組合與組合數公式第1頁問題一：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天一項活動，其中1名同學參加早晨活動，1名同學參加下午活動，有多少種不一樣選法？問題二：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多少種不一樣選法？甲、乙；甲、丙；乙、丙有次序無次序第2頁

普通地，從n個不一樣元素中取出m（m≤n）個元素合成一組，叫做從n個不一樣元素中取出m個元素一個組合．組合定義:排列定義:

普通地說，從n個不一樣元素中，取出m(m≤n)個元素，按照一定次序排成一列，叫做從n個不一樣元素中取出m個元素一個排列.思索:排列與組合概念，它們有什么共同點、不一樣點？

共同點:都要“從n個不一樣元素中任取m個元素”

不一樣點:對于所取出元素，排列要“按照一定次序排成一列”，而組合卻是“不論怎樣次序合成一組”．排列與元素次序相關，而組合則與元素次序無關組合是選擇結果，排列是選擇后再排序結果.第3頁想一想:ab與ba是相同排列還是相同組合?為何?兩個相同排列有什么特點?兩個相同組合呢?

什么是兩個相同排列？什么是兩個相同組合？相同排列：元素相同且次序相同.相同組合：元素相同第4頁判斷以下問題是組合問題還是排列問題?

(1)設集合A={a,b,c,d,e}，則集合A含有3個元素子集有多少個?(2)某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票?

有多少種不一樣火車票價？組合問題排列問題(3)10名同學分成人數相同數學和英語兩個學習小組，共有多少種分法?組合問題(4)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候，共需握手多少次?組合問題(5)從4個風景點中選出2個安排游覽,有多少種不一樣方法?組合問題(6)從4個風景點中選出2個,并確定這2個風景點游覽次序,有多少種不一樣方法?排列問題組合問題第5頁如:從a,b,c三個不一樣元素中取出兩個元素全部組合分別是:ab,ac,bc

如:已知4個元素a,b,c,d,寫出每次取出兩個元素全部組合.abcd

bcd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3個)6個第6頁練習:

中國、美國、古巴、俄羅斯四國女排邀請賽，經過單循環決出冠亞軍．（1）列出全部各場比賽雙方；（2）列出全部冠亞軍可能情況。（1）中國—美國中國—古巴中國—俄羅斯美國—古巴美國—俄羅斯古巴—俄羅斯（2）冠軍中中中美美美古古古俄俄俄亞軍美古俄中古俄中美俄中美古第7頁組合數:從n個不一樣元素中取出m（m≤n）個元素全部組合個數，叫做從n個不一樣元素中取出m個元素組合數，用符號表示如:思索:怎樣計算:第8頁寫出從a,b,c,d四個元素中任取三個元素全部組合。aabc，abd，acd，bcd.bcddbccd寫出從a,b,c,d四個元素中任取三個元素全部排列.cdbdbccdacadbdadabbcacabbcdacdabdabcbacd第9頁abcbaccabdab

abdbadcaddacacbbcacbadbaacdbcdcbddbcadbbdacdadcaadcbdccdbdcb全部排列為：第10頁組合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb第11頁第12頁組合數公式:

從n個不一樣元中取出m個元素排列數第13頁例1計算：⑴

⑵

．例2求證：

第14頁例6．一位教練足球隊共有17名初級學員，他們中以前沒有一人參加過比賽．按照足球比賽規則，比賽時一個足球隊上場隊員是11人．問：

(l)這位教練從這17名學員中能夠形成多少種學員上場方案？(2)假如在選出11名上場隊員時，還要確定其中守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？(2)解：(1)第15頁例7．（1）平面內有10個點，以其中每2個點為端點線段共有多少條？(2）平面內有10個點，以其中每2個點為端點有向線段共有多少條？(2)解：(1)第16頁例8．在100件產品中，有98件合格品，2件次品．從這100件產品中任意抽出3件.(1）有多少種不一樣抽法？(2）抽出3件中恰好有1件是次品抽法有多少種？(3）抽出3件中最少有1件是次品抽法有多少種？(2)解：(1)第17頁(3)法一：法二：說明：“最少”“至多”問題，通慣用分類法或間接法求解。變式：按以下條件，從12人中選出5人，有多少種不一樣選法？（1）甲、乙、丙三人必須當選；（2）甲、乙、丙三人不能當選；（3）甲必須當選，乙、丙不能當選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當選；（6）甲、乙、丙三人最少1人當選；第18頁

