專題06全等、等腰及相似有關解答題的模型構建（6大類型）

題型解讀｜模型構建｜通關試練

1.三角形全等的判定及應用

（1）全等三角形的定義：

全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同；（2）大小相等

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”。

注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。

（2）全等三角形的性質：

全等三角形的對應邊相等，全等三角形對應角相等。

（3）全等三角形的判定：

（1）兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）

（2）兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）

（3）兩角分別相等且其中一組等角的對邊對應相等的兩個三角形全等

（簡寫成“角角邊”或“AAS”）

（4）三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。

2.等腰三角形的性質與判定

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性質

1

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】

（3）等腰三角形的判定

判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】

說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質，又可作為判定辦法．

②等腰三角形的判定和性質互逆；

③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；

④判定定理在同一個三角形中才能適用．

3.等邊三角形的性質與判定

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對而言的．

（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線

是對稱軸．

（3）等邊三角形的判定：

由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．

判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．

判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．

4三角形相似的判定及綜合應用

（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應用時

要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形．

（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；

（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；

（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．

5三角形折疊問題探究

三角形折疊模型（一）三角形折疊模型（二）三角形折疊模型（三）

2

∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=（∠1+∠2）2∠C=∠2-∠1或∠C=（∠2-∠1）

??

??

6三角形旋轉問題探究（手拉手、半角模型）

該模型重點分析旋轉中的兩類全等模型（手拉手、半角），結合各類模型展示旋轉中的變與不變，并結合經

典例題和專項訓練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時規范了解題步驟，提高數學的綜合解題能力。

（1）手拉手模型：

將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點旋轉某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構成手拉手全等，

也叫旋轉型全等。其中：公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數的第一個頂點記為“左

手”，第二個頂點記為“右手”。

手拉模型解題思路：SAS型全等（核心在于導角，即等角加（減）公共角）。

（2）半角模型：

1、半角模型概念：過多邊形一個頂點作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。

2、模型特征：等線段，共端點，含半角

3、思想方法：通過旋轉（或截長補短）構造全等三角形，實現線段的轉化。

4、解題思路：一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然

后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質得到線段之間的數量關系。半角模型（題中出現

角度之間的半角關系）利用旋轉——證全等——得到相關結論。

模型01全等三角形的性質與判定

考｜向｜預｜測

三角形全等的判定及應用該題型近年考試中綜合性較高，在各類考試中以解答題為主。解這類問題的關

鍵是準確迅速的在全等三角形的5種判定方法中，選用合適的方法，取決于題目中的已知條件，若已

知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，

且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊。

答｜題｜技｜巧

3

解決全等三角形的問題認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段

或角之間的聯系。在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當

輔助線構造三角形；最后把實際問題先轉化為數學問題，再轉化為三角形問題，其中，畫出示意圖，

把已知條件轉化為三角形中的邊角關系是關鍵．

如圖，點C在線段上，，，．

????=??∠?=∠???=??

(1)求證：；

(2)若△???≌，△求???的度數．

【答案∠?】?(?1)=見6解0°析∠???

(2)

【分∠?析??】本=題60考°查全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質，證明是等邊三角形是解答的

關鍵．△???

（1）直接根據全等三角形的判定證明結論即可；

（2）根據全等三角形的性質得到，，再證明是等邊三角形，利用等邊

三角形的性質求解即可．??=??∠???=∠???=60°△???

【詳解】（1）證明：在與中，

△???△???

，

??=??

∠?=∠?

所以；

??=??

（2）△解?：??因≌為△???SAS，，

所以，△???≌△???∠??，?=60°

所以??=?是?等∠邊?三??角=形∠．???=60°

所以△???．

∠???=60°

1．（2025·陜西西安·二模）如圖，是上一點，，，平分，求證：．

?????=????=????∠???∠?=∠?

4

【答案】見解析

【分析】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，由角平分線的定義

和等腰三角形的性質可得，進而由可得，據此即可求證，掌握全等三角形

的判定和性質是解題的關鍵∠?．??=∠?SAS△???≌△???

【詳解】證明：∵，

∴，??=??

∵∠?平=分∠???，

∴??∠???，

∴∠???=∠??，?

