/浙江省杭州市2024_2025學年高三下冊（3月）第二次聯考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合A=1,2,3，B=x∈NxA．1,2,3 B．0,1,2,3 C．?1,1,2,3 D．?1,0,1,2,32．已知向量a=2x,3，b=2,0，A．?1 B．12 C．1 D．23．已知復數z滿足1+iz=2i，則zA．12 B．1 C．2 4．若圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，則它的體積為（）A．833π B．8π C．12π 5．已知函數fx=xA．?1 B．?1e C．16．已知兩條相交直線a,b，a在平面α內，b在平面α外．設a,b的夾角為θ1，直線b與平面α所成角為π2?θ1，sinA．π12 B．π6 C．π4 7．設拋物線C:x2=4y的焦點為F，斜率為12的直線與拋物線交于A,B兩點，若A．0 B．?45 C．?328．在△ABC中，“sin2A+siA．充分但非必要條件 B．必要但非充分條件C．充要條件 D．既非充分條件也非必要條件二、多選題（本大題共3小題）9．設1+2x6A．a0=1 B．C．該二項式的所有二項式系數之和為64 D．a010．已知函數fx=sinπA．fx的最小正周期為2π B．gC．gx在區間0,π2上單調遞減 D．gx在11．已知正項等差數列an與正項等比數列bn首項相等，且滿足a1A．bn的公比為2 B．?m?3，使得aC．對?λ＜1，數列bn?λan為遞增數列三、填空題（本大題共3小題）12．已知橢圓C:x2a2+y2b213．已知函數fx=x3?6x2+9x在x=a處取得極大值，在x=b處取得極小值，若14．有6張卡片，正面分別寫有數字1，2，3，4，5，6，且背面均寫有數字7．先把這些卡片正面朝上排成一排，且第k個位置上的卡片恰好寫有數字k．然后擲一顆均勻的骰子，若點數為n，則將第n個位置上的卡片翻面并置于原處．進行上述實驗3次，發現卡片朝上的數字之和為偶數，在這一條件下，計算骰子恰有一次點數為2的概率為_________．四、解答題（本大題共5小題）15．為了了解高中學生語文與數學成績之間的聯系，從某學校獲取了400名學生的成績樣本，并將他們的數學和語文成績整理如表：單位：人數學成績語文成績數學成績不優秀優秀不優秀18090優秀5080(1)依據α=0.05的獨立性檢驗，能否認為學生的數學成績與語文成績有關聯？(2)以顧率估計概率、從全市高中所有數學不優秀的學生中隨機抽取5人，設其中恰有X位學生的語文成績優秀，求隨機變量X的分布列以及數學期望．Pχ0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：χ216．已知等軸雙曲線C的左右焦點分別為F1,F2，經過點F2的直線與C的漸近線相交于點M,N，點M的橫坐標為?1，N是線段F2M的中點，經過點F(1)求雙曲線C的方程；(2)當△ABF2的面積為41017．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=6，O為AB的中點，D,E分別為AB,AC邊上一點，滿足AD=1,DE//OC．將△ADE,△BOC分別沿著DE,OC翻折成△A′DE,△B′OC，滿足A′(1)證明：A′(2)在線段B′C上是否存在一點F（異于端點），滿足EF//平面A′(3)在（2）的情況下，求直線CE與平面ODF所成角的正弦值．18．已知a、b∈R，函數fx(1)若曲線y=fx在0,f0處的切線方程為y=2x+1(2)若函數fx在R上單調遞增，求a(3)若對?b∈R，函數fx至多有兩個零點，求a19．對任意給定的n∈N?，若有窮數列an滿足：am=(1)當n∈1，2時，是否存在符合條件的“D數列”？若存在，請求出所有的符合條件的“D(2)證明：（i（ii）當n?7時，任意符合條件的“D數列”都滿足(3)當n=20時，求出所有的“D數列”．

