第04講空間向量及其運算的坐標表示目錄TOC\o"1-2"\h\u32625第04講空間向量及其運算的坐標表示 132362一、空間直角坐標系 222197基礎知識 25089考點1求空間點坐標 231010二、空間向量的坐標運算 426182基礎知識 411925考點2空間向量運算的坐標表示 413093考點3空間向量數量積運算的坐標表示 59965三、由空間向量的坐標運算求解相關幾何問題 614687基礎知識 68725考點4空間向量模長的坐標運算 62940考點5空間向量夾角的坐標運算 76559考點6空間向量平行、垂直的坐標運算 812643四、課后作業 90單選題 932025多選題 102799填空題 1021046解答題 10

一、空間直角坐標系基礎知識1．空間直角坐標系(1)空間直角坐標系及相關概念①空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系O-xyz.②相關概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．(2)右手直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．2．空間一點的坐標在空間直角坐標系O-xyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應的有序實數組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．考點1求空間點坐標【例1.1】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）在空間直角坐標系中，點A2,1,1關于yOz平面對稱的點的坐標為（

A．(?2,1,1) B．(2,?1,1) C．(2,1,?1) D．(2,?1,?1)【例1.2】（23-24高二上·安徽黃山·期末）在空間直角坐標系Oxyz中，點M(3,4,?2)在坐標平面Oyz內的射影是點N，則點N的坐標為（

）A．(0,?4,2) B．(3,4,0) C．(0,4,?2) D．(?3,0,2)【變式1.1】（23-24高二上·北京順義·期末）在空間直角坐標系O?xyz中，已知點A2,?3,0，若向量AB=1,2,?3，則點BA．?3,1,3 B．1,?5,3 C．3,?1,?3 D．?1,5,3【變式1.2】（23-24高二下·甘肅定西·階段練習）在空間直角坐標系中，點P1,2,3在x軸上的射影和在xOz平面上的射影分別點M，N，則點M，N的坐標分別為（

A．(0,2,3),(1,2,0) B．(1,0,0),(1,2,0)C．(0,2,3),(1,0,3) D．(1,0,0),(1,0,3)

二、空間向量的坐標運算基礎知識1．空間向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標運算設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運算向量表示坐標表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3考點2空間向量運算的坐標表示【例1.1】（23-24高二上·天津·期末）已知空間向量a=1,2,?3，b=2,?1,1，則A．?3,4,?5 B．5,0,?5C．3,1,?2 D．?1,3,?4【例1.2】（23-24高二·全國·課后作業）已知a=1,?2,1，a?b=?1,2,?1A．2,?4,2 B．?2,4,?2 C．?2,0,?2 D．2,1,?3【變式1.1】（23-24高二上·北京·期中）已知點A?2,3,0，B1,3,2，AP=2AB，則點A．4,3,4 B．?4,?1,?4C．?1,6,2 D．?5,3,?2【變式1.2】（23-24高三·甘肅武威·單元測試）已知向量a=2,3,?4,b=A．0,3,?6 B．0,6,?20 C．0,6,?6 D．6,6,?6考點3空間向量數量積運算的坐標表示【例2.1】（23-24高二上·河北石家莊·期中）已知向量a=1,?1,?2,b=A．1,3,6 B．?3 C．4 D．10【例2.2】（23-24高二上·湖北武漢·期中）已知向量a=x,1,?1，b=2,1,x，若a?A．?2 B．?1 C．0 D．1【變式2.1】（23-24高二上·河北·階段練習）若a=?1,2,?1，b=1,3,?2，則A．22 B．?22 C．?29 D．29【變式2.2】（23-24高二上·北京順義·期末）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P是棱CCA．4 B．22 C．2

三、由空間向量的坐標運算求解相關幾何問題基礎知識1．空間向量的平行、垂直及模、夾角設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).2．空間兩點間的距離公式設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).3．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用空間向量的坐標運算可以求得．考點4空間向量模長的坐標運算【例1.1】（23-24高二下·江蘇·階段練習）已知空間向量a=1,n,2，b=?2,1,2，若2a?bA．532 C．372 D．【例1.2】（23-24高二上·江西·階段練習）已知AB=1,2,3，AC=a,b,b?2，若點A,B,C共線，則A．14 B．214 C．314 【變式1.1】（23-24高二上·江西·期中）已知O是坐標原點，空間向量OA=1,1,2,OB=?1,3,4,OC=A．92 B．8 C．3 【變式1.2】（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，三棱錐A?BCD中，AB⊥平面BCD,∠BCD=π2，BC=2AB=2CD=2，點P為棱AC的中點，E,F分別為直線DP,AB上的動點，則線段EF的最小值為（