在∠???=和∠?中，

△???△???

，

??=??

∠???=∠?

∴，

??=??

∴△???≌．△???SAS

2．（∠?20=25∠·陜?西咸陽·一模）如圖；在中，延長到點，過點作，連接，，

求證：．△?????????∥??????=??,???=??

??=??

【答案】見詳解

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，解答的關鍵是熟記全等三角形的判定定理

與性質．由，根據平行線的性質得出，又，利用即可證明

??∥?，?從而得到．∠???=∠?????=??,??=??SAS

△【詳??解?】≌證△明??：?∵，??=??

??∥??

∴在∠???=與∠???中，

△???△???

，

??=??

∠???=∠???

，

??=??

∴△???≌△．???(SAS)

∴??=??

5

3．（2025·浙江·模擬預測）如圖，在中，，，過點A作，垂足為D，延長

至E．使得．在邊上截△取???∠，?連=結40°．∠?=25°??⊥??

????=??????=????

(1)求的度數．

(2)求∠證?：??．

【答案】(?1?)=??

(2)見解析115°

【分析】此題考查的是全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理：

（1）由三角形外角的性質可得出答案；

（2）證明，得出．

【詳解】（1△）?解??：≌∵△???SA．S??=??

∴．??⊥??

∵∠???=9，0°

∴∠?=25°；

（∠2）??證?明=：∠?在??+∠?中=，115°，，

∴△???∠?=40°．∠?=25°

∴∠???=180°?．∠??∠?=115°

在∠???=和∠???中，

△???△???

，

??=??

∠???=∠???

∴，

??=??

∴△???≌．△???SAS

4．?（?2=024?·?廣東揭陽·一模）如圖，在四邊形中，，，點，分別是，

上的點，連接，，，且???．?∠?=∠?=90°??=????????

??????∠???=∠???

(1)求證：；

(2)若△???≌△，???，求的長．

【答案??】=(12)見??解=析4；??∥????

6

(2)．

【分6析】根據可證，利用可證；

根據1∠，???=∠??可?知∠???=∠，???ASA，根據△???≌可△知???，根據

2∠?=90可°證??=2??、∠???=30°，∠所??以?可=證60°，?所?以∥?四?邊形∠?=∠是?平??行=四6邊0°形，根據

△平行??四?邊≌△形的??性?質可∠知???=60°?，?=所以??=2．??∥??????

【詳解】（1）證明：??=??=4，??=6

∵∠???=∠?，??

∴∠????∠???，=∠????∠???

∴∠???=∠???

在和中，，

∠???=∠???

△???△?????=??

；

∠?=∠?

∴（△2）??解?：≌△???ASA，，

∴∵??，=2??=4∠?=90°

1

sin∠???=2，，

∴∠???=30°??=2，

∴∠???=，90°?∠???=90°?30°=60°

∵??∥??，

∴由∠?得=：∠???=60°，

1△??，?≌△???，

∴??=??=2，∠???=∠???=60°

∴∠???=，∠?

∴又??∥??，

四∵邊??形∥??是平行四邊形，

∴????，

∴??=??=4，

∴即??的=長??為+?．?=4+2=6

【點??睛】本題6主要考查了全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、直角三角形的性質、平行

線的判定和性質，解決本題的關鍵是根據圖形的性質找到邊和角之間的關系．

模型02等腰三角形的性質與判定

考｜向｜預｜測

等腰三角形的性質與判定在近年考試中綜合性較高，通常與全等三角形、相似三角形相結合在各類考

試中以解答題為主。解這類問題的關鍵是掌握等腰三角形的性質和判定，選用合適的方法，靈活應用等

腰三角形的性質和有關的輔助線問題，利用等腰三角形來解決有關三角形的線段和角的問題

7

答｜題｜技｜巧

等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相

等的重要手段．在等腰三角形有關問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的

高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時

不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析．

等腰三角形性質問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角

形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優先選擇簡便方法來解決．

如圖，在中，，點在邊上，連接，將繞點逆時針旋轉得到，連

接，R．t△?????=??=32????????90°??

????

