專題01代數(shù)計(jì)算問題（實(shí)數(shù)、整式、分式、二次根式）

題型解讀｜模型構(gòu)建｜真題強(qiáng)化訓(xùn)練｜模擬通關(guān)試練

代數(shù)式的計(jì)算通常出現(xiàn)在各地市的中考大題第1題，分值在5-10分左右，主要考查實(shí)數(shù)的計(jì)算、整式的運(yùn)

算與化簡求值、分式的混合運(yùn)算與化簡求值、二次根式的計(jì)算等，題目為基礎(chǔ)題，比較容易得分，學(xué)生需

要牢記相關(guān)易錯點(diǎn)、公式和口訣，避免出現(xiàn)低級的計(jì)算錯誤。

模型01實(shí)數(shù)的計(jì)算

考｜向｜預(yù)｜測

1.實(shí)數(shù)的計(jì)算一般為解答題第1題：

2.涉及到的知識點(diǎn)有：零次冪、-1的奇偶次冪、數(shù)的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、開方運(yùn)算、特殊角的三

角函數(shù)值等，一般為3-5個知識點(diǎn)的組合：

3.乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪涉及的一般為絕對值小于5的數(shù)字，開方運(yùn)算涉及的一般為100以內(nèi)的數(shù)字.

答｜題｜技｜巧

1.實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以

進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方．

2.在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，

有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．

3.實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個關(guān)鍵”

①運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、冪的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角

函數(shù)值的計(jì)算以及絕對值的化簡等．

1

②運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，

無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算．

③運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．

4.常見的公式及易錯點(diǎn)：

1

（1）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：am（m為正整數(shù)）；

am

（2）零指數(shù)冪：a01(a0)

（3）特殊角的三角函數(shù)值：

123

sin30，sin45，sin60，

222

321

cos30，cos45，cos60，

222

3

tan30，tan451，tan603．

3

11

（4）常見的易錯點(diǎn)：224,(2)24,22,(2)2

44

12025(1)20251，120241,(1)20241

（2024?濟(jì)南）計(jì)算：．

01?1

【答案】6．9?(??3.14)+(4)+|3|?2???30°

【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡，然后根據(jù)實(shí)數(shù)

運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】解：原式＝3﹣1+4

3

＝﹣

31+3?2×2

＝6．+4+3?3

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

1．（2024?樂山模擬）計(jì)算：．

01?1

【答案】見試題解答內(nèi)容

(2024??)+|3?1|?(2)+12

【分析】先計(jì)算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和化簡二次根式，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可．

【詳解】解：

01?1

(2024??)+|3?1|?(2)+12

=1+3?．1?2+23

=33?22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和化簡二次根式，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)

是關(guān)鍵．

2．（2024?五華區(qū)校級模擬）計(jì)算：．

01?1

【答案】．

59?2???45°?(1??)+(3)+|?2|

【分析】先進(jìn)行開方，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和去絕對值運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)

算即可．

【詳解】解：原式

2

＝．

5=3?2×2?1+3+2

【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則．

3．（2024?甘肅二模）計(jì)算：．

1?10

【答案】見試題解答內(nèi)容

9?(3)+???60°?(??2024)

【分析】先計(jì)算零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、算術(shù)平方根和特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加

減．

【詳解】解：

1?10

＝3﹣319?(3)+???60°?(??2024)

1

．+2?

1

【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定運(yùn)算順序和方法，并能進(jìn)行正確地計(jì)算．

=?2

4．（2024?荷塘區(qū)校級模擬）計(jì)算：．

1?112

【答案】．

20242???60°+|3?2|+(2022)?2

【分析】利用特殊角的三角函數(shù)、絕對值及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算即可．

【詳解】解：

1?112

2???60°+|3?2|+(2022)?2

23

=2×3+2?3+2022?2

=＝2+230+222?3+2022?3

＝2024．

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)、絕對值及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．根據(jù)60度角的正切值、絕對值及負(fù)整

