第10講直線的交點坐標與距離公式目錄TOC\o"1-2"\h\u16065第10講直線的交點坐標與距離公式 121795一、直線的交點坐標 25467基礎知識 219723考點1求兩直線的交點坐標 230119考點2經過兩直線交點的直線方程 38892二、距離公式 49455基礎知識 418286考點3兩點間的距離公式 421594考點4點到直線的距離公式 516720考點5兩條平行直線間的距離公式 511376考點6與距離有關的最值問題 619831三、點、線間的對稱關系 76624基礎知識 725113考點7直線關于點的對稱問題 93390考點8點關于直線的對稱問題 97119考點9直線關于直線的對稱問題 1011724四、課后作業(yè) 1113747單選題 1116280多選題 1227533填空題 1216238解答題 12

一、直線的交點坐標基礎知識1．兩條直線的交點坐標(1)兩條直線的交點坐標

一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩條直線重合.(2)兩條直線的位置關系與方程組的解的關系設兩直線,直線.方程組的解一組無數(shù)組無解直線l1和l2的公共點個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1和l2的位置關系相交重合平行考點1求兩直線的交點坐標【例1.1】（23-24高二上·重慶長壽·期末）直線2x?y+6=0與直線x+y=3的交點坐標是（

）A．(3，0) B．(?1,4) C．(?3,6) 【例1.2】（23-24高二上·四川瀘州·階段練習）若直線y=x+2k+1與直線y=?12x+2的交點在第一象限，則實數(shù)kA．?52,C．?52,?【變式1.1】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）若三條直線2x+y?4=0，x?y+1=0與ax?y+2=0共有兩個交點，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【變式1.2】（23-24高二上·四川遂寧·期中）已知直線ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能構成三角形，則a的取值范圍是（

）A．a≠?2 B．a≠±1C．a≠?2且a≠±1 D．a≠?2且a≠1考點2經過兩直線交點的直線方程【例2.1】（23-24高二上·海南海口·期末）過兩直線3x+y?1=0與x+2y?7=0的交點，并且與第一條直線垂直的直線方程是（）A．3x+y?1=0 B．3x+y+1=0 C．x?3y+13=0 D．x?3y+6=0【例2.2】（23-24高二上·四川雅安·期末）過直線l1:x?2y+4=0與直線l2A．2x?y=0 B．2x+y=0 C．x?2y=0 D．x+2y=0【變式2.1】（23-24高二上·廣東·階段練習）已知直線l經過兩條直線l1：x+y=2，l2：2x?y=1的交點，且l的一個方向向量為v=?3,2，則直線A．2x?3y+1=0 B．2x+3y?5=0C．3x?2y?5=0 D．2x+3y?1=0【變式2.2】（23-24高二上·內蒙古赤峰·階段練習）過直線3x?2y+3=0與x+y?4=0的交點，與直線2x+y?1=0平行的直線方程為（

）A．2x+y?5=0 B．2x+y+1=0C．x+2y?7=0 D．x?2y+5=0

二、距離公式基礎知識1．兩點間的距離公式平面內兩點間的距離公式為.

特別地，原點O到任意一點P(x,y)的距離為|OP|=.2．點到直線的距離公式(1)定義：點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實質上，點到直線的距離是直線上的點與直線外該點的連線的最短距離.

(2)公式：

已知一個定點，一條直線為l：Ax+By+C=0，則定點P到直線l的距離為d=.3．兩條平行直線間的距離公式(1)定義：

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.