(1)求證：；

(2)若△?時??，≌求△?的??長；

(3)點??在=2上運動時?，?試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在，

22

請說明?理?由?．??+??

【答案】(1)見解析

(2)

(3)存1在0，

【分析】（118）由即可證明；

（2）證明SAS（△）?，??勾≌股△定?理??得到，在中，勾股定理即可求解；

（3）證明△???≌△???S，AS即可求解．??Rt△???

222

【詳解】（1?）?解+：?由?題=意2，??可知，，．

∠?．??=∠???=90°??=????=??

∴即∠????∠???．=∠????∠???

∠???=∠???．

∴（△2）???在≌△???(SA中S，)，

∵Rt△?????=??=32．

∴∠???=∠???=45°,??=．2??=6

∴??=?????，=6?2=4

∵△???≌△???8

，．

∴??=??=2∠???=∠???．=45°

∴∠???=∠???+∠???=．90°

22

∴在??=??中+，??=25．

??

∴（3）Rt由△（?2?）?可知?，?=??=2=10．

222222

當最小時，有??+?的?值=最?小?，+此?時?=??=．2??

22

∴??為等腰直角??三角+形??，??⊥??

∵△???．

11

∴??=2??=2×6=3．

2222

∴即??+??的=最2?小?值≥為2×．3=18

22

【點??睛+】?本?題主要考查了1圖8形的幾何變換，涉及到等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性

質，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．

1．（2025·陜西西安·一模）如圖，與均為等腰直角三角形，．求證：

．△???△???∠???=∠???=90°

△???≌△???

【答案】見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定，等腰三角形的性質，熟練掌握判定定理是解題的關鍵；

根據等腰直角三角形的性質得，，再證證，根據，即得結論．

【詳解】證明：∵與??=均?為?等?腰?直=角?三?角形，∠???=∠???SAS

∴，△??，?△???

∴??=????=??．

即∠???+∠???．=∠???+∠???

在∠???=與∠???中，

△???△???

??=??

∴∠???=∠???．

??=??

2．（△2?02?5?·≌上△海松??江?·一模）如圖，在中，，，，垂足分別為點，點．，

交的延長線于點．△?????=????⊥????⊥??????∥??

???

9

(1)求證：；

????

(2)求證：??=??．

【答案】(21?)見?解??析?=?????

(2)見解析

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定和性質是解

題的關鍵．

（1）根據題意證明，即可求解；

（2）設與交于△點??，?可∽證△???，得到，再證，得到，則有

????????

???，?由?，△代?入?計?算∽△即?可?求?解．??=??△???∽△?????=?????

1

?【?詳=解?】?（?1?）?證明?：?如=圖2?所?示，

，，

，∵??⊥????⊥??

°

∴∠???=，∠???=90

∵??∥??，

∴∠1=∠?，

∴△???∽，△???

????

∴??=??；

????

∴（?2?）=證?明?：設與交于點，

?????

，

，∵??∥??，

°°

∴∠???=，∠???=90∠1+∠2=∠1+∠?=90

∴∠2=∠?，，

∵??=????⊥??10

∴，，

∠2=∠3，??=2??

∴又∠3=∠??，

∠???=∠???，

∴△???∽，△???

????

∴??=??，，

∵∠3=∠?∠???，=∠???

∴△???∽，△???

????

∴??=??即，

????

∴??=???，????=?????

1

∵??=2??．

∴3．2（?2?0?2?5·?上=海?松?江??·一?模）如圖，在中，，，．

△???∠?=60°??=6?△???=63

(1)求的長；

(2)在??邊上取一點，使，連接，求的正切值．

【答案??】(1)???=2??∠???

(2)4

3

【分5析】（1）過點作，垂足為，由面積法求得，進而解直角三角形即可得解；

（2）過點作??，?垂⊥足?為?，由（?）得，解直??角=三2角3形得，證是等邊三角形，

得???⊥??，?1，??=4，從而求得??=，2△，???，

利用∠?正??切=定∠義?即=可∠得??解?．=60°??=??=4∠???=30°??=1??=3??=??+??=5

【詳解】（1）解：過點作，垂足為，

???⊥???

