高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省天一名校2024屆高三下學期聯考仿真模擬（二模）數學試題一、選擇題1.已知為虛數單位，，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】依題意，，而，則，所以.故選：C2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】或，，所以.故選：D.3.已知向量與滿足，，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，得，解得，而，因此，又，則，所以向量與的夾角為.故選：A.4.已知焦點為的拋物線上有一點,準線交軸于點.若則直線的斜率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由拋物線，故，，則，設，由，則，即，故故選：B.5.已知是坐標原點，若圓上有且僅有2個點到直線的距離為2，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，設與直線平行且距離為2的直線方程為，則，解得，直線，，點到直線的距離，到直線的距離，由圓上有且僅有2個點到直線的距離為2，得圓與直線相交，且與直線相離，則，即，解得，所以實數的取值范圍為.故選：A6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，即，所以，所以，所以.故選：C.7.一個盒子里裝有5個小球，其中3個是黑球，2個是白球，現依次一個一個地往外取球（不放回），記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下面不正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依次一個一個地往外取球（不放回）的試驗，基本事件總數是，它們等可能，對于A，表示第3次取出黑球，，A正確；對于B，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，B正確；對于C，，，所以，C正確；對于D，，所以，D錯誤.故選：D8.設，，則下列關系正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，設函數，則，設，則，所以在上單調遞減，且，即，所以在上單調遞減，則，即，所以.設，則，所以在上單調遞增，且，即，得，所以，即，解得.綜上，.故選：B二、選擇題9.下列說法中正確的是（）A.用簡單隨機抽樣的方法從含有10個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本，則每個個體被抽到的概率是0.2B.已知一組數據2，2，，5，7的平均數為4，則這組數據的方差是C.數據76，69，87，65，62，96，92，81，76，82的第70百分位數是82D.若樣本數據的標準差為5，則數據，，，的標準差為20【答案】AB【解析】A選項，每個個體被抽到的概率為，故A正確；B選項，已知一組數據的平均數為4，則，解得，，則這組數據的方差是，故B正確；C選項，這10個數據從小到大排列為，由于，故選擇第7和第8個數的平均數作為第70百分位數，即，所以第70百分位數是84.5，故C錯誤；D選項，若樣本數據的標準差為5，則的方差為25，設的平均數為，則，，又，故，則的標準差為，故D錯誤．故選：AB10.已知長方體的棱，，點滿足：，，下列結論正確的是（）A.當時，點到平面距離的最大值為B.當，時，直線與平面所成角的正切值的最大值為C.當，時，到的距離為2D.當，時，四棱錐的體積為1【答案】ACD【解析】對于A中，當時，，即，可得，所以點平面上，則點到平面距離的最大值為點或到平面的距離，連接交于點，因為為正方形，可得，又因為平面，平面，所以，因為且平面，所以平面，因為正方形中，，所以，即點到平面距離的最大值為，所以A正確；對于B中，當時，，即，可得點在線段上，當點與點重合時，直線與平面所成角的正切值最大，在直角中，可得，所以B不正確；對于C中，當時，可得，即，可得點在線段上，在長方體，可得，所以點在線段的距離等于點在線段的距離，又由平面，且平面，所以，在直角中，可得，所以點到的距離為，所以C正確.對于D中，當時，可得，即，所以點在線段的中點，此時點到平面的距離為，所以，所以D正確.故選：ACD.11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，為坐標原點，直線交雙曲線的右支于，兩點（不同于右頂點），且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，則（）A.為定值B.C.點到兩條漸近線的距離之和的最小值為D.不存在直線使【答案】BD【解析】雙曲線的漸近線為，對于A：因為，作直線，，且，分別交軸上方漸近線于，，交軸下方漸近線于，，有對稱性可知：，此時，又因為定值，所以，即不是定值，故A錯誤；

對于B，由題意可知：直線不與y軸垂直，設直線的方程為，聯立得，得，則，且,所以，聯立，得，聯立，得，所以，則，結合弦長公式可得，即，故B正確；對于C，設，則，漸近線為，所以P到兩漸近線距離為：，當且僅當時，等號成立，故C錯誤；對于D，設，則，可得，由圖可得，即恒成立，故不存在直線使，故D正確.