數(shù)指數(shù)冪的意義即可求得結(jié)果．

5．計(jì)算：

（1）；

3

（2）27+?8?12．

3

0231

【答案(】3（)1?）(?7)；+(9)?4

（2）．3?2

5

23

【分析】（1）先根據(jù)算術(shù)平方根、立方根運(yùn)算法則計(jì)算，再合并即可；

（2）先根據(jù)零指數(shù)冪、算術(shù)平方根、立方根的運(yùn)算法則計(jì)算，再根據(jù)有理數(shù)的加減法則計(jì)算即可．

【詳解】解：（1）

3

27+?8?12

=33+(；?2)?23

（=2）3?2

3

0231

＝1﹣7(+93)?(?7)+(9)?4

1

．?2

5

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

=2

6．計(jì)算：

（1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2）；

（2）．

3

221

【答案】（）﹣；

(?6)1×(32?2)?8

（2）4．

【分析】（1）先算乘法，再算加減即可；

（2）先算括號里面的，再算乘方、開方，再算乘法，最后算減法即可．

【詳解】解：（1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2）

＝5+5+（﹣12）

＝10+（﹣12）

＝﹣2；

（2）

3

221

＝36(?62)×(3?2)?8

1

＝﹣

6×26?

＝4．

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

模型02整式的混合運(yùn)算與化簡

考｜向｜預(yù)｜測

1.常考的形式有直接化簡整式；先對整式化簡，再代人字母的值求整式的值：；給出解題過程，尋找過

程中的錯誤并寫出正確的結(jié)果；出現(xiàn)的位置一般為解答題的第1或第2題：

2,題目必考乘法公式，還會涉及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式等，涉及1個字母或2個字母：

3.代值時：除直接給出字母的值，還會結(jié)合實(shí)數(shù)的運(yùn)算、方程（組）等求出字母的值，還可能會涉及整體代

人法

4

答｜題｜技｜巧

1.有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似．

2.“整體”思想在整式運(yùn)算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關(guān)問題，此時

應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號括起來．

3.整式的化簡求值：先按運(yùn)算順序把整式化簡，再把對應(yīng)字母的值代入求整式的值．

有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似.

4.常用的乘法公式：

2

（1）完全平方公式：aba22abb2；

（2）平方差公式：ababa2b2．

（2024?甘肅）先化簡，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．

【答案】2a+b，3．

【分析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，最后計(jì)算除法，然后代入a＝2，

b＝﹣1，求出答案即可．

【詳解】解：原式＝[4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣b2）]÷2b

＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b

＝（4ab+2b2）÷2b

＝2a+b，

當(dāng)a＝2，b＝﹣1時，

原式＝2×2﹣1＝3．

【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的混合運(yùn)算—化簡求值，熟練掌握整式的混合運(yùn)算順序和法則及代數(shù)式的求

值是解題的關(guān)鍵．

1．（2024?連州市二模）化簡：（a﹣3）（a+3）﹣（a﹣3）2．

【答案】6a﹣18．

【分析】先根據(jù)平方差公式、完全平方公式計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可．

【詳解】解：（a﹣3）（a+3）﹣（a﹣3）2

＝a2﹣9﹣（a2﹣6a+9）

＝a2﹣9﹣a2+6a﹣9

＝6a﹣18．

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握平方差公式、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．

2．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級三模）化簡：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2．

小明的解答如下：

5

解：原式＝m2﹣9﹣（m2+m+1）＝m2﹣9﹣m2﹣m﹣1＝﹣m﹣10．

小明的解答正確嗎？如果不正確，請寫出正確的解答．

【答案】不正確，正確解答見解析．

【分析】根據(jù)題目中的解答過程可知，小明的解答不正確；根據(jù)乘法公式將題目中的式子展開，再去括

號合并同類項(xiàng)即可將正確的解答過程寫出來．

【詳解】解：由題目中的解答過程可知：小明的解答不正確，

正確解答：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2

＝m2﹣9﹣（m2+2m+1）

＝m2﹣9﹣m2﹣2m﹣1

＝﹣2m﹣10．

【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．

3．（2024?北戴河區(qū)一模）已知多項(xiàng)式P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9．

（1）當(dāng)x＝0時，求P的值；

（2）若x為整數(shù)，試說明多項(xiàng)式P能被5整除．

【答案】（1）﹣5；

（2）理由見解析．

【分析】（1）把x＝0代入多項(xiàng)式計(jì)算即可；

（2）先計(jì)算出P的值為5（x﹣1），然后判斷即可．

【詳解】解：（1）當(dāng)x＝0時，P＝22﹣9＝4﹣9＝﹣5；

（2）P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9

＝x2+4x+4+x﹣x2﹣9

＝5x﹣5

＝5（x﹣1），

∵x為整數(shù)，

∴5（x﹣1）是5的倍數(shù)，

即多項(xiàng)式P能被5整除．

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

4．（2024?城中區(qū)校級三模）求代數(shù)式2（x﹣y）2+（﹣4x3y+6x2y2）÷2xy的值，其中|x﹣3|0．

【答案】2y2﹣xy，原式＝27．+?+?=

【分析】先利用完全平方公式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，然后把x，y的值代入化簡后的式子

