第03講空間向量基本定理目錄TOC\o"1-2"\h\u23604第03講空間向量基本定理 118202一、空間向量基本定理 22955基礎知識 21342考點1空間向量基底概念 232702考點2空間基底表示向量 325441考點3由空間向量基本定理求參數 424896二、空間向量正交分解 618109基礎知識 611434考點4正交分解 623716三、空間向量基本定理解決相關問題 830879基礎知識 828005考點5證明平行、共線、共面問題 83999考點6夾角、垂直問題 922336考點7求距離問題 119634四、課后作業 1331260單選題 1328540多選題 1425058填空題 1521069解答題 15

一、空間向量基本定理基礎知識1．空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步驟(1)定基底：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底．(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果．(3)下結論：利用空間的一個基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．考點1\t"/gzsx/zj135448/_blank"\o"空間向量基底概念及辨析"空間向量基底概念【例1.1】（23-24高二上·廣東東莞·期末）若a,b,A．a+b,C．a+b,【例1.2】（23-24高二上·陜西西安·階段練習）已知a,b,c是空間的一個基底，則可以和A．a+b+c B．a?b【變式1.1】（23-24高二上·上?！て谀┰谝韵旅}中，正確的命題其中真命題是（

）A．若a?b<0B．若a//b，則存在唯一的實數λC．對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP=2OA+2OB?3OC，則P、D．a,b,【變式1.2】（23-24高二上·廣東東莞·期中）若e1,e2,e3是空間的一個基底，且向量a=eA．?1 B．1 C．0 D．?2考點2\t"/gzsx/zj135448/_blank"\o"用空間基底表示向量"空間基底表示向量【例2.1】（23-24高二下·湖南·階段練習）平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，設ABA．BE=?12C．BE=a+【例2.2】（22-23高二上·北京·階段練習）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1C1與BA．?12a+12b+c【變式2.1】（23-24高二上·浙江紹興·期末）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，A．34a+34b+14【變式2.2】（23-24高二下·安徽淮北·開學考試）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD的中點，若PA=a,PB=A．12a?C．12a?考點3由空間向量基本定理求參數【例3.1】（23-24高二上·山東聊城·期末）在三棱錐S?ABC中，D，E，F分別為AB，BC，CA的中點，若SA=xSD+ySE+zA．?1 B．1 C．2 D．3【例3.2】（23-24高二上·貴州畢節·期末）如圖1，在四面體OABC中，點M,N分別為線段OA,BC的中點，若MN=xOA+yOB+z

A．?12 B．14 C．【變式3.1】（23-24高二上·貴州銅仁·期末）如圖，在四面體ABCD中，點M是棱BC上的點，且BM=2MC，點N是棱AD的中點.若MN=xAB+yAC+zAD，其中x，y，A．?12 B．12 C．3【變式3.2】（23-24高二上·北京·期中）平行六面體ABCD?A1B1C1D1的所有棱長都是1，O為A．x=1，y=1 B．x=1，y=C．x=12，y=12

二、空間向量正交分解基礎知識1．空間向量的正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．考點4正交分解【例1.1】（23-24高二上·河北·期中）已知BD⊥平面ABC，AB⊥BC，BD=1，AB=2，BC=3，則空間的一個單位正交基底可以為（

）A．13BC,C．BC,BD,【例1.2】（22-23高二上·河南洛陽·階段練習）已知a,b,c是空間的一個單位正交基底，向量p=a+2b+3A．32,?12,3 B．?3【變式1.1】（22-23高二上·山東煙臺·階段練習）設{i,j,k}是單位正交基底，已知a=i+j,b=A．(10,12,14) B．(14,12,10)C．(12,14,10) D．(4,3,2)【變式1.2】（23-24高二上·河北保定·期中）定義：設a1,a2,a3是空間的一個基底，若向量p→=xa→1+ya→2+za→3，則稱實數組x,y,z為向量A．3 B．6 C．9 D．6

三、空間向量基本定理解決相關問題基礎知識1．證明平行、共線、共面問題(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.2．求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.3．求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．4．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用向量的數量積可以求得．【知識技巧與總結】用已知向量表示某一向量的三個關鍵點：(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.考點5證明平行、共線、共面問題【例1.1】（22-23高二上·廣西河池·期末）已知A,B,C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，下列條件中能確定點M,A,B,C共面的是（

