/廣東省2025屆高三下冊3月綜合能力測試（燕博園聯考CAT）數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．在等差數列中，若，則的值為（

）A．18 B．15 C．12 D．93．已知變量與的取值如下表：123455811且對呈現線性相關關系，則與的經驗回歸方程必經過的定點為（

）A． B． C． D．4．在平面直角坐標系內，點，直線上的單位向量為，若，則的值為（

）A．4 B． C．或4 D．或5．2025年3月14日是星期五.學校數學組于3月10日至3月14日舉辦為期5天的“數學節”活動，其中有一項抽獎活動.在一個不透明的紙箱中，放著5個質地、大小完全相同的小球，球上寫著“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分別對應得分.學生從中有放回地任取一個球，記下得分.設事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，則（

）A． B． C． D．6．已知斜率為的直線過拋物線的焦點，且從上到下與依次交于兩點，，則（

）A． B．2 C． D．37．在棱長為2的正方體中，分別為的中點，過直線的平面截該正方體的內切球，所得截面圓的面積的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知為虛數單位，復數滿足，則（

）A．的實部為3B．的虛部為C．D．在復平面內對應的點在第四象限10．已知函數的部分圖像如圖所示，把函數的圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，再將所得圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則（

）A．B．函數的圖像關于直線對稱C．若函數在區間上恰有4個不同的零點，則的取值范圍為D．函數的圖像關于點對稱11．已知數列滿足，數列滿足為數列的前項的積，，則（

）A．B．C．若，則D．若，則的最大值為12三、填空題（本大題共3小題）12．在二項式的展開式中，所有二項式系數和為64，則常數項為.（用數字作答）13．已知為雙曲線的右焦點，為的右頂點，為上的點且在第一象限，且垂直于軸.若的離心率為2，則的斜率為.14．已知函數，且函數，若不等式對任意的恒成立，則實數的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數的極值；(3)討論函數在上的單調性.16．在中，內角的對邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若.（i）求；（ii）過邊上一點作的垂線，垂足分別為，求的最小值.17．如圖，在三棱錐中，是邊長為4的等邊三角形，底面是以為直角的等腰直角三角形.(1)若，證明：平面平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.18．已知是離心率為的橢圓的左、右焦點，上頂點為，的面積為.(1)求橢圓的方程.(2)若直線與橢圓交于兩個不同的點.（i）若，證明：直線恒過定點，并求出點坐標；（ii）若點關于直線對稱，且為坐標原點，求的值.19．已知.設集合或，且，集合.若集合中的元素滿足，則稱為的“相鄰元”.對于整數，若集合存在一個子集滿足：（i）集合中的元素個數為；（ii），在集合中都至少有個“相鄰元”，則稱是“好數”.(1)當時，直接寫出的“相鄰元”；(2)當時，求證：是“好數”；(3)當時，若整數滿足，且，求證：是“好數”.

答案1．【正確答案】D【詳解】由于集合或，則.故選D.2．【正確答案】D【詳解】在等差數列中，，則.故選D.3．【正確答案】C【詳解】由于，則線性回歸方程必過定點.故選C.4．【正確答案】C【詳解】因，則，因直線上的單位向量為，則，得，又因為，且直線上的單位向量為，則，即，當時，；當時，；則或.故選C.5．【正確答案】B【詳解】由已知得，故.故選B.6．【正確答案】D【詳解】

