/甘肅省蘭州市2023?2024學年高二下冊7月期末考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知點，，則線段的中點關于平面對稱的點的坐標為（

）A． B． C． D．2．已知隨機變量服從兩點分布，且.設，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.43．已知5對成對樣本數據成線性關系，樣本相關系數為，去掉1對數據后，剩下的4對成對樣本數據成線性關系，樣本相關系數為，則（

）A． B．C． D．的大小無法確定4．假設有兩個分類變量與，它們的可能取值分別為和，其列聯表為：101826則當取下面何值時，與的關系最弱（

）A．8 B．9C．14 D．195．定義一個集合，集合中的元素是空間內的點集，任取，存在不全為0的實數，使得．已知，則的充分條件是（

）A． B．C． D．6．已知為隨機試驗的樣本空間，事件滿足，，則（

）A． B． C． D．7．在長方體中，分別是為和的中點，與平面所成的角為，則該長方體的體積為（

）A． B．6 C． D．8．乒乓球被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項目.已知某次乒乓球比賽單局賽制為：每兩球交換發球權，每贏1球得1分，先得11分者獲勝.當某局打成平后，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝.若單局比賽中，甲發球時獲勝的概率為，甲接球時獲勝的概率為.某局打成平后，甲先發球，則“兩人又打了4個球且甲獲勝”的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．無人機在農業領域的應用對提高農業生產效率，促進農業產業的發展有著極為重要的意義．某地統計了該地近5年的農業無人機保有量，其中用了兩種記錄方式：年份代碼12345無人機數量（架）490510550570580無人機數量（百架）4.95.15.55.75.8根據上表中的數據，可得關于的經驗回歸方程為，則（

）A．與的樣本相關系數B．C．預測第6年該地農業無人機的保有量約為612架D．關于的經驗回歸方程為10．已知離散型隨機變量的分布列如下所示，則下列說法正確的是（

）-2130.25A． B．C． D．11．如圖，為正方體，邊長為1，下列說法正確的是（

）

A．平面 B．到面的距離為C．異面直線與的距離為 D．異面直線與的夾角為三、填空題（本大題共3小題）12．隨機變量，，若，則.13．已知離散型隨機變量X服從二項分布，且，，則的最小值為．14．已知且，設是空間中個不同的點構成的集合，其中任意四點不在同一個平面上，表示點間的距離，記集合.若四面體滿足：平面，且，則.四、解答題（本大題共5小題）15．某汽車生產企業對其生產的四款新能源汽車進行市場調研，從購買者中選取50名車主對車輛進行性能評分，每款車都有1分，2分，3分，4分，5分五個等級，各評分的相應人數統計結果如下表所示.評分款式1分2分3分4分5分基礎版基礎版122310基礎版244531豪華版豪華版113541豪華版200353(1)求這四款車得分的平均數；(2)約定當得分不小于4時，認為該款車型性能優秀，否則認為性能一般，根據上述樣本數據，完成以下列聯表，取顯著性水平，能否認為汽車的性能與款式有關？說明理由.款式性能基礎版豪華版合計一般優秀合計附.16．如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點為的中點.(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點，使二面角的平面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.17．放行準點率是衡量機場運行效率和服務質量的重要指標之一.某機場自2012年起采取相關策略優化各個服務環節，運行效率不斷提升.以下是根據近10年年份數與該機場飛往A地航班放行準點率（）（單位：百分比）的統計數據所作的散點圖及經過初步處理后得到的一些統計量的值.y2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中，.(1)根據散點圖判斷，與哪一個適宜作為該機場飛往A地航班放行準點率y關于年份數x的經驗回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由），并根據表中數據建立經驗回歸方程，由此預測2023年該機場飛往A地的航班放行準點率；(2)已知2023年該機場飛往A地，B地和其他地區的航班比例分別為0.2，0.2和0.6.若以(1)中的預測值作為2023年該機場飛往A地航班放行準點率的估計值，且2023年該機場飛往B地及其他地區（不包含A，B兩地）航班放行準點率的估計值分別為和，試解決以下問題：（i）現從2023年在該機場起飛的航班中隨機抽取一個，求該航班準點放行的概率；（ii）若2023年某航班在該機場準點放行，判斷該航班飛往A地的概率.（保留3位小數）附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，參考數據：，，.18．已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數的單調性；(3)若對任意的，都有成立，求整數的最大值.19．某校為了解本校學生每天的體育活動時間，隨機抽取了100名學生作為樣本，統計并繪制了如下的頻率分布直方圖：(1)從這100名學生中按照分層抽樣的方式在體育活動時間位于和的兩組學生中抽取12名學生，再從這12名學生中隨機抽取3人，用表示這3人中屬于的人數，求的分布列和數學期望；(2)以這100名學生體育活動時間的頻率估計該校學生體育活動時間的概率，若從該校學生中隨機抽取且名學生，求證：當時，“抽取的名學生中恰有5人每天的體育活動時間不低于40分鐘”的概率最大.

