數學練習題全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區域內.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線和平面，則“”是“直線與平面無公共點”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據直線與平面的位置關系，結合充分，必要條件關系判斷.【詳解】因為包含和直線與平面相交兩種情況，因此若，則直線可以與平面無公共點也可以與平面有一個公共點，因此“”是“直線與平面無公共點”的必要不充分條件.故選：B．2.已知復數滿足（其中為虛數單位），則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意求出，即可得到，得出虛部.【詳解】，.，，的虛部為.故選:B.【點睛】此題考查復數的運算和概念辨析，易錯點在于沒能弄清虛部的概念導致選錯.3.如圖，在三角形中，是線段上的一點，若，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量線性運算，用基底向量表示出即可求解作答.【詳解】在中，設，則，因為，則有，解得，所以實數的值為.故選：A4.若棱臺的上、下底面面積分別為，高為，則該棱臺的體積為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】所求棱臺的體積為故選B5.已知，，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍為A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】可求出，根據與的夾角為鈍角即可得出，且不平行，從而得出，解出的范圍即可．詳解】；的夾角為鈍角；，且不平行；；解得，且；的取值范圍為：．故選B．【點睛】考查向量坐標的數量積運算，向量數量積的計算公式，向量平行時的坐標關系．6.如圖，在平行四邊形中，、分別為、的中點，設，，則向量=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得出，，將等式相加結合向量加法的平行四邊形法則可得出關于、的表達式.【詳解】由向量加法的平行四邊形法則可得，由已知，同理可得，所以，，因此，.故選：B.7.已知半球內有一個內接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內，若正方體的棱長為，則半球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意可知，球心為正方形的中心，由正方體的性質與勾股定理算出球的半徑，再利用求的表面積公式計算，即可得到該半球的表面積.【詳解】設正方體的底面在半球的底面圓上,則球心為正方形的中心，連結,正方體的棱長為,,,即半球的半徑為,半球的表面積為.故選：D8.在中，點滿足，過點的直線與、所在的直線分別交于點、，若，，則的最小值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意得出，再由，，可得出，由三點共線得出，將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】如下圖所示：，即，，，，，，，、、三點共線，則.，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為，故選：B.【點睛】本題考查三點共線結論的應用，同時也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解題時要充分利用三點共線得出定值條件，考查運算求解能力，屬于中等題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的是（）A.若，則存在唯一實數使得B.“”是“”的必要不充分條件C.已知為平面內兩個不共線的向量，則可作為平面的一組基底D.若點為的重心，則【答案】BCD【解析】【分析】A注意、為零向量，則不唯一，即可判斷；B根據充分、必要性的定義，結合條件間的推出關系判斷；C根據基底的性質判斷；D由重心是中線的交點，應用向量加法、數乘的幾何意義判斷.【詳解】A：若、為零向量，滿足前提，但不唯一，錯；B：對于，如非零向量，顯然此時不成立；對于，必有，故“”是“”必要不充分條件，對；C：由為不共線的向量，若，，顯然無解，所以也不共線，故可作為平面的一組基底，對；D：由重心是中線的交點，如下圖示為平行四邊形，過的中點，則，且，故，對.故選：BCD10.如圖，四邊形的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形，已知，，則下列說法正確的是（）A. B.C.四邊形的面積為 D.四邊形的周長為【答案】BC【解析】【分析】A選項，作出輔助線，得到各邊長，結合，求出；B選項，由斜二測法可知；C選項，作出原圖形，求出各邊，由梯形面積公式得到C正確；D選項，在C基礎上，求出各邊長，得到周長.【詳解】A選項，過點作⊥軸于點，因為等腰梯形中，，所以，又，所以，A錯誤；B選項，由斜二測法可知，B正確；C選項，作出原圖形，可知，，，⊥，故四邊形的面積為，C正確；D選項，過點作⊥于點，則，由勾股定理得，四邊形的周長為，D錯誤.故選：BC11.在中，角所對邊分別為，設的面積為，下列命題中正確的是（

