《生活中的變量關系》教學設計教學設計一、導入新課現實世界中充滿了變化，靜止是相對的，運動是永恒的我們的生活中存在著各種各樣的變量關系，其中函數關系是描述這種變化的重要數學模型，也是數學的基本概念，函數思想是研究問題的重要數學思想之一.思考：人的體重和身高具有函數關系嗎？小麥的畝產量和畝施肥量具有函數關系嗎？正方體的體積和棱長具有函數關系嗎？如何判斷呢？這就是本節課要學習的內容.二、研探新知，建構概念提出問題：（1）初中所學的函數的定義是什么？（2）如何確定兩個變量具有函數關系？討論結果：（1）函數的定義：如果在一個變化過程中，有兩個變量x和y，對于x的每一個值，y都有唯一的值和它對應，那么就說y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量.（2）定義法：當且僅當變量x每取一個值，另一個變量y總有唯一確定的值與之對應時，變量x，y之間具有函數關系，并且y是x的函數.例1下圖是某高速公路加油站的圖片，加油站在地下常用圓柱體儲油罐儲存汽油.儲油罐的長度d、截面半徑r是常量，油面高度h、油面寬度、儲油量V是變量.這些變量中，請指出哪兩個變量具有依賴關系，哪兩個變量具有函數關系.活動：學生結合生活經驗思考，教師可提示，也可介紹相關知識.解：儲油量V與油面高度h存在著依賴關系，儲油量V與油面寬度也存在著依賴關系.質疑解惑，發展思維：問題：兩種關系都是函數關系嗎？1.生活中變量及變量之間的依賴關系隨處可見，并非有依賴關系的兩個變量都有函數關系.只有滿足對于其中一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一確定的值時，才稱它們之間有函數關系.對于油面高度h的每一個取值，都有唯一的儲油量V和它對應，所以，儲油量V是油面高度h的函數.而對于油面寬度的一個值，可以有兩種油面高度和它對應，于是可以有兩種儲油量V和它對應，所以，儲油量V不是油面寬度的函數.2.函數關系一定是依賴關系，而依賴關系不一定是函數關系.思考與交流：進一步分析上述儲油罐問題，討論：（1）還有哪些常量？哪些變量？答：常量：圓柱底面積，油罐的容積，油的密度等.變量：油的體積，圓柱底面上的弓形面積等.（2）哪些變量之間存在著依賴關系？答：儲油量和油的體積，儲油量和圓柱底面上的弓形面積，油的體積和油面寬度.（3）哪些依賴關系是函數關系？哪些依賴關系不是函數關系？答：儲油量和油的體積的關系是函數關系，儲油量和圓柱底面弓形面積的關系是函數關系.油的體積和油面寬度的關系不是函數關系.總結判斷是否是函數關系的步驟：（1）確定因變量和自變量；（2）判斷對于自變量的每一個確定的值，因變量是否有唯一確定的值與之對應，若滿足，則是函數關系，否則不是函數關系.設計意圖：通過問題情境，引出數學與生活的聯系，感受生活中處處有數學，激發學生的學習興趣.通過層層設問，讓學生掌握依賴關系和函數關系的概念及其區別.例2自2008年京津城際列車開通運營以來，高速鐵路在中國大陸迅猛發展，截至2017年年底，中國高鐵運營里程突破25000km，如圖表示的是中國高鐵年運營里程的變化.觀察上圖，提出問題：（1）高鐵運營里程和年份的關系是函數關系嗎？（2）高鐵運營里程與年份的變化有什么特點？活動：學生思考、討論，教師適當提示或點撥.解：不難看出：（1）隨著時間的變化，高鐵運營里程在變化，它與年份存在著依賴關系，所以，高鐵運營里程可以看成因變量，年份可以看成自變量，從而高鐵運營里程和年份的關系是函數關系.（2）從2008年到2017年，高鐵運營里程是不斷增加的，與前一年相比，2014年增長得最多.設計意圖：從圖中分析變量之間的依賴關系，然后判斷這種依賴關系是否是函數關系.例3、例4、例5見教材第49頁.教師留充分的時間讓學生思考完成，然后找部分學生分享結果.例6國內某快遞公司郵寄普通貨物限重30kg，從A城市到B城市的快遞資費標準是：質量1kg及以下收費12元，以后質量每增加1kg收費增加8元，質量不足1kg按1kg計算.請寫出郵件質量mkg與郵資M元的函數關系式，并畫出局部圖象.提出問題：1.填寫下表.郵件質量0.511.21.322.12.9329.330郵資M/元2.根據上表我們可以看出，隨著質量的變化收費隨之變化，而且是單值對應，郵件質量是郵資的函數.這種變化的規律是否一直不變？該怎樣分界？分成幾段？m的相應范圍是什么？3.你能寫出郵件質量mkg與郵資M元的函數關系式嗎？4.如何畫出該函數的局部圖象？學生先獨立思考，然后和同學討論交流，展示結果.解：依題意知郵件質量mkg與郵資M元的函數關系式為該函數的局部圖象如圖所示.分段函數的定義：自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內有不同的對應法則的函數叫作分段函數.設計意圖：通過本例，引出分段函數的概念，讓學生對分段函數有初步的了解和認識.教師要特別強調分段函數圖象的畫法，特別是分界點處圖象的畫法.通過畫函數圖象培養學生的直觀想象核心素養.思考與交流：（1）分段函數是一個函數還是幾個函數？（2）分段函數的自變量的取值范圍是什么？（3）你還能舉出一些用分段函數描述的實際問題嗎？結論：（1）分段函數是一個函數.（2）分段函數自變量的取值范圍是各部分取值范圍的并集.（3）在生活中，有很多可用分段函數描述的實際問題，如出租車的計費、個人所得稅的稅率等.設計意圖：通過問題設計，讓學生結合生活中的一些實際問題進一步理解分段函數的意義.三、鞏固練習教材第51頁練習第1，2題；習題A組第1，2題.四、課堂小結引導學生從三個方面進行歸納總結：1.變量的依賴關系與函數關系的區別與聯系.函數關系一定是依賴關系，而依賴關系不一定是函數關系.2.判斷是否是函數關系的步驟.（1）確定因變量和自變量；（2）判斷對于自變量的每一個確定的值，因變量是否有唯一確定的值與之對應，若滿足，則是函數關系，否則不是函數關系.3.分段函數的理解和認識.五、布置作業教材第51頁練習第3題；習題A組第3題.板書設計§1生活中的變量關系函數關系例1函數關系一定是依賴關系，而依賴關系不一定是函數關系例2例3例4例5例6分段函數的定義：自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內有不同的對應法則的函數叫分段函數歸納總結：1.變量的依賴關系與函數關系的區別與聯系2.判斷是否是函數關系的步驟3.分段函數的理解和認識教學研討本案例通過生活中的大量實例，說明數學源于生活，我們現實生活中處處有數學，從而激發學生學習數學的興趣.現實世界中充滿著變量，有些變量之間存在著依賴關系，充分利用教材的例1，通過層層設問，引導學生思考與討論，讓學生的思維得到鍛煉和提升，然后讓學生舉出一些相關的例子進行交流，培養學生的發散思維.對于例6分段函數的教