答案1．【正確答案】B【詳解】因為B=x∈Nx2則A∪B=0,1,2,3故選B.2．【正確答案】C【詳解】因為向量a=2x,3，b=所以a?b?故選C.3．【正確答案】C【詳解】因為1+iz=2i所以z=2i所以z=故選C.4．【正確答案】A【詳解】因為圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，所以圓錐的底面半徑r=2，高?=4所以圓錐的體積V=1故選A.5．【正確答案】B【詳解】因為函數fx所以f1所以ff故選B.6．【正確答案】B【詳解】設直線a,b的交點為O，過直線b上異于點O的一點P作平面α的垂線，設垂足為B，過點B作BA⊥a，垂足為A，連接PA，如圖：因為PB⊥α，所以OB為直線b在平面α內的投影，所以直線b與平面α所成角為∠POB，由已知∠POA=θ1，因為PB⊥α，a?α，所以PB⊥a，又AB⊥a，PB∩AB=B，PB,AB?平面PAB，所以直線OA⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以PA⊥OA，即PA⊥a，所以由a,b確定的平面與平面α夾角為∠PAB,在Rt△PAB中，sin∠PAB=在Rt△POB中，sin∠POB=PBOP在Rt△POA中，sin∠POA=PAOP所以sin∠PAB=又sinθ1=所以cosθ1=又∠PAB∈0,π2所以由a,b確定的平面與平面α夾角的大小為π6故選B.7．【正確答案】B【詳解】拋物線x2=4y的焦點F的坐標為0,1，準線方程為設直線AB的方程為y=1聯立x2=4yy=12方程x2?2x?4b=0的判別式Δ=4+16b＞0，故設Ax1,y1由已知x1,x所以x1+x設點A，B在準線上的投影分別為A1，B因為AF+BF=故12x1即x1,x故x1=?2，所以AF=y1又AB=由余弦定理，cos∠AFB=AF故選B.8．【正確答案】B【詳解】第一步：檢驗必要性.如果C是直角，那么A+B=90此時，等式sin2A+si因此，如果C是直角，等式sin2第二步：驗證充分性.若sin2構造函數fx=sin則f′=2sin記以u=32x+A2因為0＜x＜π?A,所以A2?π令f′x=0令π6?A列表如下：x00,xx1x1x2x2x3x3π?AuA20πvπ4π234sinu?0+++0?cosv+++0???f′?0+0?0+fx?cos減fx增fx減fx增2sinfx1=fx當A→0時，fx3→?14而fπ2?A=0，且x1每個零點都可以作為角B的值，所以A+B的值有三個，存在不是直角的情況，即存在角C不是直角的情況，所以充分性不成立.綜上所述，“sin2A+si故選B.9．【正確答案】ACD【詳解】因為1+2x6取x=0，可得a0取x=1，可得1+2×16所以a0二項式1+2x6的展開式的通項公式為Tk+1=取k=3可得，T4所以a3二項式1+2x6的所有二項式系數之和為C故選ACD.10．【正確答案】ABD【詳解】因為fx所以函數fx的最小正周期T=因為gx所以gx所以gx函數gx的定義域為Rg?x所以函數gxg′當0＜x＜π2時，令g′x=0，可得cos即cosθ0=當0＜x＜θ0時，此時sinx＞0所以g′x＜0，所以函數g當當θ0＜x＜π2時，此時所以g′x＞0，所以函數g因為函數gx在0,θ0其中cosθ0=又g0=cosgθ所以函數gx在0,π2故選ABD.11．【正確答案】ACD【詳解】對于A選項，設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為由已知a1=b1，則即b1q2=2b1+對于B選項，由題意可得d=a2?bn=b1q令cn=n當n?3時，cn+1?cn＜0當n?3時，cn?c3=34＜1，則對于C選項，bn?λa對任意的n∈N?，對任意的λ＜1，由于2n?1?20=1所以，對?λ＜1，數列bn對于D選項，bn則k=110=123＜150，D對.故選ACD.12．【正確答案】63【詳解】由題意可得A0,b,Ba,0，則直線AB又直線AB的傾斜角為56π，所以?b即ba=313．【正確答案】4【詳解】因為fx所以f′令f′x=0，可得x=1當x＜1時，f′x＞0，函數f當1＜x＜3時，f′x＜0，函數f當x＞3時，f′x＞0，函數f所以當x=1時，fx取極大值，當x=3時，函數f所以a=1，b=3，故a+b=4，又f0=0，f1當x＞3時，令fxx3所以x2故x2?2x+1x?4=0，解得所以m的最大值為4.14．