進(jìn)行計(jì)算，即可解答．

【詳解】解：2（x﹣y）2+（﹣4x3y+6x2y2）÷2xy

＝2（x2﹣2xy+y2）﹣2x2+3xy

＝2x2﹣4xy+2y2﹣2x2+3xy

＝2y2﹣xy，

∵|x﹣3|0，

+?+?=6

∴x﹣3＝0，x+y＝0，

解得：x＝3，y＝﹣3，

∴當(dāng)x＝3，y＝﹣3時，原式＝2×（﹣3）2﹣3×（﹣3）＝2×9+9＝18+9＝27．

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡求值，絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算

是解題的關(guān)鍵．

5．（2024?城中區(qū)校級二模）先化簡，再求值：（x﹣2y）2+2（x﹣y）（x+y）﹣3x（x﹣2y），其中x＝2，

y＝﹣1．

【答案】2xy+2y2，﹣2．

【分析】首先根據(jù)完全平方公式、平方差公式以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)，然后

將x＝2，y＝﹣1代入化簡后的式子計(jì)算即可．

【詳解】解：（x﹣2y）2+2（x﹣y）（x+y）﹣3x（x﹣2y）

＝x2﹣4xy+4y2+2x2﹣2y2﹣3x2+6xy

＝（x2+2x2﹣3x2）+（﹣4xy+6xy）+（4y2﹣2y2）

＝0+2xy+2y2

＝2xy+2y2，

當(dāng)x＝2，y＝﹣1時，原式＝2×2×（﹣1）+2×（﹣1）2＝﹣2．

【點(diǎn)睛】本題考查整式化簡求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則和運(yùn)算公式是解題關(guān)鍵．

6．（2024?北京模擬）已知x2+2x﹣1＝0，求代數(shù)式（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）的值．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】直接利用乘法公式以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡，再將已知變形代入得出答案．

【詳解】解：（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）

＝x2+2x+1+x2+4x+x2﹣9

＝3x2+6x﹣8，

∵x2+2x﹣1＝0，

∴x2+2x＝1，

∴原式＝3（x2+2x）﹣8

＝3×1﹣8

＝3﹣8

＝﹣5．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡求值，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．

模型03分式的運(yùn)算及化簡

考｜向｜預(yù)｜測

1.常考的形式有兩種：給出分式，直接化簡求結(jié)果；給出分式化簡的過程，根據(jù)題意補(bǔ)全過程或?qū)ふ?/p>

解題過程中的錯誤并寫出正確的化簡結(jié)果；先化簡分式再由字母或式子的值進(jìn)行求解

2.題目一般為2-3項(xiàng)的混合運(yùn)算，涉及1個字母或2個字母，字母的指數(shù)一般不超過2，字母的系數(shù)為10

7

以內(nèi)的有理數(shù)：

3.解題過程中涉及的運(yùn)算有：分式的加減乘除、通分、約分、去括號法則等，分子或分母為多項(xiàng)式時，還會

涉及因式分解。

答｜題｜技｜巧

1.分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號

的先算括號里面的．最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．

分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．

2.分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．

在化簡的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果

要化成最簡分式或整式．

（2024?哈爾濱）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°．

12??1

(?2)÷

【答案】．?+1?+2?+1?+1

3

【分析】依據(jù)題意，先化簡分式，然后化簡后代入計(jì)算可以得解．

3x

【詳解】解：由題意，原式??

1?+12?+1

=?2

?+1??1(?+1)??1

12

?2

=??1??1

?+1?2

=(?+1)(??1)

??1

=(?+1．)(??1)

1

又＝﹣

=?x+12cos30°tan45°

＝21

3

，

×21?

