高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省煙臺市2024-2025學年高一上學期期末學業水平診斷數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.2.函數的零點所在的區間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，且函數的定義域是0,+∞，定義域內是增函數，也是增函數，所以是增函數，且，所以函數的零點所在的區間為.故選：B.3.已知點在角終邊上，則下列角中與終邊相同的是（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由題意，得，，則與終邊相同的是.故選：B.4.溶液酸堿度是通過pH計算的，pH的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.若胃酸中氫離子的濃度是摩爾/升，則胃酸的pH為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，得若胃酸中氫離子的濃度是摩爾/升，則胃酸的pH為：.故選：C.5.《九章算術》是我國古代的數學名著，其中《方田》一章記錄了弧田面積的計算問題.如圖，某弧田由弧和其所對的弦圍成，若弦長度為2，弧所對的圓心角的弧度數為2，則該弧田的面積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】過作，垂足為，易知為中點，，因為，，所以，，所以弧的長為，因為，，所以弧田的面積.故選：D.6.已知冪函數的圖象經過點，則（）A.的定義域為 B.的值域為C.為偶函數 D.是其定義域上的減函數【答案】C【解析】設，則，解得，故，則的定義域為，故A錯誤；的值域為，故B錯誤；，則為偶函數，故C正確；在和上分別單調遞減，不能說是在其定義域上的減函數，故D錯誤.故選：C.7.設，，，則a，b，c的大小關系為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因為在上為增函數，且，所以，即，因此因為，，所以，而函數在是增函數，因此因為在上為增函數，且，所以，即，因此綜上所述，故選：A.8.已知函數，則（）A.為偶函數，且在上單調遞增B.為偶函數，且在上單調遞減C.為奇函數，且在上單調遞增D.為奇函數，且在上單調遞減【答案】A【解析】因為的定義域為，并且，又，所以為偶函數；設、，并且，則，，所以，，，于是，即，所以在上單調遞增，所以A正確，BCD錯誤.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，且，則（）A.的定義域為 B.為偶函數C.在上單調遞減 D.的最大值為0【答案】AB【解析】函數，且，解得，故函數的定義域為，又，∴fx為偶函數.，不知道還是，故不能判斷的單調性和最值情況，綜上，AB正確，CD錯誤.故選：AB.10.已知函數的圖象關于直線對稱，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關于點對稱C.在區間上單調遞增D.若在上有3個零點，則【答案】ABD【解析】因為的圖象關于直線對稱，所以，解得，又，所以，所以，所以最小正周期，故選項A正確；因為，所以的圖象關于點對稱，故選項B正確；當時，，所以在區間上不單調，故選項C錯誤；當時，，因為在上有3個零點，所以，解得，故選項D正確，故選：11.若定義在上的函數滿足：對任意的，都存在唯一的，使得，則稱函數是“函數”，則下列說法正確的有（）A.是“函數”B.是“函數”C.若是“函數”，則D.若是“函數”，則【答案】ACD【解析】設在上的值域為集合S，在上的值域為集合T，因為對任意的，都存在唯一的，使得，則必須滿足對于A，在上的值域為，即，在上的值域為即滿足，且由的圖像可得對任意的，都存在唯一的，使得，故是“函數”，故A正確；對于B，在上的值域為即在上的值域為，即，不滿足，故不是“函數”，故B錯誤；對于C，，其圖像關于對稱，當時，在上的值域為即在上的值域為，即若是“函數”，由，所以，解得，與矛盾.當時，在上的值域為，即，在上的值域為即若是“函數”，由，所以，即，解得且由的圖像可知對任意的，都存在唯一的，使得，故滿足題意.