答案1．【正確答案】A【分析】求出的中點的坐標，再求出關于平面對稱的點的坐標即可.【詳解】因為點，所以的中點，所以關于平面對稱的點的坐標為，故選A.2．【正確答案】D【分析】根據變量間的關系，轉化為，由兩點分步求解.【詳解】當時，由，所以.故選D.3．【正確答案】A【分析】由散點圖，以及樣本中心，即可判斷選項.【詳解】由題意可知，，，所以樣本點中心是，所以去掉樣本點中心后，由相關系數的公式得故選A.4．【正確答案】C【分析】利用分類變量的相關性進行計算求解.【詳解】在兩個分類變量的列聯表中，當的值越小時，認為兩個分類變量有關的可能性越小．令，得，解得，所以當時，與的關系最弱，故A，B，D錯誤.故選C．5．【正確答案】C【分析】首先分析出三個向量共面，顯然當時，三個向量構成空間的一個基底，即可分析出正確答案.【詳解】由題意知這三個向量共面，即這三個向量不能構成空間的一個基底，對A，由空間直角坐標系易知三個向量共面，則當無法推出，故A錯誤；對B，由空間直角坐標系易知三個向量共面，則當無法推出，故B錯誤；對C，由空間直角坐標系易知三個向量不共面，可構成空間的一個基底，則由能推出，對D，由空間直角坐標系易知三個向量共面，則當無法推出，故D錯誤.故選C．6．【正確答案】D【分析】利用條件概率公式計算可得相互獨立，再利用相互獨立事件的性質及對立事件的概率公式計算得解.【詳解】由，得，即，則事件相互獨立，事件也相互獨立，所以.故選D.7．【正確答案】C【分析】構建空間直角坐標系，令，結合線面角大小及向量法列方程求參數，最后利用棱柱體積公式求體積.【詳解】由題設，構建如下空間直角坐標系，令，則，所以，又面的法向量為，由與平面所成的角為，則，所以，可得，則，所以該長方體的體積為.故選C.8．【正確答案】B【分析】分析出4個球贏球的一方為以下情況，甲乙甲甲，乙甲甲甲，求出兩種情況下的概率，相加即可.【詳解】平后，兩人又打了4個球，甲獲勝，則4個球贏球的一方為以下情況，甲乙甲甲，乙甲甲甲，若是甲乙甲甲，則概率為，若是乙甲甲甲，則概率為，故“兩人又打了4個球且甲獲勝”的概率為.故選B.9．【正確答案】BC【分析】對于A：根據正相關得答案；對于B：直接根據公式計算；對于C：直接代入進行預測；對于D：根據代入計算即可.【詳解】對于A：由表格中的數據可知與正相關，所以與的樣本相關系數，故A錯誤；對于B.將代入，得，故B正確；對于C：在中，令，得，所以預測第6年該地農業無人機的保有量約為612架，故C正確；對于D：因為，所以，故D錯誤.故選BC.10．【正確答案】ACD【分析】根據分布列的性質求，再計算的期望，方差，有關概率進行判斷.【詳解】由題意.所以；所以；.故選ACD.11．【正確答案】ABC【分析】先建立空間直角坐標系，然后利用向量法分別判斷4個選項即可.【詳解】

