/福建省廈門市2024-2025學(xué)年高二下冊3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若函數(shù)在處可導(dǎo)，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處可導(dǎo)，所以，故選：B2.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A.1 B.2 C. D.【正確答案】A【分析】求導(dǎo)，即可代入求解.【詳解】由可得，故，解得，故選：A3.函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可求出該函數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)椋睿傻茫斜砣缦拢涸鰳O大值減極小值增所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕瘮?shù)在區(qū)間上的最小值.故選：D.4.若函數(shù)在區(qū)間上存在最值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.或【正確答案】C【分析】借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可得其在何處取得最值，即可得解.【詳解】，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得最值，則有，解得.故選：C.5.若函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求導(dǎo)后在區(qū)間上有解,等價(jià)于在區(qū)間上有解，分類討論，計(jì)算即可.【詳解】，因?yàn)樵趨^(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，當(dāng)顯然不出來；當(dāng)時(shí)，，即，故選:C．6.如圖，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.，是的極大值點(diǎn)B.，是的極小值點(diǎn)C.，不是的極大值點(diǎn)D.，是的極值點(diǎn)【正確答案】B【分析】由圖判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合為在點(diǎn)處的切線方程，則有，由此可判斷極值情況.【詳解】由題得，的幾何意義為當(dāng)x取同值時(shí)，到的距離．根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，則有是的極小值點(diǎn)，故選:B．7.若過點(diǎn)可以作的三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)并利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，用表示出，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖象性質(zhì)，進(jìn)而求出的范圍.【詳解】依題意，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，求導(dǎo)得，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，由切線過點(diǎn)，得，令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，而當(dāng)時(shí)，恒有，又，因此當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的問題，求解時(shí)應(yīng)把握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖象在切點(diǎn)處的切線斜率，切點(diǎn)未知，設(shè)出切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.8.設(shè)函數(shù)．若對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A. B. C.2 D.1【正確答案】A【分析】利用導(dǎo)函數(shù)可知在內(nèi)單減，不妨設(shè)，則．問題轉(zhuǎn)化為令則在內(nèi)單增.【詳解】因?yàn)樗裕虼嗽趦?nèi)單減，不妨設(shè)，則．于是已知的不等式就是，即令則在內(nèi)單增，于是即再令，則，在內(nèi)單增，因此．所以，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得部分分.9.下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C D.【正確答案】AC【分析】根據(jù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式求導(dǎo)即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的圖象可知，，，將、用表示，分析從而可得出答案.【詳解】因?yàn)椋蓤D可知，，，，則，故C錯(cuò)誤；，，兩式相減得，即，，則，所以，則，所以，故AB正確；則，故D正確.故選：ABD.11.若、分別是函數(shù)、的零點(diǎn)，且，則稱與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.已知與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則的取值可能是（）A. B. C. D.【正確答案】ABC【分析】求出函數(shù)的零點(diǎn)為，根據(jù)題中定義額可得出函數(shù)的零點(diǎn)為，令，可知，直線與函數(shù)在上的圖象有公共點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t對任意的恒成立，所以，函數(shù)是上的增函數(shù)，且，則.因?yàn)榕c互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，所以，即，解得.因?yàn)椋?，所以在上有解，即在上有解.設(shè)，則.由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的極小值為，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有公共點(diǎn)，所以，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：ABC.方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為____________．【正確答案】##【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)，計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)椋裕睿裕膯握{(diào)遞減區(qū)間為.故或.13.若函數(shù)在處有極小值，則__________.【正確答案】【分析】根據(jù)求得c，然后驗(yàn)證極值即可.【詳解】，因?yàn)樵谔幱袠O小值，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，在處有極大值，不滿足題意.當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，在處有極小值，滿足題意.故答案為.14.函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，若不等式在上恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【正確答案】【分析】先構(gòu)造函數(shù)，利用該函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再求函數(shù)的最大值即可.【詳解】設(shè)，則.由f′x+2x所以在單調(diào)遞增.當(dāng)，時(shí)，不等式可化為：，所以（）.設(shè)，則.由；由.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以.所以.所以正實(shí)數(shù)的取值范圍是.故四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求曲線在點(diǎn)A處的切線方程．（2）曲線是否存在過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線？若存在，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）（2）曲線存在過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，且切點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）設(shè)出過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程以及切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點(diǎn)既在切線上也在曲線上列出方程組求解即可.【小問1詳解】依題意可得，則,∵，∴，∴曲線在點(diǎn)（1，5）處的切線方程為，即；【小問2詳解】設(shè)過原點(diǎn)的切線方程為，則切點(diǎn)為，則,消去k，整理得，解得或，所以曲線存在過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，且切點(diǎn)的坐標(biāo)為或．16.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，（1）求（2）若，求數(shù)列前n項(xiàng)和為，并證明【正確答案】（1）（2），證明見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量列方程求解即可；（2）利用裂項(xiàng)相消的方法求和，結(jié)合放縮法即可得【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題意得：即解得故，故【小問2詳解】，17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）答案見解析.（2）【分析】（1）求導(dǎo)，分和討論導(dǎo)函數(shù)的符號，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）用分離參數(shù)法把問題轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，求的最大值即可.【小問1詳解】因?yàn)椋ǎ?所以.當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由；由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，不等式可化為：在上恒成立.所以在上恒成立.設(shè)（），則.由；由.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以.所以實(shí)數(shù)取值范圍為.18.如圖，在四棱錐中，平面，是上的點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）證明見解析（2）．（3）存在，【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，得到平面，進(jìn)而得到平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面夾角的向量求法即可得到結(jié)論.（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)Q，設(shè)，求出，利用點(diǎn)到面的距離的向量求法即可得到結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫矫妫忠驗(yàn)槠矫妫矫妫云矫嫫矫妫拘?詳解】平面兩兩垂直，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槭巧弦稽c(diǎn)，所以設(shè),得，即，又因?yàn)樗?解得，，，設(shè)平面的法向量為，則，即,令，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，設(shè)平面與平面夾角的為，所以平面與平面夾角的余弦值為．【小問3詳解】假設(shè)在線段上存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面的距離是，設(shè)，則，由（2）知平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)Q到平面距離是，，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí)19.已知函數(shù)，，其導(dǎo)函數(shù)的最小值為0.（1）求實(shí)數(shù)a的值.（2）若，證明.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分，，，三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最小值，再根據(jù)已知即可得解；（2）由（1）知在R上單調(diào)遞增，且，由，得，一個(gè)大于0，一個(gè)小于0，不妨設(shè)，要證，需證，只要證，即證，故只需證，令，，證明在上單調(diào)遞減，即可得證.【小問1詳解】解：設(shè)，則.①若，則單調(diào)遞增，又，且，與題設(shè)矛盾.②若，則無最小