第14講雙曲線目錄TOC\o"1-2"\h\u17831第14講雙曲線 113589一、雙曲線的標準方程 216840基礎知識 29327考點1雙曲線定義 321801考點2曲線方程與雙曲線 38220考點3求雙曲線的標準方程 412884考點4求雙曲線的軌跡方程 417194二、雙曲線的簡單幾何性質 66170基礎知識 610528考點5由雙曲線的幾何性質求標準方程 75119考點6雙曲線的漸近線方程 720797考點7雙曲線的離心率 822757考點8雙曲線中的最值 96387考點9雙曲線的實際應用 921546三、課后作業 1128437單選題 1115507多選題 1211659填空題 1229117解答題 13

一、雙曲線的標準方程基礎知識1．雙曲線的定義雙曲線的定義：平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(小于)的點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.2．雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：雙曲線在坐標系中的位置標準方程焦點坐標F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關系3．雙曲線方程的求解(1)用定義法求雙曲線的標準方程

根據雙曲線的定義，確定的值，結合焦點位置可寫出雙曲線的標準方程.(2)用待定系數法求雙曲線的標準方程

用待定系數法求雙曲線的標準方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設出標準方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設為或，再根據條件求解.考點1\t"/gzsx/zj165990/_blank"\o"橢圓定義及辨析"雙曲線定義【例1.1】（23-24高二上·新疆喀什·期末）設雙曲線y216?x264=1的焦點為F1,F2A．22 B．14 C．10 D．2【例1.2】（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習）雙曲線C：x2a2?y212=1a>0的兩個焦點分別是F1與A．9 B．9或1 C．1 D．6【變式1.1】（23-24高二上·江蘇揚州·階段練習）已知雙曲線x29?y24=1，F1,F2A．10 B．15 C．25 D．【變式1.2】（23-24高二上·重慶·期末）如果雙曲線x24?y212=1上一點PA．4 B．12 C．4或12 D．不確定考點2曲線方程與雙曲線【例2.1】（23-24高三上·廣東佛山·階段練習）對于常數a，b，“ab<0”是“方程ax2+bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例2.2】（23-24高二上·安徽蚌埠·階段練習）方程x22sinA．焦點在x軸上的橢圓 B．焦點在y軸上的橢圓C．焦點在x軸上的雙曲線 D．焦點在y軸上的雙曲線【變式2.1】（2023高二上·江蘇·專題練習）已知方程x2k?5?y2A．k>5 B．k>5或?2<k<2C．k>2或k<?2 D．?2<k<2【變式2.2】（23-24高三上·天津濱海新·階段練習）“m<1”是“方程x2m+2+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件考點3求雙曲線的標準方程【例3.1】（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點分別是F1(?13,0)，A．x25?y212=1 B．【例3.2】（23-24高二上·全國·課后作業）已知雙曲線的下、上焦點分別為F10,?3，F20,3，P是雙曲線上一點且A．x24?C．y24?【變式3.1】（23-24高二上·寧夏吳忠·期末）已知雙曲線的實軸長為4，焦點為?4,0,A．x24?C．x2?y【變式3.2】（23-24高三上·新疆烏魯木齊·階段練習）以橢圓x2a2A．x2a2C．x2a2考點4求雙曲線的軌跡方程【例4.1】（23-24高三·四川·對口高考）已知y軸上兩點F10,?5，F2A．x29?C．x29+【例4.2】（23-24高二上·廣東東莞·期中）設F1、F2是兩定點，F1F2=6，動點P滿足A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在【變式4.1】（23-24高二上·吉林長春·階段練習）已知圓C1:x+22+y2=25A．x2?y2C．x2?y2【變式4.2】（23-24高二上·天津北辰·階段練習）已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是(?2,0)、(2,0)，且AC，BC所在直線的斜率之積等于2，則頂點C的軌跡方程是（

）A．x24?y28C．x24?y28

二、雙曲線的簡單幾何性質基礎知識1．雙曲線的簡單幾何性質雙曲線的一些幾何性質：圖形標準方程范圍x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R對稱性關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半軸長實半軸長為a,虛半軸長為b離心率漸近線方程2．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.3．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.考點5由雙曲線的幾何性質求標準方程【例1.1】（23-24高三上·山東臨沂·開學考試）已知雙曲線C:y2a2?x2A．y2?x24=1 B．y【例1.2】（23-24高三上·廣東東莞·階段練習）已知雙曲線中心在原點，一頂點坐標為0,4，且漸近線方程為x=±2y，則其標準方程為（

）A．y216?C．x2?y【變式1.1】（2024高二上·全國·專題練習）以橢圓x28+A．x24?y24=1 B．【變式1.2】（2024高二·全國·專題練習）雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的2倍，且一個頂點的坐標為(0，2)，則雙曲線的標準方程為（

