專題3.4函數的奇偶性知識點一函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數關于y軸對稱奇函數設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數關于原點對稱知識點二用奇偶性求如果已知函數的奇偶性和一個區間[a，b]上的(1)“求誰設誰”，即在哪個區間上求(2)要利用已知區間的(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．知識點三函數的奇偶性與單調性1．若f(x)為奇函數且在區間[a，b](a<b)上單調遞增，則f(x)在[－b，－a]上單調遞增，即在對稱區間上單調性一致(相同)．2．若f(x)為偶函數且在區間[a，b](a<b)上為單調遞增，則f(x)在[－b，－a]上單調遞減，即在對稱區間上單調性相反．知識點四用奇偶性求如果已知函數的奇偶性和一個區間[a，b]上的(1)“求誰設誰”，即在哪個區間上求(2)要利用已知區間的(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．知識點五函數的奇偶性與單調性1．若f(x)為奇函數且在區間[a，b](a<b)上單調遞增，則f(x)在[－b，－a]上單調遞增，即在對稱區間上單調性一致(相同)．2．若f(x)為偶函數且在區間[a，b](a<b)上為單調遞增，則f(x)在[－b，－a]上單調遞減，即在對稱區間上單調性相反．函數奇偶性的判斷(1)定義法：若函數定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數；若函數定義域關于原點對稱，則應進一步判斷f(－x)是否等于±f(x)，或判斷f(－x)±f(x)是否等于0，從而確定奇偶性．(2)圖象法：若函數圖象關于原點對稱，則函數為奇函數；若函數圖象關于y軸對稱，則函數為偶函數．判斷下列函數的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【解答】解：（1）的定義域為，，函數為奇函數；（2）的定義域為，，函數為偶函數；（3），設，則，，同理時，，函數是奇函數；（4），既是奇函數，又是偶函數；（5），非奇非偶；（6）的定義域為，非奇非偶．判斷下列函數的奇偶性（1）（2）（3）（4）（5）（6）．【解答】解：（1）定義域為，，為偶函數；（2）定義域為，不關于原點對稱，為非奇非偶函數；（3）定義域為，，所以，為既奇又偶函數；（4）定義域為，，定義域關于原點對稱，并且，，為奇函數；（5）定義域為不關于原點對稱，為非奇非偶函數；（6）定義域為，當時，，；當時，，；當時，，為偶函數．奇、偶函數的圖象及應用巧用奇、偶函數的圖象求解問題(1)依據：奇函數?圖象關于原點對稱，偶函數?圖象關于y軸對稱．(2)求解：根據奇、偶函數圖象的對稱性可以解決諸如求值、比較大小及解不等式問題．已知函數是定義在上的偶函數，當時，．現已畫出函數在軸及其右側的圖象，如圖所示．（1）畫出函數在軸左側的圖象，并寫出函數在上的單調遞增區間；（2）求函數在上的解析式．【解答】解：（1）如圖所示，由圖可知，的單調遞增區間為，．（2）令，則，故，又函數為偶函數，則此時，故．利用奇偶性求函數值利用奇偶性求值的常見類型(1)求參數值：若解析式含參數，則根據f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比較系數利用待定系數法求解；若定義域含參數，則根據定義域關于原點對稱，利用區間的端點和為0求參數．(2)求函數值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有時需要構造奇函數或偶函數以便于求值．已知函數為奇函數，且當時，，則A． B．2 C． D．3【解答】解：已知函數為奇函數，且當時，，（1），故選：．