/河南省駐馬店市2024-2025學年高二下冊3月聯考數學試卷一、單選題1．，則（

）A． B．2 C． D．62．拉格朗日中值定理又稱拉氏定理：如果函數在上連續，且在上可導，則必有，使得．已知函數，那么實數的最大值為（

）A．1 B． C． D．03．對于函數，部分x與y的對應關系如下表：x123456789y375961824數列滿足：，且對于任意，點都在函數的圖象上，則（

）A．7569 B．7576 C．7584 D．75904．南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》書中提出高階等差數列前后兩項之差不相等，但是逐項差數之差或者高次差成等差數列.現有高階等差數列，其前6項分別是1，6，13，24，41，66，則該數列的第7項為（

）A．91 B．99 C．101 D．1135．在等比數列中，，是方程的兩個根，則（

）A． B．2 C．1 D．6．已知，，則a，b的等差中項為（

）A． B． C．1 D．7．數列，，，…，，…的第10項是（

）A． B． C． D．8．已知EF是棱長為8的正方體的一條體對角線，空間一點M滿足，AB是正方體的一條棱，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．如圖是導函數的圖象，則下列說法正確的是（

）A．為函數的單調遞增區間B．為函數的單調遞減區間C．函數在處取得極大值D．函數在處取得極小值10．甲、乙、丙、丁四名志愿者到A，B，C三所山區學校參加支教活動，每個志愿者僅在一所學校支教，要求每所學校至少安排一名志愿者，則下列結論中正確的是（

）A．共有72種安排方法B．若甲被安排在A學校，則有12種安排方法C．若A學校需要兩名志愿者，則有12種安排方法D．若甲、乙不能在同一所學校，則有30種安排方法11．已知等差數列的前項和為，若，則（

