/河北省唐山市2023?2024學年高二下冊期末聯考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．以下數據為某學校參加學科節數學競賽決賽的10人的成績：（單位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．這10人成績的第百分位數是85，則（

）A．65 B．70 C．75 D．802．集合，則（

）A． B． C． D．3．如圖，中，為邊的中點，為的中點，則（

）

A． B．C． D．4．下列函數中，是奇函數且是增函數的是（

）A． B．C． D．5．已知等差數列，前項和為，則（

）A．20 B．25 C．30 D．356．在三棱錐中，已知底面，，，則三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．7．已知圓的弦的中點為，點為圓上的動點，則的最大值為（

）A．2 B． C．8 D．8．已知（其中為自然對數的底數），則的大小關系為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知拋物線過點，則（

）A．拋物線的標準方程可能為B．拋物線的標準方程可能為C．過點A與拋物線只有一個公共點的直線有一條D．過點A與拋物線只有一個公共點的直線有兩條10．已知是虛數單位，若，則（

）A．復數的虛部為B．復數對應的點在第二象限C．D．復數是關于的方程的一個根11．已知點是正方體表面上的一個動點，則以下說法正確的是（

）A．當在平面上運動時，四棱錐的體積不變B．當在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C．若點在底面上運動，則使直線與平面所成的角為的點的軌跡為橢圓D．若是的中點，點在底面上運動時，不存在點滿足平面三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數在點處的切線的斜率為1，則.13．楷書也叫正楷，真書，正書，是從隸書演變而來的一種漢字字體，其書寫特點是筆畫嚴整規范，線條平直自然，結構勻稱方正，運筆流暢有度，《辭海》解釋楷書“形體方正，筆畫平直，可作楷模”，故名楷書.楷書中筆畫“豎”的寫法主要有垂露豎?懸針豎和短豎三種.小君同學在練習用楷書書寫“十”字時，豎的寫法可能隨機選用其中任意一種，現在小君在一行內寫了5個“十”字，若只比較5處豎的寫法，不比較其它筆畫，且短豎不超過3處，則這5個“十”字的不同寫法共有種.（用數字作答）14．如圖，長方體中，，點為線段上一點，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知為數列的前項和，.(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和.16．某校體育鍛煉時間準備提供三項體育活動供學生選擇．為了解該校學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度（態度分為同意和不同意），隨機調查了200名學生，數據如下：單位：人男生女生合計同意7050120不同意305080合計100100200(1)能否有的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度與性別有關？(2)現有足球、籃球、跳繩供學生選擇．①若甲、乙兩名學生從這三項運動中隨機選一種，且他們的選擇情況相互獨立互不影響．已知在甲學生選擇足球的前提下，兩人的選擇不同的概率為．記事件A為“甲學生選擇足球”，事件B為“甲、乙兩名學生的選擇不同”，判斷事件A、是否獨立，并說明理由；②若該校所有學生每分鐘跳繩個數．根據往年經驗，該校學生經過訓練后，跳繩個數都有明顯進步．假設經過訓練后每人每分鐘跳繩個數比開始時個數增加10，該校有1000名學生，預估經過訓練后該校每分鐘跳182個以上人數（結果四舍五入到整數）．參考公式和數據：，其中；0.0250.0100.0055.0246.6357.879若，則，，．17．在銳角中，內角所對的邊分別為，且.(1)求角A的大小；(2)當時，求面積的最大值.18．已知橢圓經過點和點，橢圓的焦距為2.(1)求橢圓的方程；(2)和是橢圓上異于的兩點，四邊形是平行四邊形，直線分別交軸于點和點是橢圓的右焦點，求四邊形面積的最小值.19．已知函數.(1)若方程有兩解，求實數的取值范圍；(2)若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