故選：BD.三、填空題12.的展開式中的系數為___________.【答案】【解析】對，有，則當時，有，當時，有，則有，故的展開式中的系數為.故答案為：.13.柯西不等式是數學家柯西(Cauchy)在研究數學分析中的“流數”問題時得到的一個重要不等式,而柯西不等式的二維形式是同學們可以利用向量工具得到的:已知向量，，由得到，當且僅當時取等號.現已知，，，則的最大值為_______.【答案】【解析】令，又，，，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為.故答案為：14.已知正三棱錐的底面邊長為6，體積為，動點在棱錐側面上運動，并且總保持，則動點的軌跡的長度為__________.【答案】【解析】如圖，取的中心為，連接，作于，連接，延長交于點，注意到底面三角形是等邊三角形，所以，由正三棱錐的性質可得為高，因為底面邊長為6，體積為，所以，所以，注意到底面三角形是等邊三角形，所以為三角形外接圓的半徑，所以由正弦定理有，所以，所以.因為面，面，所以，又因為，面，面，所以面，因為面，所以，因為，且，面，面，所以平面，因為平面，所以，又因為動點在棱錐側面上運動，并且總保持，所以點的軌跡為線段.在等腰三角形中，由余弦定理有，從而，所以.故答案為：.四、解答題15.已知函數在處的切線平行于直線.（1）求的值；（2）求的極值.解：（1）由已知可得，而直線的斜率為，所以；（2）由（1）得，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；故極大值為，極小值為.16.某高校對參加軍訓的4000名學生進行射擊、體能、傷病自救等項目的綜合測試，現隨機抽取200名軍訓學生，對其測試成績（滿分：100分）進行統計，得到樣本頻率分布直方圖，如圖.（1）根據頻率分布直方圖，求出的值并估計這200名學生測試成績的平均數（單位：分）.（2）現該高校為了激勵學生，舉行了一場軍訓比賽，共有三個比賽項目，依次為“10千米拉練”“實彈射擊”“傷病救援”，規則如下：三個環節均參與，三個項目通過各獎勵200元、300元、500元，不通過則不獎勵.學生甲在每個環節中通過的概率依次為，，，假設學生甲在各環節中是否通過是相互獨立的.記學生甲在這次比賽中累計所獲獎勵的金額為隨機變量，求的分布列和數學期望.（3）若該高校軍訓學生的綜合成績近似服從正態分布，其中近似為樣本平均數，規定軍訓成績不低于98分的為“優秀標兵”，據此估計該高校軍訓學生中優秀標兵的人數（結果取整數）.參考數據：若，則，，.解：（1）有圖可得，解得，；（2）的可能取值為、、、、、、，，，，，，，，則其分布列為：；（3），，則,又，故，，故可估計該高校軍訓學生中優秀標兵的人數為人.17.如圖，四棱錐中,二面角的大小為,，，是的中點.（1）求證：平面平面；（2）若直線與底面所成的角為，求二面角的余弦值.（1）證明：由，得，則，所以，即.由二面角的大小為，知平面平面，即平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：過作的垂線，交延長線于點H，連接AH，由平面平面，平面平面，平面，，所以平面，則為在底面內的射影，所以為直線與底面所成的角，即.由，知且為鈍角三角形，設，得，，在中，，在中，，由余弦定理得，有，所以，過作，則底面，所以兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，，所以，設平面和平面的一個法向量分別為，則，，令，則，所以，則，故所求二面角的余弦值為.18.已知橢圓的離心率為，且橢圓過點，，，，分別是橢圓上不同的四點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與直線交于點，且，，求實數的最大值.解：（1）根據題意可得，解得，所以橢圓的標準方程為；（2）因為，所以點在橢圓內，設直線的方程為，則直線的方程為，聯立，消得，設，則，所以，同理，所以，當時，，當且僅當，即時取等號，當時，，綜上所述，實數的最大值為.19.已知集合，其中都是的子集且互不相同，記的元素個數，的元素個數.（1）若，直接寫出所有滿足條件的集合；（2）若，且對任意，都有，求的最大值；（3）若且對任意，都有，求的最大值.解：（1）因為，則和的元素個數均為1，又因為，則，若，，則或；若，，則或；綜上或或或.（2）集合共有32個不同的子集，將其兩兩配對成16組，使得，則不能同時被選中為子集，故.選擇的16個含有元素1的子集:，符合題意.綜上，.（3）結論:，令，集合符合題意.證明如下：①若中有一元集合，不妨設，則其它子集中都有元素1，且元素都至多屬于1個子集，所以除外的子集至多有個，故.②若中沒有一元集合，