）A．公差 B．C．的最大值為 D．滿足的的最小值為16三、填空題12．已知，那么；13．已知函數是上的減函數，則實數的取值范圍是．14．設點在拋物線上，已知.若，則；若，則直線斜率的最小值為.15．已知圓系，圓過軸上的定點，線段是圓在軸上截得的弦，設，．對于下列命題：①不論取何實數，圓心始終落在曲線上；②不論取何實數，弦的長為定值1；③不論取何實數，圓系的所有圓都與直線相切；④式子的取值范圍是．其中真命題的序號是（把所有真命題的序號都填上）四、解答題16．盒子內有3個不同的黑球，5個不同的白球.（1）全部取出排成一列，3個黑球兩兩不相鄰的排法有多少種？（2）從中任取6個球，白球的個數不比黑球個數少的取法有多少種？（3）若取一個白球記2分，取一個黑球記1分，從中任取5個球，使總分不少于7分的取法有多少種？17．“每天鍛煉一小時，健康工作五十年，幸福生活一輩子．”一科研單位為了解員工愛好運動是否與性別有關，從單位隨機抽取30名員工進行了問卷調查，得到了如下列聯表：男性女性合計愛好10不愛好8合計30已知在這30人中隨機抽取1人抽到愛好運動的員工的概率是．參考公式：.附表：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)請將上面的列聯表補充完整，根據小概率值的獨立性檢驗，分析愛好運動與否與性別是否有關？(2)若從這人中的女性員工中隨機抽取人參加一活動，記愛好運動的人數為，求的分布列、數學期望．18．已知數列滿足.(1)求的通項公式；(2)已知，求數列的前20項和.19．對于正實數有基本不等式：，其中，為的算術平均數，，為的幾何平均數．現定義的對數平均數：(1)設，求證：：(2)①證明不等式：：②若不等式對于任意的正實數恒成立，求正實數的最大值．答案題號12345678910答案CCDCABABACDBCD題號11答案AC1．C【分析】根據導數的定義，結合導數的計算，可得答案.【詳解】∵，，∴.故選：C.2．C【分析】利用導數判斷單調性，求解出值【詳解】因為函數在上連續，且在上可導，則必有一，使得，又函數，可得，所以，此時，又，所以，因為，且，所以，不妨設，函數定義域為，可得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以當時，函數取得極大值也是最大值，最大值，則當時，λ取得最大值，最大值為．故選：C．3．D【分析】根據題意得到數列是周期為的周期數列，然后求和即可.【詳解】由題意，數列滿足，且點都在函數的圖象上，可得，，，，則數列是周期為的周期數列，即數列滿足，則.故選：D.4．C【分析】根據高階等差數列的定義，逐項作差，可推得為等差數列，且，反向求解可得，.【詳解】由已知可設，，，，，.設，則，，，，.設，則，，，，根據高階等差數列的定義以及的前4項可知，為等差數列，所以，即，所以，即，所以.故選：C.5．A【分析】利用根與系數的關系和等比數列的性質求解即可【詳解】由題意可得所以.因為所以，，所以，所以，所以.故選：A.6．B【分析】先求解可得，然后根據等差中項的性質，即可得出答案.【詳解】由已知可得，.設a，b的等差中項為，根據等差中項的定義，有.故選：B.7．A【分析】由觀察可得數列規律，即可得答案.【詳解】由題可得數列第n項為，則數列第10項為.故選：A8．B【分析】由空間向量的數量積運算計算可得，即可得的軌跡，即可根據數量積的幾何意義求解即可．【詳解】取的中點,,則，所以．所以在以為球心，為半徑的球面上，如圖可知在上的投影數量最小值為，所以的最小值為，所以的最小值為．故選：B．9．ACD【分析】根據時，，即可判斷A，B；利用導數的正負與函數極值之間的關系，即可判斷C，D．【詳解】對于A，B，當時，，故為函數的單調遞增區間，故A正確，B錯誤；對于C，當時，，當時，，故是函數的極大值點，故C正確；對于D，當時，，當時，，故是函數的極小值點，故D正確．故選：ACD．10．BCD【分析】由分類加法計數原理，結合分步乘法計數原理以及分組分配問題，結合間接法即可求解．【詳解】對于A，共有種安排方法，即A錯誤；對于B，若甲被安排在學校，則有種安排方法，即B正確；對于C，若學校需要兩名志愿者，則有種安排方法，即C正確；對于D，若甲、乙不能在同一所學校，則有種安排方法，即D正確．故選：BCD．11．AC【分析】根據求出與公差的關系即可判斷AB；再根據等差數列前項和公式即可判斷CD.【詳解】因為，則，即，則，故A正確；，故B錯誤；由，得，,因為，所以數列是遞減數列，且當時，，當時，，所以的最大值為，故C正確；，令，解得，所以滿足的的最小值為，故D錯誤.故選：AC.12．【分析】根據組合數的性質及組合數的計算公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，即，即，解得或（舍去）故13．【分析】由函數是上的減函數，列出相應的不等式組，即可求解實數的取值范圍.【詳解】∵函數是上的減函數，∴，解得．∴實數的取值范圍是．答案.本題主要考查了分段函數的單調性的應用，其中熟記分段函數的性質，根據分段函數的單調性列出相應的不等式組是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.14．31【分析】第一空：由兩點間距離公式以及點坐標滿足拋物線方程聯立列式即可求解；第二空：將直線斜率表達式求出來，結合基本不等式即可得解.【詳解】第一空：若，則，又，所以，注意到，所以解得滿足題意；第二空：直線斜率為，若，則由基本不等式得，等號成立當且僅當.故3；1.15．②④【分析】對于①，根據圓的方程即可判斷①，對于②，根據弦長公式即可判斷②，根據圓心到直線的距離即可判斷③，對于④，令求出點和點的坐標，根據圓方程求出點坐標，求出和，在利用余弦定理求出，求出的面積即可求出，根據即可判斷④.【詳解】對于①，由圓的方程知，圓心在曲線上，故①不正確．對于②，由弦長公式得：弦的長為，故②正確．對于③，圓心到直線的距離等于，而半徑為，二者不一定相等，故③不正確．對于④，在圓方程令，可得，或，即，，，，由圓方程知，，，由基本不等式得（當且僅當，即時等號成立），中，由余弦定理得，，的面積為，，，，即，故④正確．故②④．16．(1)14400;(2)28;(3)56.（1）首先5個白球進行排列，然后3個黑球進行插空，則3個黑球兩兩不相鄰的排法有；（2）從中任取6個球，白球的個數不比黑球個數少的取法有3類：1個黑球和5個白球、2個黑球和4個白球、3個黑球和3個白球；（3）從中任取5個球，使總分不少于7分的取法有4類：5個白球、4個白球1個黑球、3個白球2個黑球、2個白球3個黑球.【詳解】（1）首先5個白球進行排列，然后3個黑球進行插空，則3個黑球兩兩不相鄰的排法有種；（2）從中任取6個球，白球的個數不比黑球個數少的取法有3類：1個黑球和5個白球、2個黑球和4個白球、3個黑球和3個白球，共有種；（3）從中任取5個球，使總分不少于7分的取法有4類：5個白球、4個白球1個黑球、3個白球2個黑球、2個白球3個黑球，共有種.本題考查分類加法計數原理與分步乘法計數原理，排列與組合，屬于基礎題.17．(1)列聯表見解析，認為愛好運動與否與性別沒有關系(2)分布列見解析，【分析】（1）先完善列聯表，根據題干附注公式計算，對比附注表格的臨界值，然后得出結論；（2）人中，女性人，按照步驟寫出分布列中的每一條概率值，然后得到期望.【詳解】（1）由30人中隨機抽取1人抽到愛好運動的員工的概率是，故愛好運動的員工共有16人，由表中男愛好運動的員工為10人，可得女愛好運動的員工有6人，故列聯表補充如下：男性女性合計愛好10616不愛好6814合計161430零假設為：愛好運動與否與性別沒有關系.由已知數據可求得：，根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，即接受，即認為愛好運動與否與性別沒有關系；（2）的可能取值為，由于女性有人，愛好活動的人，，，所以的分布列為：012的數學期望為：.18．(1)(2)5【分析】（1）根據題意，由條件可得，然后與原式作差，即可得到結果；（2）根據題意，由分組求和即可得到結果.【詳解】（1）當時，可得，當時，，，上述兩式作差可得，因為滿足，所以的通項公式為.（2）因為，所以，.+=5所以數列的前20項和為5.19．(1)證明見解析(2)①證明見解析；②2【分析】（1）構造函數，利用導數判斷出在，上單調遞減，由（1），即可證明；（2）①用分析法證明：轉化為證明，令，由（1）有，即可證明；②先把題意轉化為恒成立.令，求出導函數，對k分類討論：，不符合題意；當時，在，上單調遞減，恒有（1），符合題意．即可求出正實數的最大值．【詳解】（1）令，則，，得在，上單調遞減，又（1），故當時，，因此，當時，；（2）（2）①證明：要證，，，只要證，只要證，即證，令，由（1）有，即得，因此，；②由，，，恒成立，得恒成立，即得恒成立，令，有恒成立，得恒成立，恒成立，令，有，又（1），當（1），即時，方程有一根大于1，一根小于1，可得在