已知是定義在上的奇函數，且當時，，則等于A． B．8 C． D．．【解答】解：是定義在上的奇函數，且當時，；（2）．故選：．已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則（2）12．【解答】解：當時，，，又函數是定義在上的奇函數，（2），故答案為：12已知函數為奇函數，且當時，，則A．2 B．1 C．0 D．【解答】解：已知函數為奇函數，且當時，，則（1），故選：．部分函數奇偶性求值已知函數，若（2），則．【解答】解：根據，有，則，所以（2），因為（2），所以，故答案為：．已知，且，則（2）等于．【解答】解：令，由函數奇偶性的定義，易得其為奇函數；則，所以，得，又因為是奇函數，即（2），所以（2），則（2）（2），故答案為：．根據函數奇偶性求函數的解析式(1)已知某區間上函數的解析式，求對稱區間上的函數的解析式，應設這個區間上的變量為x，然后把x轉化為－x，此時－x成為了已知區間上的解析式中的變量，通過應用奇函數或偶函數的定義，適當推導，即可得所求區間上的解析式．(2)已知函數f(x)，g(x)組合運算與奇偶性，則把x換為－x，構造方程組求解．函數為定義在上的奇函數，時，．求的解析式；【解答】解：當時，；當時，，當時，，所以，又，則時，，則；已知是定義在上的奇函數，當時，．（1）求（1），的值；（2）求的解析式；【解答】解：（1）當時，．（1），又是定義在上的奇函數，可得（2）；（2）當時，；當時，，，又，可得時，，所以；已知為上的奇函數，當時，．若，求的解析式；【解答】解：當時，，由時，，可得，由為上的奇函數，可得，則時，；設是定義在上的偶函數，當時，，求的解析式．【解答】解：偶函數在時，，當時，，則，即，，則．利用函數的單調性與奇偶性解不等式利用函數奇偶性與單調性解不等式，一般有兩類(1)利用圖象解不等式；(2)轉化為簡單不等式求解．①利用已知條件，結合函數的奇偶性，把已知不等式轉化為f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；②根據奇函數在對稱區間上的單調性一致，偶函數在對稱區間上的單調性相反，去掉不等式中的“f”轉化為簡單不等式(組)求解．已知函數是定義在上的偶函數，且當時，．（1）當時，求函數的解析式；（2）解不等式．【解答】解：（1）當時，則，又是偶函數，故；（2）當時，單調遞增，是偶函數，不等式等價為，即，即，得，得，得，即不等式的解集為．由奇偶函數定義域的對稱性求參數值若函數是定義在，上的偶函數，則A． B． C． D．【解答】解：由偶函數定義域的對稱性可知，即，為，上的偶函數，故，．故選：．已知函數的定義域為，且為奇函數，則的值可以是A．2 B． C．4 D．6【解答】解：因為函數的定義域為，且函數為奇函數，所以，解得．故選：．若函數是定義在上的偶函數，則A． B．0 C．1 D．3【解答】解：由題意知，，且，所以，，所以，所以（1）．故選：．是偶函數，其定義域為，，則等于A．1 B． C． D．0【解答】解：因為是偶函數，其定義域為，，所以，即，又，所以，整理得對任意的，恒成立，所以，故．故選：．已知函數奇偶性求參數值問題若函數為奇函數，則A． B． C． D．1【解答】解：為奇函數（1）解得故選：．設函數為奇函數，則實數A． B．1 C．0 D．【解答】解：根據題意，函數為奇函數，則有，即，變形可得：，則有；故選：．若函數是奇函數，則的值是A．0 B． C．1 D．2【解答】解：函數是奇函數，，．，化為：，，，對定義域內的都成立．解得．故選：．已知函數是奇函數，則A． B． C． D．【解答】解：因為是奇函數，所以恒成立，故，整理得，所以．故選：．利用奇偶性求函數的最值或值域是偶函數且在區間，，（其中，是遞增的，則它在區間，上A．遞增且有最大值為 B．遞減且有最小值為 C．遞增且有最大值為 D．