A．24 B．22 C．104考點5空間向量夾角的坐標運算【例2.1】（23-24高二上·新疆和田·期末）已知空間向量a=3,0,1,b=?2,1,?4，則向量A．21021 B．?21021 C．7【例2.2】（23-24高二上·湖北黃石·期中）已知向量a=1,2,3，b=?2,?4,?6，c=14，若a+A．30° B．60°C．120° D．150°【變式2.1】（23-24高二上·海南省直轄縣級單位·階段練習）若空間向量a=(1,?2,x)與b=(?1,2,3)的夾角為銳角，則x的取值范圍是（A．?3<x<53 B．x<?3 C．x>5【變式2.2】（23-24高二上·全國·課后作業）已知A0,0,?x，B1,2,2，Cx,2,2三點，點M在平面ABC內，O是平面ABC外一點，且OM=xOA+2xOB+A．π6 B．π4 C．π3考點6空間向量平行、垂直的坐標運算【例3.1】（23-24高二上·陜西漢中·期末）已知空間向量a=(1)若a//b，求實數m與(2)若c=2,m,?1，且b⊥【例3.2】（23-24高二上·北京海淀·階段練習）已知空間向量a=2,4,?2，b=(1)若a//c，求(2)若b⊥c，求【變式3.1】（23-24高二上·安徽亳州·開學考試）已知空間三點A?2,0,2,B?1,1,2(1)若c=3，c//BC(2)求a與b的夾角的余弦值；(3)若ka+b與k【變式3.2】（23-24高二上·上海·期中）已知空間三點A?2,1,2、B(1)若AD=2DB，求點(2)若向量ka+b與k(3)若向量λa?b與a

四、課后作業單選題1．（23-24高二下·重慶·期中）空間直角坐標系中，已知A?1,?1,3，則點A關于yOz平面的對稱點的坐標為（

A．1,1,?3 B．1,?1,3 C．1,1,3 D．?1,1,32．（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知點B3,?1,0,AB=?2,?5,3A．1,?6,3 B．5,4,?3C．?1,6,?3 D．2,5,?33．（2024高二·全國·專題練習）若向量a=2,0,?1，向量b=0,1,?2，則A．?4,1,0 B．?4,1,?4C．4,?1,0 D．4,?1,?44．（23-24高二上·廣東中山·期中）已知向量a=(?1,0,3),b=(1,?1,1),c=(?1,2x,1)A．14 B．?14 C．15．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知a=2,3,1，b=?4,2,x，且a⊥A．1 B．2 C．3 D．?16．（23-24高二下·江蘇·單元測試）若向量a=(1,λ,2),b=(2,?1,2)，且a與b的夾角的余弦值為89，則A．2 B．?2C．?2或255 D．2或7．（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習）設m,n是實數，已知點A2,?5,?1,B?1,?4,?2,Cm+3,?3,nA．10 B．-10 C．-15 D．208．（23-24高二上·浙江麗水·期末）已知向量a=(2,1,0),b=(1,?1,3)A．22 B．23 C．8多選題9．（2024高二上·全國·專題練習）在空間直角坐標系O?xyz中，給出以下結論：其中正確的是（）A．點A1,?3,4關于原點的對稱點的坐標為?1,?3,?4B．點P?1,2,3關于y軸對稱的點的坐標是1,?2,?3C．點P?1,2,3關于xOz平面對稱的點的坐標是?1,?2,3D．已知點A?3,1,5與點B4,3,1，則AB的中點坐標是10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知空間向量a=2,1,?1，b=A．5a=3C．a⊥5a?6b D．填空題11．（23-24高二下·江蘇·課后作業）已知a=(?1,2,1),b=(2,0,1)，則(2a12．（23-24高二下·上海·期中）已知空間向量a=x,1,?2與b=1,?1,2夾角為鈍角，則實數x的取值范圍為解答題13．（23-24高二·全國·課后作業）如圖，在空間直角坐標系中有長