高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省泰山教育聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，，所以.故選：A.2.復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模等于（）A.5 B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，所以，故選：C3.已知直線與圓和圓均相切，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為所以兩個圓內(nèi)切，因此與兩圓均相切的直線為兩個圓的公共弦所在的直線方程，所以整理得，故選：.4.已知函數(shù)的圖象是下列四個圖象之一.且其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（）A. B.C D.【答案】D【解析】圖象可知，.故函數(shù)在處，切線的斜率為0，只有選項D滿足條件.故選：D5.定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由函數(shù)奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，由當(dāng)時，，當(dāng)時，，則不等式的解集為.故選：D.6.已知橢圓的左?右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，且，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，設(shè)，則，，，由，則，即，解得，所以，，，即，解得，所以橢圓的離心率.故選：D.7.已知函數(shù)，若在時恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在時恒成立，，，，，，設(shè),,時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；是的極小值點，的最小值是，，時恒成立，，的取值范圍為.故選：B8.已知中，為邊上的一點，為上的一點，且則有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)，設(shè)，則，，在Rt中，，，在Rt中，，，，故選：C.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某企業(yè)為了研究物流成本和企業(yè)利潤的數(shù)據(jù)關(guān)系，記錄了1月到8月的物流成本（單位：萬元）和企業(yè)利潤（單位：萬元）的數(shù)據(jù)，已知其中一組數(shù)據(jù)為且，根據(jù)最小二乘法公式求得經(jīng)驗回歸方程為，則（）A.若企業(yè)9月份物流成本預(yù)計為85萬元，預(yù)測9月企業(yè)利潤約為117.7萬元B.1月到8月企業(yè)的月平均利潤約為115萬元C.數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差為D.刪除一組數(shù)據(jù)后，重新求得的回歸直線的斜率變小【答案】AB【解析】根據(jù)回歸方程為可得，當(dāng)時，，預(yù)測9月企業(yè)利潤約為117.7萬元，故A正確；由，可得1月到8月的物流成本的平均值，設(shè)1月到8月企業(yè)的月平均利潤為，且點滿足回歸直線，所以，即1月到8月企業(yè)的月平均利潤約為115萬元，故B正確；當(dāng)時，，數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差為，故C不正確；刪除該組數(shù)據(jù)后，因為小于樣本中心點的橫坐標(biāo)，且大于通過回歸方程計算出的對應(yīng)的預(yù)測值，所以刪除改點后，樣本中心點向右上方移動，重新求得的回歸直線的斜率變大，故D不正確．故選：.10.我校舉辦清明詩會，在抽獎環(huán)節(jié)中，抽獎箱中放有分別寫有“我”“是”“中”“國”“人”字樣的五張卡片，甲，乙，丙三人每人抽一張，抽后不放回.抽獎規(guī)則如下：若抽到寫有“我”或“是”字的卡片則不中獎，若抽到寫有“中”字的卡片，則該同學(xué)中一等獎；若抽到寫有“國”或“人”字的卡片，則拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若硬幣國徽一面朝上，則該同學(xué)中二等獎，否則不中獎.則下面說法正確的是（）A.每位同學(xué)中一等獎的概率為B.甲同學(xué)中二等獎的概率為C.已知甲同學(xué)中獎，則其中一等獎的概率為D.三位同學(xué)都中獎的概率為【答案】ACD【解析】對于選項A，由題知，抽獎箱共有五張卡片，寫有“中”字的卡片只有一張，由古典概率公式可知，從五張中取一張卡片，中一等獎的概率為，由簡單隨機抽樣可知選項A正確，對于選項B，由題知甲同學(xué)中二等獎的概率為，所以選項B錯誤，對于選項C，記事件：甲同學(xué)中獎，事件：甲同學(xué)中一等獎，則，，所以，故選項C正確，對于選項D，因為三位同學(xué)都中獎，則甲，乙，丙三人抽到的三張卡片為：“中”，“國”，“人”，且拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，硬幣均國徽一面朝上，所以三位同學(xué)都中獎的概率為，故選項D正確，故選：ACD.11.在棱長為2正方體中，為的中點，是側(cè)面內(nèi)的一點（包含邊界），則以下結(jié)論正確的是（）A.若，則的軌跡長度為B.與所成角的最大值為C.若三棱錐的體積為定值，則D.