遞減且有最大值為【解答】解：是偶函數且在區間，，（其中，是遞增的，在區間，上遞減，且，即小值為，故選：．已知函數是奇函數，在上是減函數，且在區間，上的值域為，，則在區間，上A．有最大值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【解答】解：函數是奇函數，在上是減函數，在上也是減函數，在區間，上的值域為，，最大值為（a），最小值為（b），在區間，上也是減函數，且最大值為（b），最小值為（a），故選：．已知函數為常數），在區間，上有最大值20，那么此函數在區間，上的最小值為A． B． C． D．【解答】解：為常數）令，解得或3（舍去）當時，，當時，當時取最小值，而（2）即最大值為，，最小值為故選：．一．選擇題（共6小題）1．已知函數的定義域為，且為奇函數，則的值可以是A．2 B． C．4 D．6【解答】解：因為函數的定義域為，且函數為奇函數，所以，解得．故選：．2．已知，分別是定義在上的奇函數和偶函數，若，則A．5 B． C．3 D．【解答】解：由得：（1）（1），，因為，分別是定義在上的奇函數和偶函數，所以（1），（1），故可解得：．故選：．3．已知函數為上的奇函數，當時，，則（3）等于A． B． C．1 D．3【解答】解：根據題意，當時，，則，又由為奇函數，則（3），故選：．4．下列函數中奇函數、偶函數的個數分別是①；②；③；④．A．1，1 B．2，2 C．3，1 D．2，1【解答】解：根據題意，依次分析4個函數的奇偶性，①，其定義域為，有，是偶函數；②，其定義域為，有，是奇函數；③，有，解可得，其定義域，，是非奇非偶函數函數；④，其定義域為，有，是奇函數；即其中奇函數有2個，偶函數有1個；故選：．5．已知函數為奇函數，且當時，，則A． B．2 C． D．3【解答】解：已知函數為奇函數，且當時，，（1），故選：．6．設為偶函數，當，時，，則使的取值范圍是A． B． C．或 D．或【解答】解：根據題意，當，時，，則在，上為增函數且（1），又由為偶函數，則即（1），則有，解可得：或，即取值范圍是或；故選：．二．解答題（共9小題）7．已知函數，且（1）．（1）求的值；（2）判斷函數的奇偶性．【解答】解：（1）由題意知，（1），；（2）由（1）知，，，，函數為奇函數．8．已知函數是定義在上的奇函數，當時求時的表達式．【解答】解：設，則，由當時可得．再由函數為奇函數可得，．故時的表達式為．9．判斷下列函數的奇偶性：（1）；（2）；（3）．【解答】解：（1）依題意得，且，則，解得．因此函數的定義域為，，關于原點對稱，且．，，既是奇函數又是偶函數．（2）函數的定義域是，，，不關于原點對稱，是非奇非偶函數．（3）易知函數的定義域，，，關于原點對稱．任取，當時，，；當時，，．函數為奇函數．10．判斷下列函數的奇偶性（請寫出詳細的判斷過程）（1）；（2）且．【解答】解：（1）根據題意，，有，解可得且，即函數的定義域為且，則，，即函數為奇函數，（2）且，其定義域為，，即函數為偶函數．11．設是定義在上的奇函數，當時，，．【解答】解：根據題意，是定義在上的奇函數，則，又由當時，，則（2），而為奇函數，則，故，故答案為：12．已知函數，不等式的解集是．（1）求函數的解析式；（2）若滿足不等式組的整數解有且只有一個，求正實數的取值范圍．【解答】解：（1）因為不等式的解集是，所以0和3是方程的兩個根，，，．，函數的解析式為：．（2）不等式的解集為：，，，不等式的解集為：，當時，不等式組的解集為，中至少有2個整數，不滿足題意，舍去；當時，不等式組的解集為，因為滿足不等式組的整數解有且只有一個，所以，，即，解得；綜上，正實數的取值范圍是，．13．已知定義在上的偶函數，當時，．（1）求時，的解析式；（2）若（a），求實數的值．【解答】解：（1）根據題意，當時，，則，為偶函數，則，（2）若（a），當時，有（a），則有，當時，有（a），則有，綜合可得：或．14．已知是定義在上的奇函數．（1）求的值；（2）若，求實數