）A．OMB．OMC．OMD．OM【例1.2】（23-24高二·全國·課后作業）在空間四點O，A，B，C中，若{OA,OBA．O，A，B，C四點不共線 B．O，A，B，C四點共面，但不共線C．O，A，B，C四點不共面 D．O，A，B，C點中任意三點不共線【變式1.1】（22-23高二上·山東棗莊·期中）空間A,B,C,D四點共面，但任意三點不共線，若P為該平面外一點且PA=53PB?xA．?43 B．?13 C．【變式1.2】（23-24高二·全國·課后作業）有以下命題：①若p=xa+yb，則p與a?b共面；②若p與a?b共面，則p=xa+yb；③若MP=xMA+yMB，則P?M?A?B四點共面；④若P?M?A?B四點共面，則MP=xMA+yMB；⑤若存在A．①② B．①③ C．②③④ D．③④⑥考點6夾角、垂直問題【例2.1】（22-23高二上·山東聊城·階段練習）如圖，在棱長為1的正四面體OABC中，M，N分別是邊OA，BC的中點，點G在MN上，且MG=2GN，設OA=a，OB=(1)試用向量a，b，c表示向量OG；(2)求cos<OG【例2.2】（23-24高二上·天津靜?！るA段練習）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F，G分別是AB，AD，CD的中點．設AB=a，AC=(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．【變式2.1】（2024高二上·全國·專題練習）已知四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等，求證:這個四面體相對的棱兩兩垂直.已知：如圖，四面體ABCD，E，F，G，H，【變式2.2】（2024高二上·全國·專題練習）如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，(1)用向量AA1，(2)求證：D，M，B(3)當AA1AB考點7求距離問題【例3.1】（23-24高二下·江蘇常州·階段練習）如圖所示，平行六面體ABCD?A1B(1)用向量AB,AD,AA(2)求cosB【例3.2】（23-24高二上·安徽·階段練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為3的菱形，PC=4,∠ABC=∠BCP=∠DCP=120(1)利用空間向量證明PA⊥BD；(2)求AP的長.【變式3.1】（23-24高二上·浙江·期中）如圖，空間四邊形OABC中，OA=OB=OC=2，∠AOC=∠BOC=π2，∠AOB=π3，點M,N分別在OA,BC上，且

(1)以OA,OB,(2)求MN的長度.【變式3.2】（23-24高二上·廣東梅州·階段練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點，設AB=a，AD=（1）求證BM=?（2）求BM的長.

四、課后作業單選題1．（23-24高二上·貴州安順·期末）p:a，b，c是三個不共面的單位向量，q:a,b,c可為空間的一個基底，則p是A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（23-24高二上·重慶·期末）正方體ABCD?A1BA．AB,AC,AD B．AB,AD3．（23-24高二下·甘肅·期中）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E為PD的中點，若PA=a,PB=b，PC=A．12a?C．12a?4．（23-24高二上·廣東·期末）若a,b,A．a?c,C．2b?c5．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知a,b,c是空間的一個基底，a+b,a?b,c是空間的另一個基底，一向量A．4,0,3 B．3,1,3 C．1,2,3 D．2,1,36．（23-24高二上·貴州黔東南·期末）如圖，在三棱錐P?ABC中，點D滿足PB=4PD,CD=xA．12 B．32 C．2 7．（22-23高二下·安徽池州·階段練習）已知a,b,c是空間的一組基底，其中AB=2a?3b，AC=a?c，A．?34 B．34 C．48．（23-24高二上·山東·階段練習）如圖，空間四邊形OABC中，OA=2，OB=3，OC=4，且OA,OB,OC任意兩個之間的夾角均為60°，OM=2MA，

A．693 B．753 C．2多選題9．（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知向量a,b,c能構成空間的一組基底，則能與向量A．a?c C．a+b 10．（23-24高二上·福建南平·期末）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC為等邊三角形，G為△AA．PG=?13C．PG//BC1 填空題11．（2024高三·全國·專題練習）在四面體O?ABC中，空間的一點M滿足OM=12OA+13OB+λOC.若MA12．（23-24高二下·上海浦東新·期中）《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中，M,N分別是A1C1，BB解答題13．（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，設AA1→=a→，AB=b，A