∴=原3式?．

13

==

【點(diǎn)睛】本3題?1主+要1考查3了分式的化簡求值、特殊角的三角函數(shù)值，解題時要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)

鍵．

1．（2025?泗洪縣一模）先簡化，再求值：，其中．

2?1??1

【答案】見試題解答內(nèi)容(2?)÷

??4?+2??2?=3+1

【分析】先對x2﹣4分解因式，再通分、約分，進(jìn)行化簡求值．

8

【詳解】解：原式

2?1??1

=[(?+2)(??2)??+2]÷??2

2??(??2)??2

=(?+2，)(??2)×??1

1

當(dāng)時，

=?x?11

原式=3．+

3

【點(diǎn)睛】考查分式的化簡求值，比較簡單．

=3

2．（2024?西城區(qū)校級模擬）先化簡，再求值：，其中x＝5．

2

2??6?+9

2

【答案】，．(1???1)÷???

?5

【分析】利用分式的相應(yīng)的法則對分式進(jìn)行化簡，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．

??32

【詳解】解：（1）

2

2??6?+9

?2

??1÷???

2

??3(??3)

=??1÷?(??1)

??3?(??1)

2

=??1，?(??3)

?

當(dāng)＝時，

=?x?35

原式．

55

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡求值，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．

=5?3=2

3．（2024?深圳模擬）先化簡，再求值：，其中a＝1．

2

2???4?+4

【答案】見試題解答內(nèi)容

(?+2?1)÷?+2

【分析】根據(jù)分式的減法法則、除法法則把原式化簡，把a(bǔ)的值代入計(jì)算，得到答案．

【詳解】解：原式＝（）?

2??+2?+2

?2

??+2?+2(??2)

??2?+2

=2

?+2，(??2)

1

當(dāng)=?a?＝21時，原式1．

1

【點(diǎn)睛】本題的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

=1?2=?

4．（2024?平江縣二模）已知x2﹣x﹣1＝0，求的值．

2

21???

【答案】．2

1(?+1??)÷?+2?+1

【分析】利用分式的混合運(yùn)算法則將化簡為，再根據(jù)題意得到x2＝x+1，將x2

2

21????+1

＝代入化簡后的式子求解．(?)÷22

x+1?+1??+2?+1?

9

【詳解】解：

2

21???

(?)÷2

?+1??+2?+1

2

??1(?+1)

=?(?+，1)×?(??1)

?+1

∵2﹣2﹣＝，

=x?x10

∴x2＝x+1，

∴上式．

2

?

【點(diǎn)睛】本2題=考1查分式的化簡求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．

=?

5．（2024?朝陽區(qū)一模）已知x+2y+2＝0，求代數(shù)式（x）?的值．

2

4?2?

【答案】見試題解答內(nèi)容????2?

【分析】先化簡所求式子，再根據(jù)x+2y+2＝0，可以得到x+2y＝﹣2，再將x+2y＝﹣2代入化簡后的式子

計(jì)算即可．

【詳解】解：（x）?

2

4?2?

?

????2?

22

??4?2?

=

???2??

(?+2?)(??2?)2?

＝=2（x+2?y）??2?

＝2x+4y，

∵x+2y+2＝0，

∴x+2y＝﹣2，

∴原式＝2（x+2y）＝2×（﹣2）＝﹣4．

【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．

6．（2024?大余縣二模）如圖是學(xué)習(xí)了分式混合運(yùn)算后，甲，乙兩名同學(xué)解答一道題目中第一步的做法，選

擇其中一名同學(xué)的做法，完成解答過程．

計(jì)算：

22

3????1

甲同學(xué)(??1??+1)?2?乙同學(xué)

解：原式．解：原式

2

3?(?+1)?(??1)??13??(?+1)(??1)

=[?]?

我選擇：=甲[/(乙??1同)(?學(xué)+1)?(??1)(?+1)]?2???1?+12?

【答案】甲/乙．

【分析】甲同學(xué)：先通分，然后根據(jù)分式的乘法法則計(jì)算即可；

乙同學(xué)：根據(jù)乘法的分配律計(jì)算即可．

【詳解】解：甲同學(xué)：原式

2

3?(?+1)?(??1)??1

=[(??1)(?+1)?(??1)(?+1)]?2?

10

22

3?+3???+?(??1)(?+1)

=(??1)(?+1)?2?

2

＝2?+；4?

=x+22?

乙同學(xué)：原式

3??(?+1)(??1)

=[??1??+1]?2?

3?(?+1)?(??1)

=2??2?

22

3?+3???+?

=2?

2

＝2?+．4?

=x+22?

故答案為：甲/乙．

【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．

7．（2024?開封二模）化簡：，下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運(yùn)算過程：

2

????1

(?+1+??1)??解：原式＝

[]?