(2)公式：

設有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.4．中點坐標公式公式：設平面上兩點，線段的中點為，則.考點3兩點間的距離公式【例1.1】（23-24高二上·天津·期末）三角形的三個頂點為A3,?2,B3,4,C?5,4，D為ACA．3 B．5 C．9 D．25【例1.2】（23-24高二·全國·課堂例題）已知點A3,3a+3與點Ba,3之間的距離為5，則實數(shù)a的值為（A．?1 B．85 C．?1或85 【變式1.1】（23-24高三下·浙江麗水·開學考試）設點A,B在曲線y=log2x上．若AB的中點坐標為(5,2)，則|AB|=A．6 B．210 C．43 【變式1.2】（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐標系xOy中，原點O到直線l1：x?2y+4=0與l2：3x+y?9=0的交點的距離為（A．10 B．23 C．13 D．考點4點到直線的距離公式【例2.1】（23-24高一下·江蘇泰州·期中）已知點A?2,1,B3,2,C7,?5，則點BA．132 B．262 C．13 【例2.2】（23-24高二下·浙江·開學考試）已知點A0,3及直線l:x+y?1=0上一點B，則AB的值不可能是（

A．1 B．2 C．3 D．4【變式2.1】（23-24高二上·浙江紹興·期末）原點到直線l:λx+y?λ+1=0λ∈R的距離的最大值為（A．25 B．225 C．4【變式2.2】（23-24高二上·四川綿陽·期末）已知A?2,0，B4,m兩點到直線l：x?y+1=0的距離相等，則m=（A．?2 B．6 C．?2或4 D．4或6考點5兩條平行直線間的距離公式【例3.1】（23-24高二上·福建三明·期末）兩條平行線l1:x+2y?2=0，l2A．55 B．355 C．5【例3.2】（23-24高二上·山東濟寧·期末）已知直線l1:x?y+1=0與直線l2:2x+ay?2=0平行，則l1A．2 B．2 C．22 D．【變式3.1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知直線3x?4y+6=0與直線3x?4y+m=0間的距離為2，則m=（

）A．?8或4 B．4 C．?4或6 D．?4或16【變式3.2】（23-24高二上·天津北辰·期末）若兩平行直線x+2y+m=0m>0與x?ny?3=0之間的距離是5，則m+n=（

A．?1 B．0 C．1 D．10考點6與距離有關的最值問題【例4.1】（22-23高二上·河南駐馬店·期末）點D?2,?2到直線l:2x?y+mx?m=0m∈RA．5 B．5 C．22 【例4.2】（23-24高二上·江蘇連云港·階段練習）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：x?a2+y?b2可以轉化為平面上點Mx,y與點NA．5 B．29 C．13 D．2+【變式4.1】（23-24高二下·重慶南岸·期中）已知直線l1：ax+y+1=0過定點P，則點P到直線l2：y=kx+1A．1 B．2 C．3 D．2【變式4.2】（23-24高二上·天津和平·期末）設點P，Q分別為直線3x+4y?7=0與直線6x+8y+3=0上的任意一點，則PQ的最小值為（

）A．1 B．2 C．1710 D．

三、點、線間的對稱關系基礎知識1．點關于點的對稱2．直線關于點的對稱3．兩點關于某直線對稱(4)幾種特殊位置的對稱：點對稱軸對稱點坐標P(a,b)x軸(a,-b)y軸(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)4．直線關于直線的對稱考點7直線關于點的對稱問題【例1.1】（23-24高二上·河南南陽·階段練習）直線l:4x+3y?2=0關于點A1,1對稱的直線方程為（

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【例1.2】（23-24高二上·北京海淀·期中）點P(1,2)在直線l上，直線l1與l關于點(0,1)對稱，則一定在直線l1上的點為（A．(12,32) B．(?1,【變式1.1】（23-24高二上·浙江紹興·期末）直線ax+3y?9=0與直線x?3y+b=0關于原點對稱，則a,b的值是A．a=?1，b=?9 B．a=?1，b=9C．a=1，b=?9 D．a=1，b=9【變式1.2】（23-24高一下·內蒙古包頭·期末）與直線3x?4y+5=0關于坐標原點對稱的直線方程為（

）A．3x+4y?5=0 B．3x+4y+5=0C．3x?4y+5=0 D．3x?4y?5=0考點8點關于直線的對稱問題【例2.1】（23-24高二上·廣東佛山·期中）點2,1關于直線x?y+1=0對稱的點的坐標為（