【正確答案】1336【詳解】由已知，試驗前卡片朝上的數字之和為1+2+3+4+5+6=21，數字之和為奇數，若拋擲骰子所得點數為奇數，則試驗后卡片朝上的數字之和仍然為奇數，若拋擲骰子所得點數為偶數，則試驗后卡片朝上的數字之和變為偶數，所以事件進行3次實驗后卡片朝上的數字之和為偶數，等于事件三次試驗中拋擲骰子所得點數有一次為偶數，余下兩次為奇數，或三次試驗中拋擲骰子所得點數都為偶數，設事件3次試驗后，卡片朝上的數字之和為偶數為A，設事件三次試驗中拋擲骰子所得點數恰有一次為2為B，記Ai表示第i次試驗中拋擲骰子所得點數為偶數，i=1,2,3，則P設Ci表示第i次試驗中拋擲骰子所得點數為4或6，i=1,2,3，則P設Di表示第i次試驗中拋擲骰子所得點數為2，i=1,2,3，則P所以A=APA事件AB表示三次試驗中有一次骰子的點數為2，另兩次的點數為奇數或三次試驗中有一次骰子的點數為2，另兩次的點數為偶數4或6，AB=D所以PAB所以PB15．【正確答案】(1)依據α=0.05的獨立性檢驗，可認為學生的數學成績與語文成績有關聯；(2)分布列見解析，EX【詳解】（1）零假設H0由題χ2所以依據α=0.05的獨立性檢驗，推斷零假設H0不成立，即認為學生的數學成績與語文成績有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于5%（2）由題意可知數學不優秀的學生中語文成績優秀的概率為90180+90隨機變量X的取值有0,1,2,3,4,5，由已知X～B5,則PX=0=CPX=2=CPX=4=C所以隨機變量X的分布列為X012345P32243802438024340243102431243所以隨機變量X的數學期望EX16．【正確答案】(1)x2(2)x+2y+2=0或x?2y+2=0.【詳解】（1）因為雙曲線C為等軸雙曲線，故可設雙曲線方程為x2則F1?2所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x，若點M在漸近線y=?x上，則M?1,1，故N代入漸近線y=x，可得a=2所以雙曲線C的方程為x2若點M在漸近線y=x上，則M?1,?1，故N代入漸近線y=?x，可得a=2所以雙曲線C的方程為x2故雙曲線方程為x2（2）由題直線l不與y軸垂直，不妨設l的方程為x=ty?2，聯立x2?y2=2由已知t2?1≠0，設Ax1,由已知y1,y所以y1+y所以AB=又點F2到直線l的距離d=所以△ABF2的面積所以t=±2，所以直線l的方程為x+2y+2=0或x?2y+2=0.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)直線CE與平面ODF所成角的正弦值為105【詳解】（1）延長OD，CE相交于點A，因為AB=6，O為AB的中點，故AO=BO=3，又AD=1，所以AD=1又DE//OC，所以AEAC因為A′D⊥平面CODE，B′所以A′而A′D=1所以△A′AD～△故A,A′,又AEAC=1所以A′（2）由（1）A′D//B′O，又B′O?所以A′D//平面因為DE//OC，又OC?平面B′OC，DE?平面所以DE//平面B′OC，又A′D∩ED=D，所以平面A′DE//平面由（1）A′E//B′C，取B則A′E=B所以四邊形A′所以EF//A′B′，EF?平面A′所以EF//平面A′（3）由（2）可得直線CE與平面ODF所成角即為直線AC與OAF所成角，作CH⊥OF與OF相交于點H.由B′O⊥平面CODE，OA?平面CODE，可得又CO⊥OA，B′O∩CO=O，B′所以OA⊥平面OB′C，又CH?所以OA⊥CH，又CH⊥OF，OA∩OF=O，OA,OF?平面OAF，所以CH⊥平面OAF，所以直線CA在平面OAF上的投影為AH，所以∠CAH就是直線AC與平面OAF所成角，在△FOC中，CO=3，CF=233所以OF=C所以CH=2在△CHA中，CH⊥AH，AC=32所以sin∠CAH=所以直線CE與平面ODF所成角的正弦值為10518．【正確答案】(1)0(2)?∞,?1(3)?∞,?1【詳解】（1）因為fx=xe由題意可得f0=b?a=2，解得a=?1，b=1，故a+b=0.（2）由題意可知，對任意的x∈R，f′x=令gx=1?x由g′x＜0可得x＜32所以，函數gx的減區間為?∞,32所以，a?gx因此，實數a的取值范圍是?∞,?1（3）由（2）得，當a??12e3時，函數則函數fx當x＜1時，gx=1?xe2x＞0，當當a?0時，f′由圖可知，存在x0?1，使得