2

?(??1)?(?+1)??1

+?

(?+1)(??1)(?+1)(??1)?

解：原式??

22

???1???1

=+?

?+1???1?

（1）甲同學(xué)解法的依據(jù)是②，乙同學(xué)解法的依據(jù)是③；（填序號）

①等式的基本性質(zhì)；

②分式的基本性質(zhì)；

③乘法分配律；

④乘法交換律．

（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程．

【答案】（1）③；②；

（2）2x．

【分析】（1）根據(jù)乘法分配律，以及分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

（2）若選擇甲同學(xué)的解法：先利用異分母分式加減法法則計(jì)算括號里，再算括號外，即可解答；若選擇

乙同學(xué)的解法：先利用乘法分配律計(jì)算分式的乘法，再算加減，即可解答．

【詳解】解：（1）甲同學(xué)解法的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，乙同學(xué)解法的依據(jù)是乘法分配律，

故答案為：②；③；

（2）若選擇甲同學(xué)的解法：

2

????1

(?+1+??1)??

11

＝[]?

2

?(??1)?(?+1)??1

+

(?+1)(??1)?(?+1)(??1)?

22

???+?+?(?+1)(??1)

=

(?+1)(??1)??

2

2?(?+1)(??1)

＝=；

2(?x+1)(??1)?

若選擇乙同學(xué)的解法：

2

????1

(+)?

?+1???1??

22

???1???1

=+

?+1????1??

?(?+1)(??1)?(?+1)(??1)

＝=﹣+

x?+11+x+1???1?

＝2x．

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

模型04二次根式的計(jì)算

考｜向｜預(yù)｜測

二次根式的計(jì)算主要考查二次根式的混合運(yùn)算，常結(jié)合乘法公式、零指數(shù)冪、整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角

函數(shù)進(jìn)行綜合考查。

答｜題｜技｜巧

二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注

意以下幾點(diǎn)：

①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．

②在運(yùn)算中每個根式可以看做是一個“單項(xiàng)式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．

③二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式．

④在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往

能事半功倍．

（2024?甘肅）計(jì)算：．

3

【答案】見試題解答內(nèi)容18?12×2

【分析】先算乘法，化為最簡二次根式，再合并即可．

【詳解】解：原式＝33

＝0．2?2

12

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法和化為最簡二次根式，合并

同類二次根式．

1．（2024?甘州區(qū)二模）計(jì)算：4（）2．

11

+

【答案】﹣7．2×23?3+23?2

【分析】直接?利用3二次根式的乘法運(yùn)算法則、分母有理化分別化簡，進(jìn)而得出答案．

【詳解】解：原式＝2（3+2+2）

2+3

6?6+

＝25﹣2（2）(3?2)(3+2)

＝26?5﹣26?2+3

＝﹣76?．6??3

【點(diǎn)睛?】此3題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．

2．（2024?臨渭區(qū)三模）計(jì)算：．

1

【答案】23．27?2×6+45÷5

【分析】先根3+據(jù)二次根式的乘法和除法法則運(yùn)算，然后化簡二次根式后合并同類二次根式即可．

【詳解】解：原式＝3

1

＝333?2×6+45÷5

＝23?3．3+

【點(diǎn)睛3+】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則、除法法則

是解決問題的關(guān)鍵．

3．（2024?浙江模擬）先化簡，再求值：，其中a2．

【答案】見試題解答內(nèi)容2(?+5)(??5)??(??4)+14=6?

【分析】根據(jù)平方差公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則、完全平方公式把原式化簡，把a(bǔ)的值代入計(jì)算

即可．

【詳解】解：原式＝2（a2﹣5）﹣（a2﹣4a）+14

＝2a2﹣10﹣a2+4a+14

＝a2+4a+4

＝（a+2）2，

當(dāng)a2時，原式＝（2+2）2＝6．

【點(diǎn)=睛】6本?題考查的是二次根6式?的化簡求值，掌握平方差公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵．

4．（2024?青神縣模擬）計(jì)算：．

1?2302

|3?2|+(?)?(2022?)+

【答案】見試題解答內(nèi)容223+1

13

【分析】先根據(jù)絕對值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的意義計(jì)算，再分母有理化，然后合并即可．

【詳解】解：原式＝24﹣1

2(3?1)

?3++

＝24﹣11(3+1)(3?1)

＝4?．3++3?

