勾股定理的逆定理R·八年級數學下冊活動一：故事引入，自主探究探究點1勾股定理的逆定理

類似古埃及人畫直角的故事，我們準備三根繩子來模仿操作，看看能否得到和古埃及人相同的結果.

（1）讓一根繩子的一端與0刻度線重合，分別在3cm，7cm，12cm處做標記，得到長度分別為3cm，4cm，5cm的三段，然后以這三段為邊圍成一個三角形，量量看是不是直角三角形.是直角三角形

（2）

類似（1）的操作，以2.5cm，6cm，6.5cm和4cm，7.5cm，8.5cm的三段為邊分別圍成一個三角形，量量看是不是直角三角形.

（3）結合上面的操作，想想學過的勾股定理，猜想一個三角形的三邊滿足什么關系時，這個三角形就是直角三角形，用命題形式表述.如果三角形的三邊長

a，b，c

滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.3cm，4cm，5cm2.5cm，6cm，6.5cm4cm，7.5cm，8.5cm下面命題的題設、結論分別是什么？命題2

如果三角形的三邊長

a，b，c滿足

a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．探究點2互逆命題和互逆定理命題1

如果直角三角形兩直角邊長分別為

a，b，斜邊長為

c，那么

a2+b2=c2．題設結論題設結論題設A結論B①題設B結論A②原命題逆命題互逆命題

我們把像這樣，題設和結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題.

我們把像這樣，題設和結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.ABCabc①

如圖①，已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且

a2+b2=c2，怎么證明△ABC

是直角三角形呢？

如圖②，畫一個Rt△A′B′C′中，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°.△ABC

與△A′B′C′全等嗎？可以說明△ABC是直角三角形嗎？A′B′C′ab②互逆定理根據勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2=c2.∴A′B′

=c.在△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.∴∠C=∠C′=90°，即△ABC是直角三角形.ABCabcA′B′C′ab①②

如果一個定理的逆命題經過證明是正確的，那么它也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.定理：內錯角相等，兩直線平行；逆定理：兩直線平行，內錯角相等；互為逆定理歸納總結

勾股定理是正確的，其逆命題也是正確的，是不是說明原命題成立，其逆命題一定成立呢？有沒有反例說明？

不一定.比如命題“對頂角相等”成立，而它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”卻不成立.例1判斷由線段

a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.解：（1）因為152+82=225+64=289，172=289，即152+82=172，根據勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形.（2）因為132+142=169+196=365，152=225，即132+142≠152，根據勾股定理，這個三角形不是直角三角形.

像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數.1.判斷由線段

a，b，c

組成的三角形是不是直角三角形：

（1）a=7，b=24，c=25；∵a2+b2=72+242=49+576=625，c2=252=625，∴a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理知這個三角形是直角三角形.【選自教材P34】（2）a=40，b=50，c=60；∵a2+b2=402+502=1600+2500=4100，c2=602=3600，∴a2+b2≠c2.∴這個三角形不是直角三角形.【對應訓練】2.有下列4組數：

①5，12，13；

②1，2，4；

③32，42，52；

④0.3，0.4，0.5.其中，勾股數有（

）

A

A.1組B.2組C.3組

D.4組3.說出下列命題的逆命題，這些逆命題成立嗎？（1）兩條直線平行，內錯角相等；（2）如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等；其逆命題為“內錯角相等，兩直線平行”；這個命題成立.其逆命題為“如果兩個實數的絕對值相等，那么這兩個實數相等”；這個命