組合數兩個性質第19頁

寫出從a,b,c,d四個元素中任取三個元素全部組合。aabc，abd，acd，bcd.bcddbccd第20頁abcabdacdbcd

dcba第21頁abcabdacdbcd

含元素a組合數:不含元素a組合數:第22頁第23頁例9計算：第24頁例10求證:證實:第25頁例11平面內有12個點，任何3點不在同一直線上,以每3點為頂點畫一個三角形,一共可畫多少個三角形?答:一共可畫220個三角形.第26頁思索交流1.從9名學生中選出3人做值日,有多少種不一樣選法?2.有5本不一樣書,某人要從中借2本,有多少種不一樣借法?第27頁元素相同問題隔板策略應用背景：相同元素名額分配問題不定方程正整數解問題隔板法使用特征：相同元素分成若干部分，每部分最少一個第28頁元素相同問題隔板策略例.有10個運動員名額，在分給7個班，每班最少一個,有多少種分配方案？

解：因為10個名額沒有差異，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一個插板方法對應一個分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同元素分成m份（n，m為正整數）,每份最少一個元素,能夠用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排n-1個空隙中，全部分法數為回目錄第29頁例高二年級8個班,組織一個12個人年級學生分會,每班要求最少1人,名額分配方案有多少種?解此題能夠轉化為:將12個相同白球分成8份,有多少種不一樣分法問題,所以須把這12個白球排成一排,在11個空檔中放上7個相同隔板,每個空檔最多放一個,即可將白球分成8份,顯然有種不一樣放法,所以名額分配方案有種.結論

轉化法:對于一些較復雜、或較抽象排列組合問題，能夠利用轉化思想,將其化歸為簡單、詳細問題來求解.分析此題若直接去考慮話,就會比較復雜.但假如我們將其轉換為等價其它問題,就會顯得比較清楚,方法簡單,結果輕易了解.回目錄第30頁練習（1）將10個學生干部培訓指標分配給7個不一樣班級，每班最少分到一個名額，不一樣分配方案共有（）種。（2）不定方程正整數解共有（）組回目錄第31頁平均分組問題除法策略“分書問題”第32頁平均分組問題除法策略例12.6本不一樣書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現重復計數現象,不妨記6本書為ABCDEF

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF

該分法記為(AB,CD,EF),則中還有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一個分法,故共有種分法。平均分成組,不論它們次序怎樣,都是一個情況,所以分組后要一定要除以(n為均分組數)防止重復計數。回目錄第33頁1將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4

個隊,有多少分法？2.10名學生分成3組,其中一組4人,另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不一樣分組方法（1540）3.某校高二年級共有六個班級，現從外地轉入4名學生，要安排到該年級兩個班級且每班安排2名，則不一樣安排方案種數為______

回目錄第34頁分清排列、組合、等分算法區分例(1)今有10件不一樣獎品,從中選6件分給甲一件,乙二件和丙三件,有多少種分法?(2)今有10件不一樣獎品,從中選6件分給三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少種分法?(3)今有10件不一樣獎品,從中選6件分成三份,每份2件,有多少種分法?解：（1）

（2）(3)回目錄第35頁練習

(1)今有10件不一樣獎品,從中選6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少種分法?(2)今有10件不一樣獎品,從中選6件分給甲乙丙三人,每人二件有多少種分法?解:(1)(2)回目錄第36頁小結：排列與組合區分在于元素是否有序;m等分組合問題是非等分情況;而元素相同時又要另行考慮.回目錄第37頁先選后排問題第38頁八.排列組合混合問題先選后排策略例.有5個不一樣小球,裝入4個不一樣盒內,

每盒最少裝一個球,共有多少不一樣裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有__種方法.再把5個元素(包含一個復合元素)裝入4個不一樣盒內有_____種方法.依據分步計數原理裝球方法共有_____處理排列組合混合問題,先選后排是最基本指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相同嗎?回目錄第39頁練習題一個班有6名戰士,其中正副班長各1人現從中選4人完成四種不一樣任務,每人完成一個任務,且正副班長有且只有1人參加,則不一樣選法有________種192回目錄第40頁3名醫生和6名護士被分配到3所學校為學生體檢,每校分配1名醫生和2名護士,不一樣分配方法共有多少種?先選后排問題處理方法

解法一：先組隊后分校（先分堆后分配）回目錄第41頁

解法二：依次確定到第一、第二、第三所學校去醫生和護士.回目錄第42頁練習某學習小組有5個男生3個女生，從中選3名男生和1名女生參加三項競賽活動，每項活動最少有1人參加，則有不一樣參賽方法______種.解：采取先組后排方法:第43頁小結：本題包括一類主要問題：問題中現有元素限制，又有排列問題，普通是先元素（即組合）后排列。回目錄第44頁處理排列組合綜合性問題普通過程以下:1.認真審題搞清要做什么事2.怎樣做才能完成所要做事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進行,確定分多少步及多少類。3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數是多少及取出多少個元素.※處理排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，所以必須掌握一些慣用解題策略第45頁一.特殊元素優先法和特殊位置優限法例1.由0,1,2,3,4,5能夠組成多少個沒有重復數字五位奇數.