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則、零

指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是解決問題的關(guān)鍵．

5．計(jì)算：．

2

【答案】(55﹣?21)．?(3+2)(3?2)

【分析】利用完5全平方公式，平方差公式計(jì)算即可．

【詳解】解：原式＝51﹣（3﹣2）

＝51﹣3+2?25+

＝5?﹣225+

【點(diǎn)睛】5本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式混合運(yùn)算法則，

學(xué)會用代入法解方程組．

6．計(jì)算：

（1）；

2

（2）(33?1)(33+1)?(23?．1)

127+12

(212?)×6?

【答案】（1）133+4；3

（2）115．3

【分析】（2?1）利用平方差公式，完全平方公式計(jì)算即可；

（2）先計(jì)算乘除，再計(jì)算加減．

【詳解】解：（1）原式＝（3）2﹣1﹣（12﹣41）

＝27﹣1﹣12+4133+

＝13+4；3?

（2）原式3＝2

1

＝1231﹣2×26?3×6?27÷3?12÷3

＝112?5．2?

【點(diǎn)睛2】?本題考查二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混

合運(yùn)算法則．

一．解答題（共14小題）

1．（2024?北京）計(jì)算：．

0

【答案】．(??5)+8?2???30°+|?2|

32

14

【分析】先化簡零指數(shù)冪，二次根式，三角函數(shù)，絕對值，再按照實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．

【詳解】解：

0

＝12(??5)+8?2???30°+|?2|

1

．

+22?×2+2

=【點(diǎn)3睛2】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵式掌握去絕對值，零指數(shù)冪，特殊三角函數(shù)值等相關(guān)知識．

2．（2024?青海）計(jì)算：tan45°+π0﹣||．

【答案】．18??2

【分析】2根據(jù)2特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)和如何化簡二次根式，進(jìn)行計(jì)算即

可．

【詳解】解：原式

=32?1+1?2

=32．?2+1?1

=【點(diǎn)2睛2】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)、

絕對值的性質(zhì)和如何化簡二次根式．

3．（2024?吉林）先化簡，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中．

【答案】6．?=3

【分析】先將原式化簡，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】解：（a+1）（a﹣1）+a2+1

＝a2﹣1+a2+1

＝2a2

∵，

2

∴?原=式＝32×（）＝6．

【點(diǎn)睛】本題考3查整式的混合運(yùn)算﹣化簡求值，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．

4．（2024?重慶）計(jì)算：

（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）；

（2）（1）．

2

2??4

【答案】（+）﹣；2

?1?24a÷2??4?+4

（2）．

?

【分析】（）先計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，再計(jì)算整式的加減；

?+21

（2）先計(jì)算括號里面的分式加減，再進(jìn)行因式分解、約分．

【詳解】解：（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）

＝3a﹣a2+a2+2a﹣a﹣2

＝4a﹣2；

（2）（1）

2

2??4

+2

??2÷??4?+4

15

?

2

??2+2(??2)

=

??2(?+2)(??2)

2

?(??2)

=??2．?(?+2)(??2)

?

【點(diǎn)睛】此題考查了代數(shù)式的混合運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定計(jì)算方法和順序，并能進(jìn)行正確地計(jì)算．

=?+2

5．（2024?濰坊）（1）計(jì)算：；

3

1?2

（2）先化簡，再求值：?8+(2)?|?，3其|中．

3?+2

【答案】（）﹣；（）﹣，．

112(?a+12???1)÷??1?=3+2

【分析】（1）先化簡立方根，負(fù)指3數(shù)，絕對值，再相加減；

（2）先括號內(nèi)通分，分子分解因式，除法換作乘法，約分化簡，再代入a值，合并即得．

【詳解】解：（1）

3

1?2

﹣1﹣2

＝﹣2+（2）﹣3?8+(2)?|?3|

＝﹣2+4﹣3

＝﹣1；

（2）

3?+2

(?+1???1)÷??1

2

??1?3?+2

=??1÷??1

＝(?﹣+2；)(??2)??1

=a2??1??+2

當(dāng)時，

原式?=3+2．

【點(diǎn)=睛】3本+題2主?要2=考查3了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的化簡求值，熟練掌握立方根，負(fù)指數(shù)，絕對值，分式的混