，．

∵??=6?△???=63

11

∴?△???=?????=×6???=63

22

∴??=23

∵∠?=60°

??

?∴sin?=

??

11

23

∴（??）=解：過點=作4，垂足為

2sin60°

???⊥???

由（）得，

∴1??=4，，

??=??cos60°=2??=2，

∴??=????，????=6?2?2=2=??

∴∵??=4=，??

∴∠?=6是0°等邊三角形，

∴△???，

∴∠???=∠?=∠???=6，0°??=??=4

∠???=，90°?60°，=30°

∴??=1??=3，

??=??+??=5．

??3

∴【t點an睛∠?】?本?題=考??查=了5解直角三角形，勾股定理，度直角三角形的性質，等邊三角形的判定及性質，熟練

掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．30

4．（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足為，點

是線段上一點（不與、重合Rt）△，?過?點?作∠???=交90°的?延?長=線6于?點?=8與??⊥交?于?點，連接?．?

???????⊥?????,???????

(1)求證：；

????

(2)當??=時?，?求的長；

(3)當??∥??是等腰三?角?形時，求的長．

【答案△】??(1?)見解析??

(2)

14

(3)?或?=5

97

【分2析4】（1）根據題意，，證明即可求證；

∠???=∠???∠???=∠???△???∽△???

12

（2）根據題意可得，則有，由，得到，如圖所示，作，

垂足是，由勾股定△理?、??三∽角△函?數??的計算得∠?到??=∠?????∥??，在??=??中，??⊥，?則?

4??

有?，得到，再根據，即可??求=解1；0,cos∠???=5Rt△???cos∠???=??

5425????

（3??）=根5據等腰三??角=形的4判定和性?質?=分?類?討論：第一種情況：當時，可證平分，根據

角平分線的性質，銳角三角函數即的計算可解得；第二種情∠況?：??當=∠???時?，?可得∠???

，則，即，即可求解；第三?種?情況：當∠???時=，∠結?合??（2）的計算tan即∠可??求?解=．

????68

t【an詳∠解??】?（1）?解?：=????=，6∠???=∠???

，∵??⊥??

∴∠???=90°，

∵∠???=90°，

∴∠???=∠???，

∵∠???=∠???，

∴△???∽即△???；

????????

（∴?2?）=解?：???=??，

????

∵??=?，?,∠???=∠???

∴△???∽△???，

∴∠???=，∠???

∵??∥??，

∴∠???=∠???，

∴∠???=∠，???

∴如?圖?所=示?，?作，垂足是，

??⊥???

，

，∵??⊥??

1

∴在??=2??中，，

Rt△?????=6,，??=8

4

∴??=10，,cos∠???=5

∴在??=5中，，

??

Rt△?，??cos∠???=??

54

∴??=5，

25

∴??=4，

7

∴??=?????=4

13

，

∵??∥??

，即7，

??????4

25

∴??=??10=4

；

14

∴（?3?）=解：5若是等腰三角形，那么或或，

第一種情況：△當???時，∠???=∠???∠???=∠???∠???=∠???

∠，???=∠???

∵∠???=∠???，

∴又∠???=∠???，

∵∠???+∠??，?=∠???+∠???=90°

∴∠???=∠??，?即，

∵∠???=9，0°??⊥????⊥??

∴∵??=??，

∴??=??,??=??，

∴△???≌△?，??HL

??=??=6，

∴在??=???中?，?=4，

??

R?△???，tan即∠???=??

3

∴第?二?種=情4況×：4=當3??=3時

∠，???=∠???

∵∠???=∠???，

∴∠???=∠???，

∴tan∠??，?即=tan∠?，??

????68

∴??=??；??=6

9

∴第?三?種=情2況：當時，

∠，???=∠???

∵∠???=∠???，

∴又∠???=∠???，

∠???+∠???=∠???+∠???=90°

∴∠???=∠???，

∵∠???=∠???，

∴∠???=，∠???

∴由?（?2∥）?可?知，在中，，

??

，Rt△???cos∠???=??

