初中數學閱讀理解題專題

【前言】

新課標以來中考題型越來越活，閱讀理解題出現在數學當中就是最大的一個亮點。不

同以往的單純“給條件”1。“求結果”式的題目，閱讀理解往往是先給一個材料，或介紹一

個超綱的知識，或給出針對某一種題目的解法，然后再給條件出題。對于這種題來說，如

果考生為求快速而完全無視閱讀材料而在接去做題的話，往往浪費大量時間也沒有思路，

得不償失。所以如何讀懂題以及如何利用題就成為了關謔，讓我們先看以下的例題。

第一部分真題精講

【例1】2010,朝陽,一模

請閱讀下列材料

問題：如圖I,在等邊三角形ABC內有一點P,且PA=2,PB=JJ,PC=1.求/BPC

度數的大小和等邊三角形ABC的邊長.

李明同學的思路是：將^BPC繞點B順時針旋轉60。，畫出旋轉后的圖形（如圖2）.連

接PP,可得△PTB是等邊三角形，而△PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）.所

以NAPC=150。，而/BPC=NAPC=15（）。.進而求出等邊△ABC的邊長為J7.問題得到解

決.

請你參考李明問學的思路，探究開解決下列問題：如圖3,在正方形ABCD內有一點

P,且PA=J^,BP=0\PC=I.求NBPC度數的大小和正方形ABCD的邊長.

度將已知條件放在同一個（組）圖形中實行研究。旋轉60度以后BP就成了BP'.PC成了

P'A,借助等量關系BP'二PP、,于是AAPP'就能夠計算了.至于說為什么是60。，則完全是因為

大圖形是等邊三角形，需要用60度去構造另一個等邊三角形。看完這個，再看所求的問題，

幾乎是一個一模一樣的問題，只不過大圖形由三角形變成了正方形。那么根據題中所給的

思路，很自然就會想到將aBPC旋轉90度看看行不行,旋轉90度之后，成功將PC挪了

出來，于是很自然做AP.延長線，構造出?個直角三角形來，于是問題得解。說實話如果

完全不看材料，在正方形內做輔助線，當成一道普通的線段角計算問題也是能夠算的。但

是借助材料中已經給出的旋轉方法做這道題會非常簡單快捷。大家能夠從本題中體會一下

領會材料分析方法的重要性所在。

【解析】

(1)如圖，將ZiBPC繞點B逆時針旋轉90。，得“BP，A,則△BPCZZ\BP'A.

???AP』PC=1,BP=BP/=V2.

連結PP1

在RtABPT中,

VBP=BPr=V2?NPBP'=90°,

/.PP，=2,NBPP=45。.

在△APT中，AP'=APP'=2,AP=行,

V12+22=(V5)2.即AP2+PP2=AP2.

:.△APT是直角三角形,即NAPfP=90°.

:./AP'B=135°.

,ZBPC=ZAPfB=l35o.…

(2)過點B作BE_LAP，交AP的延長線于點E.

???ZEPfB=45°.Z.EP,=BE=I..\AE=2.

???在RSABE中，由勾股定理，得AB=6.

???ZBPC=135°,正方形邊長為J5.

【例2】2010,大興，一模

若%,看是關于X的一元二次方程以2+Z?x+c=0(aw0)的兩個根，則方程的兩個根

bc

4招和系數〃，/“有如下關系：r.+r=--,r,-r=-.我們把它們稱為根與系數關系

2a~2a

定理.

如果設二次函數y=ax2+Z?x+c(awO)的圖象與x羯的兩個交點為4%,0),8(出,。),利用

根與系數關系定理我們又能夠得到A、B兩個交點間的距離為：

22

4nl?R-------75~~A------1b、、_4clb-4acyjb-4ac

A8=X)一閭=\J(X\+x。)-.i(—)-----=J---；—=------j-i------

一\aa\a\a\

請你參考以上定理和結論，解答下列問題：

設二次函數y=ad+加+c（a>0）的圖象與x軸的兩個交點為4內,0）1（七,0）,拋物線

的頂點為C,顯然為等腰三角形.

