/甘肅省平涼市2024_2025學年高二下冊4月月考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，若，則（）A． B．4 C． D．52．已知三點不共線，對平面外的任一點O，下列條件中能確定點共面的是（

）A． B．C． D．3．已知函數的導函數為，且，則（

）A． B． C． D．4．對函數，若數列滿足，則稱為牛頓數列．若函數，數列為牛頓數列，且，，則（

）A．20 B． C．30 D．5．進入4月份以來，為了支援上海抗擊疫情，A地組織物流企業的汽車運輸隊從高速公路向上海運送抗疫物資.已知A地距離上海500，設車隊從A地勻速行駛到上海，高速公路限速為.已知車隊每小時運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v的立方成正比，比例系數為b，固定部分為a元.若，，為了使全程運輸成本最低，車隊速度v應為（

）A．80 B．90 C．100 D．1106．在四面體中，，，，為的重心，在上，且，則（

）A． B．C． D．7．已知過點作曲線的切線有且僅有1條，則的值為（）A．或 B．或 C． D．8．已知函數無零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知空間向量，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．與夾角的余弦值為－ D．10．已知函數，為的導函數，則（）A．曲線在處的切線方程為B．在區間上單調遞增C．在區間上有極小值D．在區間上有兩個零點11．已知函數，則下列說法正確的是（）A．B．方程恰有4個不等實數根C．存在實數使不等式成立D．若在上恒成立，則實數三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則在上的投影向量的坐標為.13．如圖，在平行六面體中，為的中點，，則；若該六面體的棱長都為2，，則.14．若曲線與曲線存在公切線，則a的最大值．四、解答題（本大題共5小題）15．的內角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若為銳角三角形，，求的取值范圍.16．已知函數（a∈R）．(1)討論的單調性；(2)當時，求函數在區間上的最大值與最小值．17．如圖，在所有棱長都為2的三棱柱中，點E是棱的中點，．(1)求證：平面⊥平面；(2)若，點P滿足，求直線與所成角的余弦值．18．已知雙曲線的右頂點到其漸近線的距離為．點在的漸近線上，過的直線與交于兩點，直線分別與軸交于兩點．(1)求的方程；(2)若的面積為，求的方程；(3)證明：線段的中點為定點．19．南宋的數學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續量問題轉化為求離散變量的垛積問題”．在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應立體圖形作類比，推導出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式．如圖，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第層球數是第n層球數與的和，設各層球數構成一個數列．(1)求數列的通項公式；(2)證明：當時，;(3)若數列滿足，對于，證明：．

答案1．【正確答案】A【詳解】由，可得，又由，則得，即，解得.故選A.2．【正確答案】D【詳解】平面外的任一點O，點共面的充要條件是，且，對于A，由，得，點不共面，A不是；對于B，由，得，點不共面，B不是；對于C，由，得，點不共面，C不是；對于D，由，得，點共面，D是.故選D.3．【正確答案】D【詳解】由可得，令可得，即.故選D.4．【正確答案】B【詳解】因為，所以，則，又因為，且，所以是首項為，公比的等比數列，，，則.故選B.5．【正確答案】C【詳解】解：設運輸成本為元，依題意可得，則所以當時，當時，當時，即函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時取得極小值即最小值，所以時全程運輸成本最低；故選C.6．【正確答案】C【詳解】延長交于點，則點為的中點，因為，所以，所以，所以，所以，因為，，，所以，故選C.7．【正確答案】A【詳解】設切點為，由已知得，則切線斜率，所以切線方程為，因為直線過點，則，化簡得，又因為切線有且僅有1條，即，解得或2，故選A.8．【正確答案】B【詳解】函數無零點，即關于的方程在上沒有實根，也即方程在上沒有實根.設，則，由可得，由可得，故函數在上單調遞增，在上單調遞減，則時，函數取得極大值為，當則，當則，作出函數的圖象，可得其值域為，故.故選B.9．【正確答案】BCD【詳解】因為，，所以，因為，所以向量與不共線，故選項A不正確；因為，，所以，故選項B正確；因為，故選項C正確；因為，所以，即，故選項D正確.故選BCD.10．【正確答案】BC【詳解】依題意，，對于A，，，所求切線方程為，A錯誤；對于B，當時，，在區間上單調遞增，B正確；對于C，在上都單調遞增，則函數在上單調遞增，，，則存在唯一，使得，當時，；當時，，因此在處取得極小值，C正確；對于D，由選項C知，在上有唯一零點，又，當時，，即，，因此在區間上有1零點，D錯誤.故選BC11．【正確答案】ABD【詳解】由題意知，令，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，且時，，當時，，如圖，所以.A：因為，所以，由，，得，則，所以，故A正確；B：由，得或，如圖，由圖可知，當時，方程有1個根，當時，方程有3個根，所以原方程共有4個實根，故B正確；C：若命題成立，則，即，設，則，令，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，故命題不成立，故C錯誤；D：因為，故，又函數在上恒成立，所以，設，則，令，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，即，故D正確.故選ABD.1、構造函數法：令，利用導數求得函數的單調性與最小值，只需恒成立即可；2、參數分離法：轉化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導數求得函數的單調性與最值即可；3，數形結合法：結合函數的圖象在的圖象的上方（或下方），進而得到不等式恒成立.12．【正確答案】【詳解】已知空間向量和，則在上的投影向量為.13．【正確答案】/2.5【詳解】，∴，∴；∵，∴，即．14．【正確答案】【詳解】設公切線與曲線切與點，與曲線切與點，由，得；由得.則，所以，所以，即.設，則.由；由.所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.所以函數.即的最大值為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理得，故，在中，，，所以，，則，可得，所以，所以.（2）由正弦定理可得（為外接圓的半徑），所以，，因為，則，，所以，因為為銳角三角形，則，解得，則，，故.16．【正確答案】(1)答案見解析(2)最大值為，最小值為1【詳解】（1）函數的定義域為，求導得，當時，，函數在上單調遞增；當時，由，得；由，得，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.（2）當時，由（1）知：函數在上單調遞減，上單調遞增，因此當時，取得最小值為；而，則當時，取得最大值，所以函數在區間上的最大值為，最小值為1.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：如圖所示，取的中點，連接，，，因為為中點，為中點，所以．在三棱柱中，，則四邊形是菱形，可得，則，又因為，，且平面，所以平面，因為平面，所以，因為是等邊三角形，為中點，所以，又，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．（2）因為，，所以是等邊三角形，所以．又因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因為由平面，所以，，又因為，以為原點，所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，如圖所示，，設，因為，即，可得，所以，則，又因為，所以．直線CP與所成角的余弦值為.18．【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）因為的一條漸近線方程為，到漸近線的距離為，過得，解得：，所以的方程為①．（2）顯然直線的斜率存在，設的方程為②，①②聯立得：．則有③，④，設，則⑤，⑥，把⑤⑥代入：，所以，得：，解得：．滿足③④式，則直線的方程為．（3）設，不妨設．則直線⑦，聯立①⑦得：，則，則；同理：．而，，又三點共線，則有，則，得：，所以的中點為定點．19．【正確答案】(1)(2)證明見解析(