54

∴??=5

14

，

25

∴??=4，即；

77

綜∴?上?所=述?，????=或4或?．?=4

97

【點睛】本題??主=要3考查2相4似三角形的判定和性質，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質，全等三角形

的性質，銳角三角函數的計算，掌握相似三角形的判定和性質，銳角三角函數的計算方法是解題的關鍵．

模型03等邊三角形的性質與判定

考｜向｜預｜測

等邊三角形的性質與判定在近年考試中綜合性較高，通常與全等三角形、相似三角形相結合在各類考

試中以解答題為主。解這類問題的關鍵是掌握等邊三角形的性質和判定，選用合適的方法，靈活應用等

邊三角形的性質和有關的輔助線問題，利用等邊三角形來解決有關三角形的線段和角的問題

答｜題｜技｜巧

等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關角的計算奠定了基礎，它的邊角

性質為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合

一的性質，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用．

等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角

的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．

如圖，點D、E分別是等邊三角形邊、上的點，且，與交于點F．求證：．

?????????=????????=??

【答案】見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，根據等邊三角形的性質得出，

，然后根據證明，根據全等三角形的性質即可得證．??=??

∠【?詳??解=】∠證?明??∶=∵60°是等邊三S角AS形，△???≌△???

∴，△???，

??=??∠???=∠???=60°

15

又，

∴??=??，

∴△???≌．△???SAS

??=??

1．（2024·四川南充·模擬預測）如圖，在中，點在的延長線上，，，

．△????????=??∠???=∠???∠???=

∠???

(1)求證：；

(2)若平?分?=??，，求的長．

【答案??】(1)見∠?解?析???=2??

(2)

【分2析】本題考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定；

（1）根據已知得出，進而根據證明，根據全等三角形的性質，即可得

證；∠???=∠???ASA△???≌△???

（2）根據全等三角形的性質以及角平分線的定義，得出，進而得出，

即可證明是等邊三角形，根據等邊三角形的性質，∠即??可?求=解∠．???=∠???∠???=60°

【詳解】（△1）??證?明：，

∵∠???=∠?，??即：，

∴在∠???+和∠???=中∠，???+∠???∠???=∠???

△???△???

，

∠???=∠???

??=??

，

∠???=∠???

∴△???≌△．???

∴（?2?）=解?：?平分，

∵??，∠???

∴又∠???=∠???，

∵∠???=∠???，

∴∠???=∠???=∠???，

∵∠???+∠???，+∠???=180，°

∴3∠???=，180°∠???=60°

∵??=?是?等邊三角形，

∴△???

16

．

∴2．?（?2=023?·?浙=江2寧波·一模）如圖所示為汽車內常備的一種菱形千斤頂的原理圖，其基本形狀是一個菱形，中

間通過螺桿連接，轉動手柄可改變的大小（菱形的邊長不變），從而改變千斤頂的高度（即、之間

的距離）．經測量，可在和∠???之間發生變化（包含和），．??

∠???20°160°20°160°??=40cm

(1)當時，求此時的長；

(2)當∠???從=120變°為時，?這?個千斤頂升高了多少？（精確到，，，

∠???2）0°160°cm0.1cmsin80°=0.98cos80°=0.17

t【an答80案°】=(51.)67

(2)40cm

【分64析.8c】m本題主要考查了解直角三角形的實際應用，菱形的性質，等邊三角形的性質與判定：

（1）連接交于點E，由四邊形是菱形得到，當時，，

1

由?得?到??是等邊三角形?，?則??∠???；=2∠???∠???=120°∠???=60°

（2?）?當=??△??時?，在中，??=??=40cm，則，則，

1

當∠???=時2，0°Rt中△???∠?，??則=可2得∠到???=10°，得??到=6.8??=2??=，13即.6可cm得到

答案∠???=160°Rt△???∠???=80°??=39.2??=2??=78.4cm

【詳解】（1）解：如圖所示，連接交于點E，

????

∵四邊形是菱形，

∴????，

1

當∠???=2∠??時?，??=??，

1

∴∠???=是1等20邊°三角∠形?，??=2∠???=60°

∴△???；

（?2）?解=：??∵=四4邊0形cm是菱形，

∴，???，?，

1

當??=2???時?，⊥??∠???=2∠???