（1）當A48C為等腰直角三角形時，求6-4ac的值；

（2）當A48c為等邊三角形時，b2-4ac=

<3）設拋物線y=f+辰+1與x軸的兩個交點為A、B，頂點為C,且乙4。3=90。,

試問如何平移此拋物線，才能使N4CB=60°?

【思路分析】本題也是較為常見的類型，即先給出一個定理或結論，然后利川它們去

解決一些問題。題干中給出拋物線與X軸的兩交點之間的距離和表達式系數的關系,那么第

一問要求y-4收取何值時AABC為等腰直角三角形.于是我們能夠想到直角三角形的性質

就是斜邊中線等于斜邊長的一半.斜邊中線就是頂點的縱坐標,而斜邊恰好就是兩交點的距

離.于是將從-4所作為一個整體，列出方程求解.第二問也是一樣，把握等邊三角形底邊與中

線的比例關系即可.第三問則能夠直接利用第一問求得的爐一4〃。值求出K,然后設出平移后

的解析式，使其滿足第二叵的結果即可.注意左右平移是不會改變度數的，只需上下即可。

【解析】.（D解：當△A8C為等腰直角三角形時，過C作COJ.48,垂足為。，

則AB=2CD

???拋物線與x軸有兩個交點，（不要忘記這個步的論證）

忙-4ad=。2-4碇

???”工0,

aC）（看成一個整體）

,,他2—4。力

?,力2_4ac='------------

4

h2-4ac=4...

⑵當△ABC為等邊三角形時，b^-Lac=12

(3)VZACB-90°,

???b1-4ac=4?

即％2-4=4，

?**k=±2x/2

因為向左或向右平移時，N4C4的度數不變，

所有只需要將拋物線.y=x2±2>/2A-+1向上或向下平移使NACB=60。，

然后向左或向右平移任意個單位即可.

設向上或向下平移后的拋物線解析式為：y=』±2jir+l+/〃，

???平移后ZACB=60。，???/—4ac=12，

:.m=-2.

???拋物線），=』+h+1向下平移2個單位后，向左或向右平移任意個單

位都能使NAC8的度數由90。變為60°

【例3】2010,房山，一模

閱讀卜.列材料：

小明遇到一個問題：如圖1,正方形ABCQ中，E、F、G、〃分別是AB、BC、CD

和邊上靠近A、8、C、。的〃等分點，連結AF、BG、CH、DE，形成四邊形MNPQ.求

四邊形MNPQ與正方形ABC。的面積比（用含〃的代數式表示）.

小明的做法是：

先取〃=2,如圖2,將△相"繞點8順時針旋轉90。至△C8M,再將△ADM繞點。

逆時針旋轉90。至△COM'得到5個小正方形，所以四邊形MNPQ與正方形A8CO的面積

比是：；

然后取〃=3,如圖3,將△A8N繞點8順時針旋轉90。至△CBN'再將△AQM繞

點D逆時針旋轉90°至“DM',得到10個小正方形，所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的

42

面積比是行，即不

1UJ

請你參考小明的做法，解決下列問題：

（1）在圖4中探究〃=4時四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比（在圖4上畫圖并

直接寫出結果）：

（2）圖5是矩形紙片剪去一個小矩形后的示意圖，請你將它剪成三塊后再拼成正方

形（在圖5中畫出并指明拼接后的正方形）.