若在線段上，則三棱錐的外接球表面積的取值范圍是【答案】AD【解析】對于A，取的中點，此時滿足，因為點在側(cè)面內(nèi)，所以以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為四分之一圓弧，該圓弧是以B為圓心1為半徑的圓的，故其軌跡長度為，故A正確；對于B，如圖所示，連接，在中，，同理可求得，所以為等腰三角形，當(dāng)點為的中點時，連接，此時有，在正方體中易知，故，此時與所成角為，故B錯誤；對于C，，所以（定值），故當(dāng)點與點重合時，滿足三棱錐的體積為定值，此時平面，平面，所以與不垂直，故C錯誤；對于D，設(shè)，當(dāng)點為的中點時，最大，取的中點，則，所以；當(dāng)點與點或點重合時，最小，此時，所以在球面上，的外接圓直徑三棱錐的外接球的直徑為三棱錐的外接球的半徑為三棱錐的外接球的表面積為，故D正確.故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.14題第一空2分，第二空3分.12.已知的展開式中項的系數(shù)為60，則實數(shù)的值為__________.【答案】【解析】，的二項展開式的通項為，令得，，的展示式中的系數(shù)為；令得，，的展開式中的系數(shù)為40，依題意，解得，故答案為：．13.若函數(shù)與直線相切，則實數(shù)的值為__________.【答案】【解析】設(shè)切點為，由得，，故切線斜率，由直線可知切線過，故，∴，解得，∴.故答案為：.14.對有個元素的總體進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個子總體和（m是給定的正整數(shù)，且），再從每個子總體中各隨機抽取2個元素組成樣本，用表示元素i和j同時出現(xiàn)在樣本中的概率，則_________；所有的和等于________.【答案】①.②.6【解析】從中隨機抽取2個元素，共有種不同的抽法，從中隨機抽取2個元素，共有種不同的抽法，所以從每個子總體中個隨機抽取2個元素組成樣本所有抽法，共有，從中隨機抽取2個元素，其中抽到1的抽法有種方法，從中隨機抽取2個元素，其中抽到的抽法有種方法，由古典概型的概率計算公式，可得.當(dāng)時，，而從中選兩個數(shù)的不同方法數(shù)為，則的和為1；當(dāng)時，同理可得的和為1；當(dāng)時，，而從中選取一個數(shù)，從中選一個數(shù)的不同的方法數(shù)為，則的和為4，所以.故答案為：；.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求；（2）若，求外接圓面積的最小值.解：（1）由整理得：，由正弦定理，可得，即，因為，所以，即，又因為，所以.（2）由正弦定理，外接圓的半徑，要使外接圓的半徑最小，只需最小，由余弦定理，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，則.故外接圓面積的最小值為.16.已知正項數(shù)列的前項和為，，且．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．解：（1）當(dāng)時，由，即，解得：，所以，則數(shù)列為首項為，公差為的等差數(shù)列；所以，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足條件，所以的通項公式為（2）由（1）知，，所以，故，即17.已知雙曲線，左?右頂點分別為，過的直線交雙曲線于兩點.（1）若在第一象限，是等腰三角形，求的坐標(biāo)；（2）連接并延長交雙曲線于，若，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，雙曲線，其中，因為為等腰三角形，點在第一象限，所以由雙曲線性質(zhì)可知，為三角形的底邊，，所以P點在以為圓心、3為半徑的圓上，設(shè)，其中，則有，解得，即.（2）由題意的斜率不為0，設(shè)直線，設(shè)點，則聯(lián)立得由已知二次項系數(shù)，且，即，所以，則即.代入得，即，化簡得，即，所以因為，代入，得，所以所以，綜上，18.某學(xué)校有甲、乙兩個圖書館.假設(shè)同學(xué)們可以任意選擇其中一個圖書館借閱，也可選擇不借閱，一天最多借閱一次，一次只能選擇一個圖書館.若同學(xué)們每次借閱選擇去甲或乙圖書館的概率均為，每次選擇相互獨立.設(shè)王同學(xué)在某周的三天內(nèi)去圖書館借閱的次數(shù)為，已知的分布列如下：（其中）0123（1）記事件表示王同學(xué)在這三天內(nèi)去圖書館借閱次，事件表示王同學(xué)在這三天內(nèi)去甲圖書館借閱的次數(shù)大于去乙圖書館借閱的次數(shù).當(dāng)時，試根據(jù)全概率公式求的值；（2）是否存在實數(shù)，使得，若存在，求的值：若不存在，請說明理由；解：（1）當(dāng)時，，則，解得；由題意，得，，，由全概率公式，得.（2）由，得，假設(shè)存在，使，將上述兩式左右分別相乘，得，化簡得：，設(shè)，則，，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以不存在使得，即不存在值，使得.19.如圖所示，用一個不平行于圓柱底面的平面截該圓柱所得的截面為橢圓面，得到的幾何體稱之為“斜截圓柱”.圖一與圖二是完全相同的“斜截圓柱”，是底面圓的直徑，，橢圓所在平面垂直于平面，且與底面所成的二面角的大小為.在圖一中，是橢圓上的動點，點在底面上的投影為點.在圖二中，橢圓上的點在底面上的投影分別為點，且點均在直徑的同一側(cè).（1）當(dāng)時，求的長度；當(dāng)時，試將的長度表示成關(guān)于的表達(dá)式；（2）（i）在圖二中，當(dāng)時，若點將半圓均分成5等份，求；（ii）證明：.解：（1）如圖1，取的中點，過點作與該斜截圓柱的底面平行的平面，交于點，交的延長線于點，與交于點.因為，所以.過點作的垂線，交圓于兩點，過點作交于點，又PI圓面圓面，所以.又因為，所以平面.因為平面，所以，所以為橢圓面與圓所在平面的夾角，即為橢圓面與底面所成的角，所以，則為等腰直角三角形，.設(shè)，如圖2，作圓所在平面的俯視圖，則，由，得，則，得，所以，當(dāng)時，（2）（i）當(dāng)時，，則，，