解:因為末位和首位有特殊要求,應該優先安排,以免不合要求元素占了這兩個位置先排末位共有___

然后排首位共有___最終排其它位置共有___由分步計數原理得=288特殊位置優限法和特殊元素優先法是處理排列組合問題最慣用也是最基本方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件同時還要兼顧其它條件。第46頁7種不一樣花種在排成一列花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端花盆里，問有多少不一樣種法？練習題第47頁二.相鄰問題捆綁法:例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不一樣排法.甲乙丙丁由分步計數原理可得共有種不一樣排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。要求某幾個元素必須排在一起問題,能夠用捆綁法來處理問題.即將需要相鄰元素捆綁為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意捆綁元素內部要松綁。第48頁某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起情形不一樣種數為（）練習題20捆在一起相同元素不需要松綁。捆在一起相同元素個數若不一樣，便是不一樣元素了。第49頁三.不相鄰問題插空法:例3.一個晚會節目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節目不能連續出場,則節目標出場次序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好6個元素中間包含首尾兩個空位共有種

不一樣方法

由分步計數原理,節目標不一樣次序共有

種相相獨獨獨元素不相鄰問題可先把沒有位置要求元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端“空”中。第50頁某班新年聯歡會原定5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.假如將這兩個新節目插入原節目單中，且兩個新節目不相鄰，那么不一樣插法種數為（）

30練習題有6個座位連成一排，安排3人就座，恰有兩個空位相鄰不一樣坐法有（）種？72第51頁四.部分元素定序問題倍縮法:例4.7人排隊,其中甲乙丙3人次序一定共有多少不一樣排法解:(倍縮法)對于某幾個元素次序一定排列問題,可先把這幾個元素與其它元素一起進行排列,然后用總排列數除以這幾個元素之間全排列數,則共有不一樣排法種數是：（空位法）構想有7把椅子讓除甲乙丙以外四人就坐共有

種方法，其余三個位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法

1第52頁（插空法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4*5*6*7定序問題能夠用倍縮法，還可轉化為占位插空模型處理練習題10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐步增加，共有多少排法？第53頁五.重復排列問題求冪法:例5.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不一樣分法解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有

種分法.7把第二名實習生分配到車間也有7種分法，依這類推,由分步計數原理共有種不一樣排法允許重復排列問題特點是以元素為研究對象，元素不受位置約束，能夠逐一安排各個元素位置，普通地n個不一樣元素沒有限制地安排在m個位置上排列數為種nm第54頁

某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自一層下電梯,下電梯方法（）練習題第55頁六.環排問題線排法例6.5人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解：圍桌而坐與坐成一排不一樣點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從此位置把圓形展成直線其余4人共有____

種排法即

ABCEDDAABCE（5-1)！普通地,n個不一樣元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.假如從n個不一樣元素中取出m個元素作圓形排列共有第56頁練習題6顆顏色不一樣鉆石，可穿成幾個鉆石圈60第57頁七.分排問題直排法:例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,能夠把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有____種,再排后4個位置上特殊元素有_____種,其余5人在5個位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排普通地,元素分成多排排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究.第58頁有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座要求前排中間3個座位不能坐，而且這2人不左右相鄰，那么不一樣排法種數是______346練習題第59頁八.排列組合混合問題先分類再分步,先組合后排列:例8.有5個不一樣小球,裝入4個不一樣盒內,每盒最少裝一個球,共有多少不一樣裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有__種方法.再把5個元素(包含一個復合元素)裝入4個不一樣盒內有_____種方法.依據分步計數原理裝球方法共有_____處理排列組合混合問題,先選后排是最基本指導思想.第60頁練習題一個班有6名戰士,其中正副班長各1人現從中選4人完成四種不一樣任務,每人完成一個任務,且正副班長有且只有1人參加,則不一樣選法有________種192在一條南北方向步行街同側有8塊廣告牌,廣告牌底色可選取紅、藍兩種顏色，若只要求相鄰兩塊牌底色不都為紅色，則不一樣配色方案共有（）種55第61頁九.小集團問題先整體后局部例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數字五位數其中恰有兩個偶數夾1,５在兩個奇數之間,這么五位數有多少個？解：把１,５,２,４看成一個小集團與３排隊共有____種排法，再排小集團內部共有