）A．x24?y2C．y24?x2考點6雙曲線的漸近線方程【例2.1】（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）已知雙曲線C:x2?y2b2A．2x+y=0 B．x+2y=0 C．2x+y?1=0 D．x+2y?1=0【例2.2】（23-24高三上·海南·階段練習）已知雙曲線x2a2?y2b2=1A．y=±3x C．y=±2x 【變式2.1】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知平行于x軸的直線l與雙曲線C:y2a2?x2b2=1a>0,b>0A．y=±33x B．y=±3x 【變式2.2】（23-24高三上·陜西·階段練習）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0A．x±y=0 B．x±2y=0 C．x±3考點7雙曲線的離心率【例3.1】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知雙曲線C:x2?y2A．52 B．32 C．5【例3.2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為F1,F2A．2 B．2 C．5 D．3【變式3.1】（23-24高二上·江蘇鎮江·期末）雙曲線C：x2a2?y23=1（a>0）的左，右焦點分別為F1，F2，過F2的直線l與雙曲線的右支相交于AA．2 B．3 C．2 D．3【變式3.2】（23-24高二上·湖北鄂州·階段練習）已知雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的焦距為2c，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點.設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為A．1,233 B．233,+考點8雙曲線中的最值【例4.1】（2024·青海玉樹·模擬預測）已知F1，F2為雙曲線C:x24?y22A．16 B．18 C．8+42 D．【例4.2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知A0,4，雙曲線x24?y25=1的左、右焦點分別為A．5 B．7 C．9 D．11【變式4.1】（23-24高二上·江蘇蘇州·階段練習）已知雙曲線C:y24?x25=1的下焦點為F，A3,7A．不存在 B．8 C．7 D．6【變式4.2】（23-24高二上·浙江金華·階段練習）已知圓C:x2+(y?4)2=1上有一動點P，雙曲線M:x29A．42?1 B．42?5 C．考點9雙曲線的實際應用【例5.1】（23-24高二下·浙江·階段練習）江南水鄉多石拱橋，現有等軸雙曲線形的石拱橋（如圖），拱頂離水面10米，水面寬AB=205米，若水面上升5米，則水面寬為（

A．102米 B．152米 C．123【例5.2】（2024·湖北荊州·一模）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離是1020m.則該巨響發生在接報中心的（

）處.（假定當時聲音傳播的速度為340A．西偏北45°方向，距離68010m B．東偏南45°C．西偏北45°方向，距離6805m D．東偏南45°【變式5.1】（2023·全國·模擬預測）圓錐曲線的光學性質在實際生活中有著廣泛的應用．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”就是利用了雙曲線的光學性質，即從雙曲線的一個焦點射出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都經過雙曲線的另一個焦點．如圖，已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1，F

A．2 B．2 C．72 D．【變式5.2】（23-24高二上·江西·期中）3D打印是快速成型技術的一種，它是一種以數字模型文件為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構造物體的技術，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為10的雙曲線的一部分圍繞其旋轉軸逐層旋轉打印得到的，已知該塔筒（數據均以外壁即塔筒外側表面計算）的上底直徑為62cm，下底直徑為92cm，喉部（中間最細處）的直徑為A．272cm B．18cm C．27

三、課后作業單選題1．（23-24高二上·山東煙臺·期末）已知雙曲線的方程為x25?A．2 B．4 C．25 2．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s，已知聲速是340m/s，炮彈爆炸點一定在曲線（

）的方程上.A．x2260100?y2229900=1C．y=0(x≤?700或x≥700) D．x3．（23-24高二上·廣東茂名·期末）如圖，這是一個落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線C:x2a2?y2b2

A．90cm B．100cm C．110cm4．（23-24高二上·全國·單元測試）已知等軸雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左焦點為F1，焦距為4，點A的坐標為(2,1)，P為雙曲線右支上一動點，則PA．22 B．17 C．22+15．（23-24高二上·湖北恩施·階段練習）已知焦點在x軸上的雙曲線的焦距為23A．x22?C．y2?x6．（23-24高二上·上?！て谀┓匠蘹2λ2?4+A．1 B．?4或1 C．?2或?4 D．?2或17．（23-24高二上·安徽阜陽·期末）若雙曲線x2m2+1?y2A．3 B．2 C．94 D．8．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2A．1,2 B．2,+∞ C．1,多選題9．（23-24高二上·安徽合肥·階段練習）已知曲線C:x2m?2+y24?mA．若m=3，則C為圓B．若2<m<4，則C為橢圓C．若m<2，則C為雙曲線D．若C為焦點在y軸上的雙曲線，則m>410．（23-24高二上·陜西榆林·期中）已知直線y=kxk≠0與雙曲線x2a2?y2b2=1a>0，b>0A．雙曲線的離心率為5 B．雙曲線的離心率為10C．雙曲線的漸近線方程為y=±62x填空題11．（23-24高二上·廣東中山·階段練習）已知雙曲線C:x264?y236=1，雙曲線C上一點12．（23-24高二下·上海·期末）已知雙曲線的左右焦點分別為F1,F2，過F1的直線與左支交于A,B兩點，若AB=5，且雙曲線的實軸長為8解答題13．（23-24高二上·全