綜上所述，若是“函數”，則，故C正確；對于D，若，在上單調遞增，所以在上的值域為，即，在單調遞減，在上單調遞增，所以在上的值域為即則，所以，解得，又，所以要滿足對任意的，都存在唯一的，使得，則需，解得，所以當時，此時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上的值域為，即，在上的值域為，即由的圖像可得，對任意的，都存在唯一的，使得，故符合題意.當時，在上單調遞減，在單調遞減，在上單調遞增，所以在上的值域為即在上的值域為，即此時，即，不滿足任意的，都存在唯一的，使得，綜上所述，，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數的定義域為__________.【答案】【解析】由題意，，所以，，所以，，所以函數的定義域為.13.某摩天輪示意圖如下圖所示，其半徑為100m，最低點A與地面距離為8m，轉動一圈.若該摩天輪上一吊箱視為質點)從A點出發，按順時針方向勻速旋轉，則吊箱B第4次距離地面158m時，所經歷的時長為__________.(單位：【答案】40【解析】以O為坐標原點，如圖建立平面直角坐標系，設吊箱B離地面的高度為h，則，令，得，或，，或，，因為第4次達到158m，所以時，吊箱B第4次距離地面158m.14.已知函數，且下列四個結論：①是的零點，②是的零點，③的零點之積為3，④方程只有一個實根，只有一個結論錯誤，則錯誤結論的序號為__________；若方程有三個不等的實根，則實數a的取值范圍為__________.【答案】②【解析】函數，因為在0<x<2上單調遞增，在上單調遞減，若時，令，解得，所以若函數有零點，只能在上存在唯一一個零點，由題可知，四個結論中，①和②③均矛盾，故，若函數滿足方程只有一個實根，需，矛盾；若時，令，解得，所以函數在0<x<2上有一個零點，且，由題可知①和②矛盾，若①是正確結論，則，因為的零點之積為3，所以，解得，此時，在0<x<2上有，在上有，滿足題意；若②是正確結論，則，因為的零點之積為3，所以，解得，此時，在0<x<2上有，在上有，不滿足題意，故②結論錯誤；因為，若，即，因為，結合韋達定理可知，方程必有兩個異號實根，故在上只有一個根，所以在0<x<2上有兩個不同實根，根據圖像可得所以，解得故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.化簡求值：（1）（2）若，求的值.解：（1）.（2）因為，所以16.已知函數的部分圖象如圖所示.（1）若，求的值；（2）求方程的解.解：（1）由圖象可知，所以，于是，，解得，又，所以，所以因為，所以，所以（2）因為，所以或解得或.17.某企業為了解每月廣告投入費用單位：萬元)與月利潤單位：萬元)的關系，統計了前三個月每月廣告投入費用x與月利潤y的數據，如下表所示：（1）當每月廣告投入費用不超過12萬元時，x與y之間的關系有兩個函數模型與可供選擇，利用表中前兩個月的數據分別求出兩個函數模型的解析式，并根據第三個月的數據，選出更符合實際的函數模型（2）已知每月廣告投入費用超過12萬元時，x與y滿足關系結合第（1）問的結果，求該企業每月廣告投入費用x在什么范圍時月利潤不少于64萬元?解：（1）若選用函數將點，代入可得解得，，所以當時，得若選用函數，將點，代入可得，解得，，所以當時，得，因為，即模型與實際數據差距更小，所以更符合實際的函數模型為（2）當時，令，即，所以當時，由，解得，所以所以該企業每月廣告投入費用x在時月利潤不少于64萬元.18.已知函數圖象上兩條相鄰的對稱軸之間的距離為（1）求的單調遞增區間；（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，設，若對任意，存在，使得成立，求實數a的取值范圍.解：（1）由題意，周期，所以，令，，解得，，所以的單調遞增區間為（2）由題意，因為對任意，存在，使得成立，所以當時，，所以當時，，，即令，則，，若，在上單調遞增，因為，所以，解得，若，在上單減，在上單增，因為，所以，解得，若，上單減，因為，所以，解得綜上，a的取值范圍為或19.已知函數的定義域為.（1）求a的取值范圍；（2）討論函數的單調性；（3）給定函數，，若其圖象與直線存在公共點，則稱是的一個“不動點”；若其圖象與直線存在公共點，則稱是的一個“次不動點”.若函數在上僅有一個“不動點”和一個“次不動點”，求a的取值范圍.解：（1）因為函數的定義域為，所以在上恒成立，即在上恒成立，又因為，當且僅當時，等號成立.所以a的取值范圍為（2）令，則為上的增函數，且設當時，函數在上單調遞增，又為增函數，由復合函數單調性，在上單增；當時，在上單減，在上單增，又為增函數，由復合函數單調性，在單減，在單調遞增.綜上，當，函數在上單調遞增；當時，函數單調遞減，在單調遞增.（