）.A.若，則是等邊三角形B.若，則是等腰三角形C.若，則是直角三角形D.若，且，則是等邊三角形【答案】ACD【解析】【分析】對于A：利用正弦定理邊化角，即可得結果；對于B：舉反例說明即可；對于C：利用余弦定理角化邊，即可得結果；對于D：根據數量積結合面積公式可得，在結合余弦定理分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，由正弦定理可得，即，可知，所以是等邊三角形，故A正確；對于選項B：因為，由正弦定理可得，則，例如，則，符合題意，但不是等腰三角形，故B錯誤；對于選項C：因為，由余弦定理可得，整理可得，可知，所以是直角三角形，故C正確；對于選項D：因為，則，整理可得，且，可得，又因為，即，由余弦定理可得，即，整理可得，即，所以是等邊三角形，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.與向量方向相反的單位向量的坐標為________．【答案】【解析】【分析】根據單位向量求解得坐標公式直接計算.【詳解】因為，所以與向量方向相反的單位向量的坐標為.故答案為：13.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=2，B=45°，若三角形有兩解，則b的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，由有兩解，可得，且，從而即可求解.【詳解】由正弦定理可得，即，又，所以，因為有兩解，所以，且，所以，所以的取值范圍為,故答案為：.14.正三棱錐底面邊長為3，側棱長為，則該正三棱錐的高為________，側面上的斜高為________.【答案】①.3②.##【解析】【分析】運用正棱錐頂點和底面中心的連線即是棱錐的高，再用勾股定理可求棱錐的高，根據正棱錐側面是等腰三角形可求斜高.【詳解】如圖，正三棱錐，取的中心為O，連接PO，由正三棱錐的定義得面ABC，又為等邊三角形，則，所以正三棱錐的高，作交AB于D，又，，則正三棱錐的斜高，所以該正三棱錐的高為3，側面上的斜高為.故答案為：3，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字聲明、證明過程及演算步驟.15.已知平面向量.（1）若，求的值；（2）若求的值；（3）若向量，若與共線，求【答案】（1）（2）（3）18【解析】【分析】（1）由垂直向量的數量積為零，建立方程求得向量坐標，利用向量的坐標運算，可得答案；（2）由平行向量的坐標表示，建立方程求得向量坐標，利用向量的模長公式，可得答案；（3）由向量的坐標運算，求得向量坐標，利用平行向量的坐標表示，建立方程，可得答案.【小問1詳解】因為，所以，則，解得，故，.【小問2詳解】因為，所以，則，.【小問3詳解】，，若與共線，則，解得，即，故.16.已知復數（是虛數單位，），且為純虛數（是的共軛復數）．（1）設復數，求；（2）設復數，且復數所對應的點在第一象限，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)先根據條件得到，進而得到，由復數的模的求法得到結果；（2）由第一問得到，根據復數對應的點在第一象限得到不等式，進而求解.【詳解】∵，∴.∴.又∵為純虛數，∴，解得．∴.（1），∴；（2）∵，∴，又∵復數所對應的點在第一象限，∴，解得：．【點睛】如果是復平面內表示復數的點，則①當，時，點位于第一象限；當，時，點位于第二象限；當，時，點位于第三象限；當，時，點位于第四象限;②當時，點位于實軸上方的半平面內；當時，點位于實軸下方的半平面內．17.如圖所示，某建筑物模型無下底面，有上底面，其外觀是圓柱，底部挖去一個圓錐.已知圓柱與圓錐的底面大小相同，圓柱的底面半徑為，高為，圓錐母線為.（1）計算該模型的體積.（結果精確到）（2）現需使用油漆對500個該種模型進行涂層，油漆費用為每平方米30元，總費用是多少？（結果精確到1元）【答案】（1）（2）（元）【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出圓錐的高，再根據圓錐的體積公式即可得解；（2）求出該模型的表面積，進而可得出答案.【小問1詳解】設圓錐的高為，由題意得圓錐母線為10cm，則，；【小問2詳解】圓柱的側面積為，圓柱的上底面的面積為，圓錐側面積為.，故總費用為（元）.18.在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知R是該三角形外接圓的半徑，且．（1）求角C；（2）若的面積為S，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，由此求得.（2）將轉化為角的形式，由此求得取值范圍.【小問1詳解】依題意，，，由正弦定理得，所以，，所以，所以為銳角，且.【小問2詳解】，由于三角形是銳角三角形，所以，所以，所以，所以的取值范圍是.19.如圖，設、是平面內相交成的兩條射線，、分別為、同向的單位向量，定義平面坐標系為仿射坐標系，在仿射坐標系中，若，則記.（1）在仿射坐標系中，若，求；（2）在仿射坐標系中，若，，且與的夾角為，求；（3）如圖所示，在仿射坐標系中，、分別在軸、軸正半軸上，，，、分別為、中點，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題意可知，，利用平面向量數量積的運算性質可求得的值；（2）計算出、、，利用平面向量的夾角公式可得出關于的方程，解之即可；（3）設、，利用平面向量的線性運算得出、關于、的關系式，利用余弦定理可得出和平面向量數量積的運算性質化簡得出，設，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等變換以及正弦函數的有界性可求得的最大值.【小問1詳解】由題意可知，、的夾角為，由平面向量數量積的定義可得，因為，則，.則，所以