A

都是矩形

E

B

圖4

圖5

【思路分析】本題屬于典型的那種花10分鐘讀懂材料畫1分鐘就可以做出來題的類

型。材料給出的方法相當精妙，考生只要認真看過去并且理解透這個思路，那么不光是這

道題可以做，以后碰見類似的題目都可以用這種方法。材料中所給方法就是將周邊的四個

三角形其中的兩個旋轉90。，將三角形放在矩形當中去討論面積。事實上無論是幾等分點，

所構造出來的四個小三角形4AMD,AABN,ABPC,ACQD都是全等的，并且都是90

度，那么他們旋轉以后所對應的就是兩個矩形，如圖三中的BN'PC和CM'DQo而矩形的

面積恰好和中間正方形的面積有聯系（想想看，是怎樣用N等分點去證明面積比例的）于

是順理成章當N等于4的時候，去構造一個類似的網格，第一問就出來了。至于第二問和

裁剪問題沾點邊，完全就是這個技巧方法的逆向思考，重點就在于找出這個多邊形是由哪

兒部分構成。于是按下圖，連接BC,截外接矩形為兩個全等的直角三角形，然后旋轉即可。

說白了，這種帶網格的裁剪題，其實最關鍵的地方就在于網格全是平行線，利用平行線截

線段的比例性質去找尋答案。

【解析】

四邊形MNPQ與正方形ABCD的拼接后的正方形是正方形ABCD.

9

面積比是力.

【例4】2010,海淀，一模

閱讀：如圖1,在AABC和中，=ZDEF=90°,AB=DE=a,BC=EF=b

（。<〃），8、。、D、E四點都在直線，〃上，點3與點。重合.

連接AE、FC,我們可以借助于Lb和43的大小關系證明不等式：a2+b2>2ab

(b>a>0).

證明過程如下:

*/BC=b,BE=a,EC=b-a.

圖1

S^=-ECFE=-(b-a}b.

CE22

>?b>a>0,

?Q>S

即—(b-a)b>-(b-a)a.

22

?e?-ab>ab-a1.

a2+b2>2ab.

解決下列問題:

（1）現將△DEE沿直線機向右平移，設8。=4（力-〃）,且04&W1.如圖2,當3。=七。

時，k=.利用此圖，仿照上述方法,證明不等式：a2+b2>2ab（b>a>0）.

（2）用四個與&43c全等的直角三角形紙板進行拼接，也能夠借助圖形證明上述不

等式.請你畫出一個示意圖，并簡要說明理由.

【思路分析】本題是均值不等式"+從>2<而的,種幾何證明方法。材料中的思路就

是利用兩個共底三角形的面積來構建不等式，利用〃〉〃>。來證明。其中需要把握的幾個

點就是（b-a）是什么，以及如何通過（b-a）來造出/和6,首先看第一問說要平移ADEF,

在平移過程中，DE的長度始終不變，EF垂直于M的關系也始終不變。那么此時（b-a）代

表什么？自然就是BD和ED之和了。于是看出K侑。接下來就是找那兩個可以共底的三

角形，由于材料所給提示，我們自然想到用BD來做這個底，而高自然就是AB和EF。于

是連接AD,4ABD和4BDF的面積就可以引出結果了。第二問答案不唯一，總之就是先

調整出（b-a）可以用什么來表達，然后去找b和a分別和這個（b-a）的關系，然后用面積

來表達出/和〃的式子就可以了，大家可以繼這個思路多想想。

【解析】（1）

證明：連接4）、BF.

SMmAS='X；X-4)?a=；a(b-a),

乙乙乙41

b>a>0,

,*SM/U)<Sv加?

即卜(〃-a)<卜(〃-a).

ah-a2<b2-ab.

:.a2+b~>lab.

(2)

延長BA、FE交于點L

Yb>a>0f

?<,$矩形1BCE>稀，：形ABCD?

EPb[b-a)>a(b-a).

b1-ab>ab-a1.

**?a2+b2>lab.

四個直角三角形的面積和&=4x=2",

大正方形的面積52=/+//.

,?b>a>0,

52>Sj.

a2+b2>lab.