答案1．【正確答案】B【分析】由樣本數據第百分位的定義求解即可得出答案.【詳解】因為10人成績的第百分位數是，而，即第位與第位的平均值，所以是這10人成績的第百分為數.故選B.2．【正確答案】A【分析】根據交集運算即可求解．【詳解】，，故.故選A.3．【正確答案】A【分析】利用向量的基本定理與混合運算，結合圖形即可得解.【詳解】在中，為邊的中點，為的中點，則.故選A.4．【正確答案】B【分析】根據函數奇偶性和單調性的定義即可求解．【詳解】選項A，因為且定義域為R，函數為偶函數，故A不合題意；選項B，由且定義域為R，函數為奇函數，由指數函數單調性及解析式，知函數在定義域上單調遞增，符合題意；選項C，函數為奇函數且，可知函數在定義域上單調遞減，故C不合題意；選項D，函數定義域為，不關于原點對稱，不具有奇偶性，故D不合題意.故選B.5．【正確答案】C【分析】由已知結合等差數列的求和公式即可求解.【詳解】設等差數列的首項為，公差為，則，化簡得，.故選C.6．【正確答案】C【分析】將三棱錐補形成正方體，利用正方體的外接球的性質即可得解.【詳解】依題意，將三棱錐補形成正方體，如圖，則該正方體的外接球就是三棱錐的外接球，因為，則該正方體的體對角線長為，所以外接球的直徑，，則外接球的體積.故選C.7．【正確答案】D【分析】由題意，圓心，半徑為3，且和，再由，即可求解.【詳解】圓，圓心，半徑為3，如圖，為弦的中點，，共線時等號成立，.故選D.8．【正確答案】C【分析】根據式子特點，構建函數，利用導數判斷函數的單調性，利用函數單調性比較大小，則可得結果.【詳解】根據的形式轉化可得，從而構造函數，則，，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在,上單調遞增，，即，又，∴，即.故選C.【方法總結】構造函數比較大小的方法：分析給出的數值之間的關系，找出相應數值的共性，進而把某個數值看作自變量的取值，然后找出該數值與其他數值之間的關系，把給出的數值轉化為相應的函數值，最后構造函數利用函數的單調性比較大小.一般通過作差或作商構造函數，作差法構造函數的關鍵點是研究函數的單調性與函數的零點，作商法構造函數的關鍵點是函數值的正負、函數的單調性及函數的最值與1的大小關系.9．【正確答案】ABD【分析】根據題意設出拋物線的方程，利用點在拋物線上及直線與拋物線的位置關系即可求解.【詳解】對于選項A，當拋物線開口向右時，設拋物線的方程為，將代入拋物線中得，則拋物線的方程為，故A正確；對于選項B，當拋物線開口向下時，設拋物線的方程為，將代入拋物線中得，則拋物線為，故B正確；對于C、D選項，過點A與對稱軸平行的直線，以及拋物線在點A處的切線都與拋物線只有一個公共點，故C錯誤，D正確.故選ABD.【規律方法】拋物線的標準方程：①y2=2px，當p>0時，為開口向右的拋物線；當p<0時，為開口向左的拋物線.②x2=2py，當p>0時，為開口向上的拋物線；當p<0時，為開口向下的拋物線.10．【正確答案】ABD【分析】求得復數的虛部判斷選項A；求得復數對應的點所在象限判斷選項B；求得的值判斷選項C；代入驗證法判斷選項D.【詳解】由題意可得，，復數的虛部為，故A正確；，對應的點在第二象限，故B正確；，故C錯誤；由，可得復數是關于的方程的一個根，故D正確.故選ABD.11．【正確答案】AB【分析】可以設正方體的棱長為2，利用四棱錐的體積公式，底面積與高不變則體積不變可以判斷A選項；建立空間直角坐標系，設，表示出與所成角的余弦值，即可根據的范圍求得范圍，進而求得角的范圍，判斷B選項；設，表示出直線與平面所成的角的正弦值得到與的關系，從而得到點的軌跡，判斷C選項；證得平面，所以是平面的法向量，再由平面得到點的軌跡，進而判斷D選項.【詳解】不妨設正方體棱長為.A選項，當在平面上運動時，點到平面的距離為2，所以四棱錐的體積，故A正確；B選項，以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標系，如圖，，設與所成角為，則，當時，.，則，，，，即，當時，，所以，又因為，所以，故B正確；C選項，若點在底面上運動，設，平面的法向量取，則直線與平面所成的角為時，有，化簡為，則點的軌跡為四分之一圓，故C錯誤；D選項，如圖，因為，且平面，所以平面，即是平面的法向量，，若平面，則，即，因為直線與正方形有公共點，即存在點滿足平面，故D錯誤.故選AB.