）A．?2,5 B．0,3 C．0,?1 D．?1,2【例2.2】（23-24高二上·浙江·階段練習）一條光線從點P?1,5射出，經直線x?3y+1=0反射后經過點2,3，則反射光線所在直線的方程為（

A．2x?y?1=0 B．x?2=0C．3x?y?3=0 D．4x?y?5=0【變式2.1】（23-24高二上·四川遂寧·期中）已知直線l：x?y=0，則點A?1,4關于l對稱的點的坐標為（

A．4,1 B．4,?1 C．?1,?4 D．1,4【變式2.2】（23-24高二上·河南·階段練習）在△ABC中，已知A(1,1),B(?3,?5)，若直線m:2x+y+6=0為∠ACB的平分線，則直線AC的方程為（

）A．x?2y+1=0 B．6x+7y?13=0C．2x+3y?5=0 D．x=1考點9直線關于直線的對稱問題【例3.1】（23-24高三上·廣東·期末）直線x+2y+3=0關于直線y=?x對稱的直線方程是（

）A．x+2y?3=0 B．2x+y?3=0C．x?2y?3=0 D．2x+3y+3=0【例3.2】（23-24高二上·湖北武漢·期中）已知直線：l1:y=ax+3與l2關于直線y=x對稱，l2與l3A．?12 B．12 C．【變式3.1】（23-24高三上·湖北·階段練習）直線x+2y+3=0關于y軸對稱的直線方程是（

）A．x+2y?3=0 B．x?2y+3=0C．x?2y?3=0 D．3x+2y?1=0【變式3.2】（23-24高二上·上海浦東新·期中）已知直線l:x?y?1=0,l1:2x?y?2=0．若直線l2與l1關于lA．x+y?1=0 B．x+2y?1=0 C．x?2y?1=0 D．x?2y+1=0

四、課后作業(yè)單選題1．（23-24高二上·北京順義·期末）若直線x?ay=0與直線2x+y?1=0的交點為1,y0，則實數(shù)a的值為（A．-1 B．?12 C．12．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）若直線l1:ax+y?4=0與直線l2:x?y?2=0的交點位于第一象限，則實數(shù)A．?1,2 B．?1,+∞ C．?∞,23．（23-24高二上·江西撫州·階段練習）點0,1到直線kx+y+k=0的最大距離為（

）A．2 B．3 C．2 D．14．（2024高三·全國·專題練習）若三條直線l1:4x+y=3,l2:mx+y=0,A．2個 B．3個C．4個 D．6個5．（2024·全國·模擬預測）平行直線l1:2x+y?5=0與l2A．5 B．25 C．35 6．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知A?3,?4，B6,3兩點到直線l:ax+y+1=0的距離相等，求a的值（A．13 B．?97 C．?13或?7．（23-24高二上·全國·期末）點P1,2在直線l上，直線l1與l關于點0,1對稱，則一定在直線l1A．12,32 B．?1,38．（23-24高二上·湖南益陽·階段練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即將軍白天觀望烽火臺，黃昏時從山腳下某處出發(fā)先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，已知將軍從山腳下的點A2,0處出發(fā)，軍營所在的位置為B2,3，河岸線所在直線的方程為y=3x+2，則“將軍飲馬”的最短總路程為（A．3 B．4 C．5 D．6多選題9．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l1:3x+y?1=0與l2A．l1與l2B．過l1與l2的交點且與lC．l1，l2與xD．l110．（23-24高二上·山東濰坊·期末）已知直線l:y=x，點A0,?1，則（

A．過點A與l平行的直線的方程為y=x?1B．點A關于l對稱的點的坐標為0,1C．點A到直線l的距離為2D．過點A與l垂直的直線的方程為y填空題11．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知點A3,3a+3與點Ba,3之間的距離為5，則實數(shù)a的值為12．（23-24高二上·江西新余·開學考試）光線從A(1,2)射向x軸上一點B，又從B反射到直線x?y+3=0上一點C，最后從點C反射回到點A，則BC所在的直線方程為．解答題13．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求過兩條直線y=2x+3與3x?y+2=0