在∠???=2中0°，，

1

∴Rt△???∠???=2∠?，??=10°

∴∠???=90°?∠???=80°，

??=??cos80°=40×0.17=6.8cm

17

∴，

當??=2??=1時3.，6cm

在∠???=1中60，°，

1

∴Rt△???∠???=2∠???=80°，

∴??=??sin80°=40×0.98=39.2cm

∴?這?個=千2斤??頂=升7高8.4了cm，

答：這個千斤頂升高了78.4?13．.6=64.8cm

3．（2023·貴州黔東南·一6模4.）8c問m題提出：

已知：在中，，以為邊作等邊三角形．探究下列問題：

△?????=?,??=??????

（1）如圖1，當點D與點C位于直線的兩側時，，且，則____________；

問題探究：???=?=3∠???=60°??=

（2）如圖2，當點D與點C位于直線的同側時，，且，則____________；

問題拓展：???=?=6∠???=90°??=

（3）如圖3，當變化，且點D與點C位于直線的兩側時，求的最大值及相應的的度數．

【答案】（1）∠；?（??2）；（3），????∠???

【分析】本題主3要3考查了3等邊6?三3角形2的性質?，+勾?股∠定?理??，=以1及20軸°對稱的性質，正確理解有最大值的條件，

是解題的關鍵．??

（1），且，是等邊三角形，且是等邊三角形的高線的2倍，據此即可求解；

（2）?=?=3，且∠???=60°，△???是等腰直角三角形?，?且是邊長是6的等邊三角形的高長與等腰

直角三?角=形?的=斜6邊上∠的?高??的=差9；0°△?????

（3）以點為中心，將逆時針旋轉，則點落在點，點落在點．連接，，當點、、

在一條直線?上時，有△最?大?值?，60°．???????????

【詳解】解：（1）??，且??=??=?+，?

是等邊三角∵形?，=?=3∠???=60°

∴△???，

33

∴∵?等?邊=三2角形，

，???

33

∴??=2；

∴??=3318

（2）作，垂足為，連接，

??⊥?????

∵等邊三角形，

∴是的垂??直?平分線，

∴????，

∵??=??，，

∴??=??，=6??=??

∴??，⊥，??在同一直線上，

∵???，，

∴??=??=6∠，???=90°

∴??=62=??，

∴??=32=??，

22

∴??=?????=36；

（?3）?以=點???為?中?心=，3將6?32逆時針旋轉，

則點落在?點，點落在△點??．?連接，6，0°

?，??，????，?

∴??=?為?等邊∠?三?角?形=，60°??=??=?

∴△???．

∴當?點?=、??、不在一條直線上時，

???

有；

當點??=、??、<在??一+條?直?線=上?時+，?

???

19

有最大值，；

只有當時，???，?=??=?+?

即、∠、??在?=一1條2直0°線上，∠?此??時=1最80大°

???，??

∴因∠此?當??=120°時，有最大值是．

4．（202∠4?·貴??州=黔1東20南°·二模?）?如圖，等邊?三+角?形的邊長為2，是邊的中線，點E在線段上，連

接，將繞點A逆時針旋轉得到線段?，??連接．??????

????60°????

(1)【動手操作】

在圖①中畫出線段，，并寫出一對全等的三角形：；

(2)【問題探究】????

如圖②，若點E從點B運動到點D，試探究點F的運動路徑并求出它的長度；

(3)【拓展延伸】

連接，在（2）的條件下，試求周長的最小值．

【答案??】(1)畫圖見解析，△???

(2)點F的運動路徑為線段△，?其?長?為≌△???

(3)3

【分1+析】（31）先根據題意作圖，再由旋轉的性質得到，，再證明，即可

證明；??=??∠???=60°∠???=∠???

（2）△利?用??全≌等△三?角??形S的AS性質得到，，再由等邊三角形的性質得到，則

點F在射線上運動，則點F的運??動=路?徑?長等∠?于??點=E∠的?運??動路徑長，即為的長，據此利∠?用?勾?股=定30理°求解

即可；????