【方法總結】求動點軌跡方程的常見方法有：直接法：從條件中直接尋找到的關系，列出方程后化簡即可；代入法：所求點P與某已知曲線上一點存在某種關系，則可根據條件用表示出，然后代入到所在曲線方程中，即可得到關于的方程；定義法：從條件中能夠判斷出點的軌跡為學過的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過確定相關曲線的要素，求出曲線方程；參數法：從條件中無法直接找到的聯系，但可通過一輔助變量，分別找到與的聯系，從而得到和的方程：，即曲線的參數方程，消去參數后即可得到軌跡方程；（5）交軌法：選擇適當的參數表示兩動曲線的方程，將兩動曲線方程中的參數消去，得到不含參數的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.12．【正確答案】1【分析】利用導數求出切線的斜率，代入點坐標即可求解.【詳解】由題可知，所以.故1.13．【正確答案】232【分析】根據題意分類討論短豎有幾處，結合組合相關概念計算即可.【詳解】當短豎為3處時，不同寫法有40種，當短豎為2處時，不同寫法有種，當短豎為1處時，不同寫法有種，當短豎為0處時，不同寫法有種，所以一共有種不同寫法.故232.14．【正確答案】3【分析】建立空間直角坐標系，設，利用向量數量積的坐標運算得關于的函數，再求解函數最值即可.【詳解】以為坐標原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則，，則，因為，所以當時，取最大值，最大值為3.故3.【思路導引】以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，得到各點坐標，假設，利用向量數量積的坐標運算可得，根據二次函數的性質即可得解.15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據給定條件，利用及等比數列求出通項公式；（2）由（1）求出，再利用裂項相消法求和即得.【詳解】（1）在數列中，，當時，，兩式相減得，即，當時，，解得，因此數列是以2為首項，2為公比的等比數列，則，所以數列的通項公式是；（2）由（1）得：，所以.16．【正確答案】(1)有的把握認為，學生對該觀點的態度與性別有關(2)①事件獨立，理由見解析；②841【分析】（1）計算出卡方，即可判斷；（2）①求出，，即可得到，從而得到，即可判斷；②由已知，經過訓練后每人每分鐘跳繩個數，根據正態分布的性質求出，從而估計出人數.【詳解】（1）提出假設：學生對該問題的態度與性別無關．根據列聯表中的數據可求得，，因為當成立時，的概率約為，所以有的把握認為，學生對該觀點的態度與性別有關；（2）①事件A、獨立．理由如下：因為，，所以，所以，即事件A、獨立；②記經過訓練后每人每分鐘跳繩個數為，由已知，經過訓練后每人每分鐘跳繩個數，因為，所以，所以（人），所以經過訓練后該校每分鐘跳個以上人數約為．17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據正弦定理可得，再結合余弦定理可得，進而求得；（2）由正弦定理得，進而得，再根據銳角三角形可得，得的取值范圍為，再由基本不等式得出其最大值，從而可得面積最大值.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，又因為，故；（2）由正弦定理得，所以，即，因為為銳角三角形，所以解得，所以，即，故，即的取值范圍為，，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為.18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）題目告訴了橢圓焦距和頂點，即知道了，再由，即可求解；（2）由對稱性可設，則，通過表示直線的方程，求得的坐標，從而表示出面積，再根據點P在橢圓上，得到x1與的關系以及的范圍，即可求解.【詳解】（1）由已知，所以，即橢圓的方程為；（2）如圖所示，因為四邊形是平行四邊形，所以線段與線段的中點重合，即關于原點對稱，設，則且，，所以直線的方程為，令，得，即，又，直線的方程為，令，得，即，四邊形面積為，①，因為點在橢圓上，所以且，所以②，將②代入①得，所以當時，，即四邊形面積的最小值為.19．【正確答案】(1)；(2).【分析】