/福建省三明市2024_2025學年高三下冊5月月考數學試卷一、單選題1．已知復數z在復平面內對應的點的坐標是，則（

）A． B． C． D．2．已知集合，若，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．已知向量和的夾角為，且，，則（

）A．3 B． C． D．134．“體育強則中國強，國運興則體育興”.已知某運動員在2024年籃球聯賽中連續10場的得分數據為：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，則這組數據的（

）A．第85百分位數為18 B．眾數為12C．中位數為17 D．平均成績為145．已知，則（

）A． B． C．2 D．36．已知焦點在x軸上的雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則（

）A．1 B． C． D．1或7．已知冪函數是上的偶函數，且函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知，若，則下列結論一定成立的是（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列命題中正確的是（

）A．已知隨機變量服從正態分布，若，則B．將總體劃分為兩層，通過分層抽樣，得到樣本數為m，n的兩層樣本，其樣本平均數和樣本方差分別為，和，，若，則總體方差C．若A、B兩組成對數據的樣本相關系數分別為，，則A組數據比B組數據的相關性強D．已知，，若，則10．在三棱錐中，，則（

）A．B．向量與夾角的余弦值為C．向量是平面的一個法向量D．與平面所成角的正弦值為11．設函數，若，且，則（

）A．實數的取值范圍為B．C．D．當時，三、填空題12．已知的展開式中的第2項的系數與第2項二項式系數之和為198，則展開式中的常數項為．13．中國茶文化博大精深，茶水的口感與水的溫度有關.若茶水原來的溫度是，經過分鐘后的溫度是，滿足，其中表示室溫，是由物體和空氣接觸狀況而定的常數.在室溫恒為的房間中，已知一杯的茶水，測得溫度降到50℃需要10分鐘，則這杯茶水還需要繼續放置分鐘，茶水溫度才降至35℃達到最佳飲用口感.14．設橢圓的左右焦點為，，右頂點為A，已知點P在橢圓E上，若，則橢圓的離心率為．四、解答題15．已知的內角所對的邊分別為，且．（1）求角的大小；（2）點在邊上，且，求的周長．16．如圖，邊長為2的正方形是圓柱的軸截面，為底面圓上的點，為線段的中點．（1）證明：平面．（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長．17．數列滿足：，．（1）數列滿足：，試判斷是否是等比數列，并說明理由；（2）數列滿足：，求數列的前項和．18．已知雙曲線的右焦點為，過點的直線交雙曲線右支于、兩點（點在軸上方），點在雙曲線上，直線交軸于點（點在點的右側）．（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）若點，且，求點的坐標；（3）若的重心在軸上，記、的面積分別為、，求的最小值．19．對于任意兩個正數，記區間上曲線下的曲邊梯形面積為，并規定，，記，其中．（1）若時，求證：；（2）若時，求證：；（3）若，直線與曲線交于，兩點，求證：（其中為自然常數）．

答案1．【正確答案】D【詳解】由題意可得，則.故選D.2．【正確答案】D【詳解】因為，所以,所以由數軸得.即的取值范圍為.故選D.

3．【正確答案】A【詳解】由題意可得，故選A4．【正確答案】A【詳解】將得分數據按升序排列為：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20，對于A：因為，所以第85百分位數為第9位數，即為18，故A正確；對于B：眾數為17，故B錯誤；對于C：中位數為：，故C錯誤；對于D：平均數，故D錯誤；故A.5．【正確答案】C【詳解】因為，所以，，則.故選C．6．【正確答案】A【詳解】因為雙曲線的焦點在x軸上，所以，即.又雙曲線的兩條漸近線互相垂直，所以，即，解得或（舍）.故選A.7．【正確答案】A【詳解】因為冪函數是上的偶函數，則，解得或，當時，，該函數是奇函數，不合乎題意；當時，，該函數是定義域為的偶函數，合乎題意，所以，則，其對稱軸方程為，因為在區間上單調遞減，則.故選A.8．【正確答案】A【詳解】令，得，若，則所以在上單調遞增，當時，則，所以，又在上單調遞增，所以，，當時，，又在上單調遞增，所以，不合題意；當時，，所以，又在上單調遞增，所以，所以，，綜上可得，故選A9．【正確答案】ABD【詳解】對A：因為，且，所以，所以，故A正確；對B：設兩層的數據分別為：和，則，，設總體平均數為，則，因為，所以.因為，，所以，故B正確.對C：由樣本相關系數的意義可知，B組數據比A組數據的相關性強，故C錯誤；對D：由，所以事件獨立，所欲，故D正確.故選ABD10．【正確答案】ACD【詳解】，，故A正確；，，，故B錯誤；，,，是平面的一個法向量，故C正確；與平面所成角的正弦值為：，故D正確．故選ACD.11．【正確答案】BCD【詳解】函數的定義域為，求導得，當時，函數在上單調遞增，最多一個解，不符合題意；當時，由，得或；由，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，函數在處取得極大值，在處取得極小值，對于A，依題意，，實數的取值范圍為，A錯誤；對于B，由A選項知，，，B正確；對于C，依題意，，則，由，得，整理得，則，當且僅當時取等號，解得，C正確；對于D，由C選項知，且，由，得，則，即，，令函數，求導得，當時，；當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，因此，則，即，D正確.故選BCD.12．【正確答案】60【詳解】的展開式的通項公式為，所以展開式中第2項的系數為，二項式系數為，所以，解得．令，得，所以展開式中的常數項為.13．【正確答案】10【詳解】由題意溫度降到50℃時，溫度降到35℃時，，所以，所以，,故10.14．【正確答案】【詳解】如圖：由題意不妨設在第一象限，作軸交軸于點,知，因為，所以，所以，則，由,而解得，又由，所以，又，即，代入解得：，把，代入中，整理得，即，解得（舍）或.15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）由及正弦定理得，所以，所以，因為，所以，所以．（2）在中，，解得，在中，，所以，所以周長．16．【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）取線段的中點，連接．在中，．因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，則．因為平面平面，所以平面．（2）連接．因為是圓的直徑，所以．過點作圓柱的母線，則平面，所以互相垂直．以為原點，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨設，則，所以．設為平面的法向量，所以，令，則．易知直線的一個方向向量為．記直線與平面所成的角為，則，化簡得．結合，解得，所以．17．【正確答案】（1）是，理由見解析（2）【詳解】（1）是等比數列，理由如下：因為，故，又，故，因為，所以，故是以為首項，為公比的等比數列．（2）由（1）可知，所以，所以，所以．18．【正確答案】（1）（2）點的坐標為（3）的最小值為【詳解】（1）已知雙曲線，則，所以雙曲線方程為；（2）雙曲線的右焦點，又，所以，則，因為，所以，則直線，即，所以，解得，即，則，所以點的坐標為；（3）設直線，，則，因為直線過點且與雙曲線右支交于、兩點，所以，又因為的重心在軸上，所以，由點在點的右側，可得，所以，解得，所以，而，代入可得，所以，代入化簡可得：，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值為.19．【正確答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【詳解】（1）因為，且，當時可知，所以，，所以成立；（2）解法一：要證，即證，如圖可知，為與，以及軸所圍成的曲邊梯形的面積．若直線與曲線交于點，過做的切線，分別交，于，，過做軸的平行線分別交，于，，則，易知曲面梯形的面積大于，所以，所以，，得證．解法二：因為時，，所以要證，即證：，即證：，即證：，設，，則不等式可