選項A：如圖建立空間直角坐標系，由題意，，，，，，，，，，，，所以，又因為平面，平面，，所以平面，故A正確；B選項：由A知為平面的法向量，，所以到平面的距離為，故B正確，C選項：，，，設異面直線與的公共法向量為，則，，令，則，，,則異面直線與的距離為，故C正確，D選項：，，，所以異面直線與的夾角的余弦值為，夾角為.故D錯誤，故選ABC.12．【正確答案】【分析】分析可知，結合正態分布的對稱性運算求解.【詳解】因為，可知，若，可得，所以.故答案為.13．【正確答案】【分析】根據數學期望和方差公式得到，，代入式子利用均值不等式計算得到答案.【詳解】，，故，，，，當且僅當，即時等號成立.故答案為.14．【正確答案】【分析】求出三棱錐的六條棱長可得答案.【詳解】因為平面，所以，所以都是直角三角形，又因為，所以，則.故答案為.15．【正確答案】(1)3；(2)列聯表見解析，能，理由見解析.【分析】(1)利用平均數公式求解；(2)根據相關數據完成列聯表，再求得，與臨界值表對照下結論.【詳解】(1)由題意，這四款車得分的平均數為，所以這四款車得分的平均數為3.(2)假設：汽車的性能與款式無關.由題意，列聯表如下：款式性能基礎版豪華版合計一般201232優秀51318合計252550則，所以能在犯錯誤概率不超過0.05的前提下認為汽車的性能與款式有關.16．【正確答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【分析】(1)由面面垂直的性質得平面，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，，利用可得答案；(2)假設在線段上存在點，設，求出平面，平面的一個法向量，由二面角的向量求法可得答案.【詳解】(1)平面平面，平面平面，平面平面，則以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.，設平面的法向量為，則，令，解得：，又，即，又平面平面；(2)假設在線段上存在點，使二面角的大小為.設，則.設平面的一個法向量為，則，令，解得：，又平面的一個法向量為，，即，解得：或（舍去），此時，在線段上存在點，使二面角的平面角的大小為，此時.17．【正確答案】(1)適宜，，；(2)（i）0.778；（ii）.【分析】(1)根據散點圖可判斷適宜作為該機場飛往地航班放行準點率關于年份數的經驗回歸方程類型，再根據所給數據求出關于的線性回歸方程，即求出，，從而得到關于的回歸方程，再代入計算可得；(2)（i）根據全概率公式計算可得；（ii）根據條件概率公式計算可得.【詳解】(1)由散點圖判斷適宜作為該機場飛往地航班放行準點率關于年份數的經驗回歸方程類型.令，先建立關于的線性回歸方程，由于，，該機場飛往地航班放行準點率關于的線性回歸方程為，因此關于年份數的回歸方程為，所以當時，該機場飛往地航班放行準點率的預報值為，所以2023年該機場飛往地航班放行準點率的預報值為.(2)設“該航班飛往地”，“該航班飛往地”，“該航班飛往其他地區”，“該航班準點放行”，則，，，，，.（i）由全概率公式得，，所以該航班準點放行的概率為.（ii）該航班飛往地的概率為，即若年某航班在該機場準點放行，判斷該航班飛往地的概率約為.18．【正確答案】(1)；(2)單調遞減區間是，單調遞增區間是；(3)3.【分析】(1)求出函數的導數，再利用導數的幾何意義求出切線方程作答.(2)利用導數求出的單調區間作答.(3)等價變形給定的不等式，構造函數，利用導數求出函數的最小值情況作答.【詳解】(1)函數，求導得，則，而，所以曲線在點處的切線方程是.(2)函數的定義域是，，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是.(3)，，令，求導得，由(2)知，在上單調遞增，，，因此存在唯一，使得，即，當時，，即，當時，，即，因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，于是，則，所以整數的最大值是3.19．【正確答案】(1)分布列見解析，；(2)證明見解析.【分析】(1)利用分層抽樣得到抽取的12名學生中位于和的人數，得到可能取值和對應的概率，再由超幾何分布得到分布列，計算出數學期望；(2)由頻率分布直方圖求解出每天的運動時間不低于40分鐘的頻率，得