由于，直線方程為，聯立方程，消去得，顯然，得，所以，即.故選D.7．【正確答案】A【詳解】設是線段的中點，則，由勾股定理，球心到距離為，當垂直于過的平面時，截得該正方體的內切球所得截面圓的面積最小，被球截得的弦長為，此時圓的半徑就是，面積為.故選A.8．【正確答案】B【詳解】由于，又，則，即.由于則故選B.9．【正確答案】ACD【詳解】由于，則的實部為的虛部為2，不是，所以A正確，B錯誤；由于在復平面內對應的點在第四象限，所以CD都正確，故選ACD.10．【正確答案】BCD【詳解】對于A：由于，則，令，又，得，選項A錯誤；對于B：函數圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到，再將所得圖像向左平移個單位長度，得到函數，令，則函數圖像關于直線對稱，，選項B正確；對于C：要使函數在區間上恰有4個不同零點，由于，則的取值范圍為，選項C正確；對于D:，令，得，函數的圖像關于點對稱，選項D正確.故選BCD.11．【正確答案】AC【詳解】由于，則，得，因為，所以，所以，即，依次類推，得到.對于選項A：方法1：，將上述不等式累乘得.方法2：由得，即成立.故選項A正確.對于選項B：由于，則，整理得，故選項B錯誤.對于選項C：由于，則，則，得，故選項C正確.對于選項D：由，則，，，將以上式子累加得：，①另外，，將以上式子累加得：，②結合①②式得：，解得，顯然符合題意，此時，綜上所述，的最大值為8，故D錯誤.故選AC.12．【正確答案】240【詳解】因為二項式的展開式中，所有二項式系數和為64，所以，則，二項式的通項為：，，令，得，故常數項是.13．【正確答案】3【詳解】設雙曲線焦距為，則，則.14．【正確答案】【詳解】由于，當所以，故，又，所以，故函數在區間上單調遞增；又，則為偶函數，又函數在區間上單調遞增，所以在區間上單調遞減，又，則問題轉化為不等式對任意恒成立，故不等式對任意恒成立，構造函數，只要，得，故實數的取值范圍是.15．【正確答案】(1)(2)極小值為，無極大值(3)減函數【詳解】（1）由于定義域為，故曲線在點處的切線方程為：，即.（2）令，則，令，則，則函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.故函數的極小值為，無極大值.（3）由于函數，令，則在區間上單調遞減，且，故，使，即，當時，，當時，，故在上遞增，在上遞減.故，當且僅當，即時，等號成立，顯然，等號不成立，故，故在上是減函數.16．【正確答案】(1)(2)（i）；（ii）【詳解】（1）在中，.由及正弦定理得，，整理得.由于，則.又，故.（2）（i）如圖1，在中，，且，由正弦定理得，，即，得.（ii）由于，則與互補，故.方法1：單變量法設，則，，則.當時，取得最小值為.方法2：四點共圓如圖1，由，故四點共圓，且為該圓直徑.由正弦定理得，故求的最小值等價于求的最小值.當時，最小，此時，故取得最小值為.方法3：建系坐標法以的中點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖2，則，，直線，直線.設，則，直線.聯立方程得，.當時，取得最小值為.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在中，，則.取的中點，連接，則.在中，，則，是以為直角的等腰三角形，故.方法1：在中，，則.由于平面，則平面.又平面，故平面平面.方法2：由于，則是二面角的平面角.在中，，則.故二面角為直二面角，即平面平面.（2）方法1：以為坐標原點，以所在直線為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.由于是邊長為4的等邊三角形，二面角的平面角為，則.設直線與平面所成角為，設平面的一個法向量為.由于，由得取，則.由于，故直線與平面所成角的正弦值為.方法2：作平面于，由于平面，則.取的中點為，連接.在等邊中，，則（三垂線定理的逆定理），則就是二面角的平面角，即.在中，，則在內.作于，連，則（三垂線定理）.設直線與平面所成角為，設點到平面的距離為.由于，則，得.由于，故直線與平面所成角的正弦值為18．【正確答案】(1)(2)（i）證明見解析，；（ii）【詳解】（1）由于為等腰三角形，其面積為，則，又，則，得，又，則，得，故橢圓的方程為；（2）（i）由于，則直線的斜率肯定存在，設直線.聯立方程消去得，由得，.由于，因為，且，所以，即，整理得，（*）把代入（*）式，得，又，即，得，得，滿足，故直線過定點；

（ii）關于直線對稱，故直線與垂直，又，當時，直線，橢圓上不存在兩個不同的點關于直線對稱，則，由垂直關系，可設直線的方程為.聯立方程，消去得，設，則，故，，故的中點坐標為，即.由于兩點關于直線對稱，把中點坐標代入中得，，即.由得，，則，即，把代入，得，解得或（舍），當時，，滿足，故.19．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）的“相鄰元”為.（2）因為，所以.設，顯然中每一個元素恰有9個“相鄰元”.設，構造，則集合中的元素個數為.對集合中的任意元素，在集合中至多存在一個，滿足，從而在集合中至少有8個“相鄰元”，所以是“好數”.（3）設，且，且.①當時，集合中的每一個元素均有2025個“相鄰元”.設，則中含有個元素.設.則中含有個元素，.并且兩兩交集為空集，設，則共有：②對于，有在每一個中，至多有一個“相鄰元”.下面證明該結論：