【例5】2010,昌平，一模。

閱讀下列材料：

將圖1的平行四邊形用一定方法可分割成面積相等的八個四邊形，如圖2,再將圖2

中的八個四邊形適當組合拼成兩個面積相等同不全等的平行四邊形.（要求：無縫隙且不重

疊）

請你參考以上做法解決以下問題：

（1）將圖4的平行四邊形分割成面積相等的八個三角形；

（2）將圖5的平行四邊形用不同于（1）的分割方案，分割成面積相等的八個三角形,

再將這八個三角形適當組合拼成兩個面積相等且不全等的平行四邊形，類比圖2,圖3,用

數字1至8標明.

形。要保證平行就需要這些小四邊形的邊長都是平行且相等的。第一問是面積相等，那么

直接利用中點這一個重要條件去做。第二問是分割為能重新組成平行四邊形的三角形，那

么就要想如何利用三角形去構建平行和相等的關系呢？「是可以想到平行四邊形的對角線

所分的三角形恰好也就滿足這種條件。于是從平行四邊形的對角線出發，去拆分出8個小

三角形來。具體答案有很多種，在此也不再累述。

【總結】這種閱讀理解題是近年來中考題的新趨勢，如果沒有材料直接去做的話，往

往得不到思路。但是如果仔細理解材料中所給的內容，那么就會變得非常簡單。這種題的

重點不在于考察解題能力，而在于考察分析，理解和應用能力。專門去找大量的類似題目

去做倒也不必，而培養審題，分析的能力才是最重要的。考生拿到這種題，第一就是要靜

卜.心來慢慢看，切記不可圖方便而草草看完材料就去做題，如果這樣往往冥思苦想半天還

要歸I來看，浪費了大量時間。裁剪問題和拼接問題也是經常出現在此類問題當中的，面對

這種題要把握好構成那些等量關系的要素，如中點，N等分點等特殊的元素。綜合來說只

要仔細理解材料中的意圖，那么這一部分的分數十分好拿，考生不用太過擔心。

第二部分發散思考

【思考1】幾何模型：

條件：如下左圖，A、B是直線/同旁的兩個定點.問題：在直線/上確定一點P,

使PA+P8的值最小.

方法：作點A關于直線/的對稱點A,連結A8交/于點P,則幺+尸8=48的值

最小（不必證明）.

模型應用：

(1)如圖1,正方形A8CQ的邊長為2,E為43的中點，P是AC上一動點.連

結BD,由正方形對稱性可知，8與。關于直線AC對稱.連結E。交AC于P,則

PB+PE的最小值是；

(2)如圖2,。。的半徑為2,點A、B、C在00上，OXLOB,ZAOC=60°,

P是0B上一動點，則PA+PC的最小值是___________；

(3)如圖3,ZAOB-45°,。是NAO8內一點，PO-10,Q、區分別是04、OB

上

動點，則周長的最小值是.

【思路分析】利用對稱性解題的例題。前兩個圖形比較簡單，利用正方形和圓的對稱

性就可以了。第三個雖然是求周長，但是只要將這個題看成是從P點到Q,然后到R再折

回來的距離最小，當成是那種“將軍飲馬”題目去做就可以了。

【思考2】

直.角三角形通過剪切可以拼成一個與該直角三角形面積相等的矩形，方法如下:

請你用上面圖示的方法，解答下列問題：

(1)對任意三角形，設計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原三角形面積相等

的矩形；

(2)對任意四邊形，設計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原四邊形面枳相等

的矩形.

并且由底邊頂點做中位線的垂線。那

么如下圖，箭頭所指的兩個三角形就是全等的，另外一邊也是一樣，所以這種裁減方法就

是利用全等來走。第一問純屬送分，按材料中所給的三角形拆法就可以了。第二問說裁剪

梯形，實質上梯形就是由兩個三角形組成的，所以隨便找一條對角線將梯形拆開，然后按

【思考3】

將圖①，將一-張直角三角形紙片ABC折疊，使點A與點C重合，這時DE為折痕，

△CBE為等