_______種排法，由分步計數原理共有

_______種排法.31524小集團小集團排列問題中，先整體后局部，再結合其它策略進行處理。第62頁１.計劃展出10幅不一樣畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種必須連在一起，而且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式種數為_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰排法有_______種第63頁十.相同元素分堆問題隔板法:例10.有10個運動員名額，在分給7個班，每班最少一個,有多少種分配方案？

解：因為10個名額沒有差異，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一個插板方法對應一個分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同元素分成m份（n，m為正整數）,每份最少一個元素,能夠用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排n-1個空隙中，全部分法數為第64頁練習題10個相同球裝5個盒中,每盒最少一有多少裝法？2.不定方程x+y+z+w=7正整數解個數是多少個?第65頁十一.正難則反淘汰法:例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為大于10偶數,不一樣取法有多少種？解：這問題中假如直接求大于10偶數很困難,可用總體淘汰法。這十個數字中有5個偶數5個奇數,所取三個數含有3個偶數取法有____,只含有1個偶數取法有_____,和為偶數取法共有_________再淘汰和小于10偶數共___________符合條件取法共有___________9013015017023025027041045043+-9+有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜,而它反面往往比較簡捷,能夠先求出它反面,再從整體中淘汰.第66頁我們班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記最少有一人在內抽法有多少種?練習題第67頁十二.平均分堆問題等額有序和等額無序法:例12.6本不一樣書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現重復計數現象,不妨記6本書為ABCDEF

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF

該分法記為(AB,CD,EF),則中還有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一個分法,故共有種分法。平均分成組,不論它們次序怎樣,都是一個情況,所以分組后要一定要除以(n為均分組數)防止重復計數。第68頁1將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4

個隊,有多少分法？2.10名學生分成3組,其中一組4人,另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不一樣分組方法（1540）3.某校高二年級共有六個班級，現從外地轉入4名學生，要安排到該年級兩個班級且每班安排2名，則不一樣安排方案種數為______

第69頁十三.公共元素問題韋恩圖法:例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現要演出一個2人唱歌2人伴舞節目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞

3人為全能演員。以只會唱歌5人是否選上唱歌人員為標準進行研究只會唱5人中沒有些人選上唱歌人員共有____種,只會唱5人中只有1人選上唱歌人員________種,只會唱5人中只有2人選上唱歌人員有____種，由分類計數原理共有______________________種。++第70頁本題還有以下分類標準：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準*以只會跳舞2人是否選上跳舞人員為標準都能夠得到正確結果解含有約束條件排列組合問題，可按元素性質進行分類，按事件發生連續過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫通于解題過程一直。第71頁1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須現有男生又有女生，則不一樣選法共有_______34

練習題2.3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2

號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們任選

2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船,

這3人共有多少乘船方法.27第72頁十四.結構模型策略例14.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9九只路燈,現要關掉其中3盞,但不能關掉相鄰2盞或3盞,也不能關掉兩端2

盞,求滿足條件關燈方法有多少種？解：把此問題看成一個排隊模型在6盞亮燈5個空隙中插入3個不亮燈有________種一些不易了解排列組合題假如能轉化為非常熟悉模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀處理第73頁練習題某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不一樣坐法有多少種？120第74頁十五.實際操作窮舉策略例15.設有編號1,2,3,4,5五個球和編號1,23,4,5五個盒子,現將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，而且恰好有兩個球編號與盒子編號相同,.

有多少投法

解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，假如剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法3號盒4號盒5號盒345第75頁十五.實際操作窮舉策略例15.設有編號1,2,3,4,5五個球和編號1,23,4,5五個盒子,現將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，而且恰好有兩個球編號與盒子編號相同,.

有多少投法

解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，假如剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法,

同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數原理有2種第76頁對于條件比較復雜排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到結果練習題

同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,

然后每人各拿一張他人賀年卡，則四張賀年卡不一樣分配方式有多少種？(9)2.給圖中區域涂色,要求相鄰區域不一樣色,現有4種可選顏色,則不一樣著色方法有____種2