合運(yùn)算，是解決問題的關(guān)鍵．

6．（2024?西寧）先化簡，再求值：（3a﹣1）2﹣2a（4a﹣1），其中a滿足a2﹣4a+3＝0．

【答案】a2﹣4a+1，﹣2．

【分析】根據(jù)整式的乘法運(yùn)算和完全平方公式，展開原代數(shù)式，得到a2﹣4a+1，由所給條件得到a2﹣4a

＝﹣3，整體代入，即可得到結(jié)果．

【詳解】解：（3a﹣1）2﹣2a（4a﹣1）

＝（9a2﹣6a+1）﹣8a2+2a

＝（9a2﹣8a2）+（﹣6a+2a）+1

＝a2﹣4a+1

∵a2﹣4a+3＝0，

∴a2﹣4a＝﹣3，

∴原式＝a2﹣4a+1＝﹣3+1＝﹣2．

16

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，化簡求值，熟練掌握整式的相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

﹣

7．（2024?山西）（1）計(jì)算：（﹣6）（）2+[（﹣3）+（﹣1）]；

11

×?

（2）化簡（）．32

11?+2

【答案】（）﹣+；÷2

1??110?+1??1

（2）．

2?

【分析】（）先算括號里面的，再算乘法，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，最后算加減即可；

?+21

（2）先算括號里面的，再把除法化為乘法，最后約分即可．

﹣

【詳解】解：（1）（﹣6）（）2+[（﹣3）+（﹣1）]

11

﹣×?

＝（﹣6）（）2+（﹣3﹣1）2

11

×?﹣

＝（﹣6）3（2）2﹣4

11

×?

＝﹣2﹣4﹣432

＝﹣10；

（2）（）

11?+2

+÷2

??1?+1??1

?+1+??1(?+1)(??1)

=?

(?+1)(??1)??+2

2?(?+1)(??1)

=

(?+1．)(??1)?+2

2?

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知運(yùn)算法則是解題的關(guān)

=?+2

鍵．

8．（2024?廣安）先化簡（a+1），再從﹣2，0，1，2中選取一個適合的數(shù)代入求值．

2

3?+4?+4

?÷

【答案】，當(dāng)a＝0時，原?式?＝1﹣1，當(dāng)??a1＝2時，原式＝0．

??2

【分析】根據(jù)分式的減法法則、除法法則把原式化簡，根據(jù)分式有意義的條件確定的值，代入計(jì)算即

?+2a

可．

【詳解】解：原式＝（）?

2

??13??1

?2

???1??1?+4?+4

??1

(?+2)(??2)2

=?，?1(?+2)

??2

由題意得：且﹣，

=?+2a≠1a≠2

當(dāng)a＝0時，原式1，

0?2

當(dāng)a＝2時，原式=0+2=0?．

2?2

==

2+217

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡求值、分式有意義的條件，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

9．（2024?甘南州）先化簡，再求值：，且x滿足﹣2≤x≤2，取一個值即

22

?+4?+4??44

可．2?2÷(+1)

?+2???4?+4??2

【答案】，當(dāng)x＝1時，原式（答案不唯一）．

?+21+2

【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順=序和運(yùn)=算3法則化簡原式，再將符合條件的的值代入計(jì)算即可．

?1x

【詳解】解：原式

2

(?+2)(?+2)(??2)?+2

2

=?(?+2)?(??2)÷??2

?+2?+2??2

=?，.??2??+2

?+2

∵﹣，且，，

=?2≤x≤2x≠0±2

∴整數(shù)x＝1或﹣1，

∴當(dāng)x＝1時，原式（答案不唯一）．

1+2

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．

=1=3

10．（2024?煙臺）利用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，按鍵順序如下：，若m是其顯示結(jié)

果的平方根，先化簡：（），再求值．

?7??44?2?

+2÷

【答案】，．??39???+3

??22

【分析】先利用分?式的相應(yīng)的法則對式子進(jìn)行化簡，再根據(jù)計(jì)算器計(jì)算出的值，代入運(yùn)算即可．

6?2?5m

【詳解】解：（）

?7??44?2?

+2÷

＝（??3）?9???+3

2

?+3?7??4?+3

2?2

??9???94?2?

2

(??2)?+3

=

(?+3)，(??3)?2(??2)

??2

根據(jù)計(jì)算器可得＝，

=6?2?m±±±2

∵4﹣2m≠0，9?5=4=

∴m≠2，

當(dāng)m＝﹣2時，

原式．

?2?22

【