（3）如圖所示，作點A關于直線的對稱點H，連接，設與直線交于G，連接，則，

，，，證??明是等邊三?角?形；?再?證明當?D?、F、H三點共?線?時，??=??的??值=最

?小?，即∠?此?時?=90°?的?值=最?小?，最小△值?為??的長，利用勾股定理得到??，+則??

22

的最小值為??，+可??得的周長的最小?值?為．??=?????=3??+??

3△???1+3

20

【詳解】（1）解：如圖所示，由旋轉的性質可知，，

∵是等邊三角形，??=??∠???=60°

∴△???，，

∴??=??∠??，?=60°

∴∠???=∠???；

△???≌△???SAS

故答案為：；

（2）解：∵△???≌△???，

∴，△???≌△???，

∵?等?邊=三?角?形∠???的=邊∠長?為??2，是邊的中線，

∴??，?，????，

11

∴??=2??=，1??⊥??∠???=2∠???=30°

∴∠點?F??在=射3線0°上運動，

∵，??

∴?點?F=的?運?動路徑長等于點E的運動路徑長，即為的長，

在中，由勾股定理得??，

22

∴點RtF△的??運?動路徑為線段，其長?為?=；?????=3

（3）解：如圖所示，作點A關于直線3的對稱點H，連接，設與直線交于G，連接，

∴，，，??，????????

∵??=???，?=??∠???=90°??=??

∴∠???=30°，

1

∴??=2??=1，

∴??=2是??等=邊2三=角?形?；=??

∵△???，

∴?當?D+、?F?、=H?三?點+共??線時，的值最小，即此時的值最小，最小值為的長；

∵點D為的中點，??+????+????

∴此時??，

∴??⊥??，

22

∴??=?的?最?小?值?為=，3

∴??+?的?周長的最小值3為．

△???1+3

21

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，等邊三角形的性質與判定，

軸對稱最短路徑問題，熟知等邊三角形的性質與判定條件是解題的關鍵．

模型04相似三角形的性質與判定

考｜向｜預｜測

三角形相似的判定及綜合應用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現在與圓結合或

者利用相似求長度、類比探究題型，具有一定的綜合性和難度。解這類問題的關鍵是熟練應用三角形的

判定方法，兩組角對應相等，兩個三角形相似；兩組邊對應成比例及其夾角相等，兩個三角形相似；三組

邊對應成比例，兩個三角形相似。解答本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理以及數形結合和方程

思想的應用．

答｜題｜技｜巧

相似三角形在求線段的長度和線段的比中經常使用，解決問題要分清問題中已知的線段和角與所證明

的線段或角之間的聯系；在應用三角形相似的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添

加適當輔助線構造三角形；

如圖，在四邊形中，，連接，過點作，垂足為，交于點，．

????∠?=90°?????⊥????????∠1=∠???

(1)求證：；

(2)若∠2=．∠3

①請∠判4斷=線45段°，的數量關系，并證明你的結論；

②若，????，求的長．

??=13??=5??22

【答案】(1)見解析

(2)①，理由見解析；②

25

【分析?】?=本題??是三角形綜合題，考?查?了=全12等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定與性質，相似三角形

的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．

（1）由余角的性質可得，，根據，可得；

（2）①設，∠1可+求∠3=90°∠2+∠???=9，0°可求∠1=∠???∠2=，∠根3據等腰三角形

的判定可得∠2=∠3=；?∠???=90°??=∠???∠???=∠???=45°+?

②由勾股定?理?可=求??，由“”可證，可得，通過證明，

可得，即可求??解=．12AAS△???≌△?????=??=5△???∽△???

????

【詳解??】=（?1?）證明：，

，∵??⊥??

∴∠???=90°=，∠?，

∴∠1+∠3=9，0°∠2+∠???=90°

∵∠1=∠?；??

∴（∠2）2=解∠：3①，理由如下：

設??，=??

∠2=∠3=?，

∴∠???=9，0°??=∠???

∵∠4=45°，

∴∠???=180°?45°?(90°?，?)=45°+?

∵∠???=∠4+∠，2=45°+?

∴∠???=∠；???

∴②??=??，，

∵??=??=13??=5，

22

∴??=??，???=1，69?25=，12

∵??=??∠?=∠??，?∠2