方形，，，的邊長分別為，，，，中間正方形的邊長為，根據勾股定理可得，進而可得，即可獲得答案．【解答】解：如圖，設正方形，，，的邊長分別為，，，，中間正方形的邊長為，根據題意，可得，，，所有三角形都是直角三角形，，，即正方形的面積為18．故答案為：18．13．【答案】16．【分析】連接，先根據勾股定理求出的長，再求出的長，進而可得出結論．【解答】解：如圖，連接，飲料盒的底面長為，寬為，高為，，，露在外面的長度為，，．故答案為：16．14．【答案】．【分析】如圖，由，知，，再利用勾股定理逆定理證是等腰直角三角形，得，據此可得，繼而得出答案．【解答】解：如圖，，，，，設每個小正方形的邊長為，則，，，是等腰直角三角形，，，，故答案為：．15．【答案】8．【分析】先根據勾股定理求出的長，進而可得出結論．【解答】解：由題意得，，，，木桿折斷前的高度．故答案為：8．16．【分析】分第三邊為斜邊和斜邊長為4兩種情況，分別根據勾股定理進行求解即可．【解答】解：在直角三角形中，①當第三邊為斜邊，則第三邊長為；②當斜邊長為4，則第三邊長為；綜上，第三邊長為5或；故答案為：5或．17．【答案】7．【分析】根據勾股定理結合正方形的面積公式即可求解．【解答】解：如圖，在△中，由勾股定理得，，分別以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，記三個正方形的面積分別為，，，，，故答案為：7．18．【答案】或．【分析】由勾股定理，得出，，分兩種情況討論：△是銳角三角形和△是鈍角三角形，分別求解即可．【解答】解：是△的邊上的高，，，，，，①當△是銳角三角形時，；②當△是鈍角三角形時，．綜上可知，的長為或．故答案為：或．19．【答案】10．【分析】根據樹高可以計算兩棵樹的高度的差值，由題意知，在△中，根據勾股定理即可計算即可．【解答】解：如圖，四邊形是矩形，，，，在△中，，答：小鳥至少飛行10米．故答案為：10．20．【答案】10．【分析】長方體盒子按不同方式展開，得到不同的矩形，求出不同矩形的對角線，最短者即為正確答案．【解答】解：如圖1，圖3，；如圖2，．，這只螞蟻爬行的最短路程是10，，，，，故答案為：10．三、解答題（共7小題）21．【答案】（1）16；（2）3.5．【分析】（1）根據勾股定理，可以求得的長；（2）先設，則，然后根據勾股定理，即可求得的長．【解答】解：（1），，，，；（2）設，則．，，，解得，的長為3.5．22．【分析】（1）運用勾股定理求得，及的長，即可求出的周長．（2）運用勾股定理的逆定理求得，得出．（3）過作，解答即可．【解答】解：（1），，，的周長，（2），，，，．（3）過作，的面積，即，解得，故答案為：223．【答案】、之間的距離為30海里．【分析】畫出平面直角坐標系，標出2艘輪船的準確位置，根據夾角計算距離．【解答】解：為第2艘輪船的行駛路線，為第一艘輪船的行駛路線，則海里，海里，且為，（海里）．答：、之間的距離為30海里．24．【答案】（1）風箏的垂直高度為9.6米；（2）他應該再向外放線8米．【分析】（1）根據勾股定理即可得到結論；（2）根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：（1）在△中，米，米，（米，米，（米，答：風箏的垂直高度為9.6米；（2）在△中，，（米，（米，（米，答：他應該再向外放線8米．25．【答案】為直角三角形，理由見解答．【分析】根據勾股定理得出、的長，進而利用勾股定理的逆定理解答即可．【解答】解：為△，理由如下：為高，，在中，由勾股定理：，在中，由勾股定理：，，為直角三角形．26．【答案】（