/福建省泉州市部分中學2023?2024學年高二下冊7月期末聯合檢測數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知隨機變量服從正態分布，則（

）A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.72．已知函數，則的值為（

）A．1 B． C．0 D．3．在研究線性回歸模型時，樣本數據所對應的點均在直線上，用表示解釋變量與響應變量之間的線性相關程度，則（

）A． B． C．1 D．34．隨機變量的分布列如下：12若，則（

）A．0 B．2 C．3 D．45．某班聯歡會原定5個節目，已排成節目單，開演前又增加了2個互動節目，現將這2個互動節目插入節目單中，要求互動節目既不排在第一位，也不排在最后一位，且不相鄰，那么不同的插法種數為（

）A．6 B．10 C．12 D．206．某學校有兩家餐廳，王同學第1天選擇餐廳就餐的概率是，若第1天選擇餐廳，則第2天選擇餐廳的概率為；若第1天選擇餐廳就餐，則第2天選擇餐廳的概率為；已知王同學第2天是去餐廳就餐，則第1天去餐廳就餐的概率為（

）A． B． C． D．7．某人在次射擊中，擊中目標的次數為，其中，擊中偶數次為事件，則（

）A．當時，取得最小值B．若，則的取值范圍是C．若，當取最大值時，則D．當時，隨著的增大而減小8．已知函數，若，則實數的最大值為（

）A．1 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則（

）A． B．C．二項式系數和為256 D．10．設是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．11．設函數，則（

）A．當時，直線不是曲線的切線B．若有三個不同的零點，則C．當時，存在等差數列，滿足D．若曲線上有且僅有四點能構成一個正方形，則三、填空題（本大題共3小題）12．某學校一同學研究溫差與本校當天新增感冒人數人的關系，該同學記錄了5天的數據:568912（人）1720252835經過擬合，發現基本符合經驗回歸方程，則當時，殘差為.13．在“楊輝三角”中，每一個數都是它“肩上”兩個數的和，它開頭幾行如圖所示.那么，在“楊輝三角”中，第行會出現三個相鄰的數，其比為2:3:4.

14．英國物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點時，給出了“牛頓數列”，它在航空航天中應用非常廣泛.其定義是:對于函數，若滿足，則稱數列為牛頓數列.已知，在橫坐標為的點處作的切線，切線與軸交點的橫坐標為，繼續牛頓法的操作得到數列.設，數列的前項積為.若對任意的恒成立，則整數的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．他在十九大報告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態文明發展理念，某城市選用某種植物進行綠化，設其中一株幼苗從觀察之日起，第天的高度為，測得一些數據圖如下表所示:第天12345高度1.31.72.22.83.5(1)由表中數據可看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數加以證明；(2)求關于的回歸直線方程，并預測第7天這株幼苗的高度.參考數據:.參考公式:相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.16．定義:若函數與的圖象在區間上有且僅有一個公共點，則稱函數與在區間上單交，此交點被稱為“單交點”.已知函數.(1)當，判斷函數在點處的切線與函數是否在上單交，若是，并求出“單交點”的坐標；若不是，說明理由?(2)若函數與在上存在“單交點”，求的值.17．ChatGPT是AI技術驅動的自然語言處理工具，引領了人工智能的新一輪創新浪潮.某數學興趣小組為了解使用ChatGPT人群中年齡與是否喜歡該程序的關系，從某社區使用過該程序的人群中隨機抽取了60名居民進行調查.整理如下列聯表：年齡因素對該程序的態度合計不喜歡該程序喜歡該程序青少年7中老年1630合計21注:本研究定義年齡不小于45周歲為“中老年人”，其余的稱為“青少年”.(1)請完成上面列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為年齡因素與是否喜歡該程序有關系;(2)在抽取的60名居民中有5人經常使用該程序輔助工作.以樣本頻率估計概率.若在全市范圍內抽取20位居民，經常使用該程序輔助工作的人數為，求的數學期望和方差;(3)在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.為進一步了解他們的對于AI的認知和看法，在10名高中生中，隨機抽取3人進行訪談，設抽取的3人中男生人數為，求的分布列和數學期望.附:0.10.050.012.7063.8416.63518．已知，.(1)當時，求函數的極值；(2)討論函數的單調性;(3)設，當時，證明:.19．近年來，購買盲盒成為當下年輕人的潮流之一，為了引導青少年正確消費，國家市場監管總局提出，盲盒經營行為應規范指引，經營者不能變相誘導消費，盲盒最吸引人的地方，是因為盒子上沒有標注，只有打開才會知道自己買到了什么，這種不確定性的背后就是概率，現有玩具店推出四種款式不同、單價相同的盲盒（這四款分別是草莓熊、三麗鷗、蛋仔、卡皮巴拉），每款數量足夠多，購買規則及概率規定如下:每次購買一個，且買到任意一種款式的盲盒是等可能的.(1)現小明欲到玩具店購買盲盒，設他首次買到草莓熊這款盲盒時所需要的購買次數為，證明:;(2)設首次出現連續次購買到草莓熊這款盲盒時所需的試驗次數期望為，（i）求；（ii）求.提示:求的方式:先進行第一次試驗，若第一次試驗失敗，因為出現試驗失敗對出現連續兩次成功毫無幫助，可以認為后續期望仍是，即總的試驗次數為；若第一次試驗成功，則進行第二次試驗，當第二次試驗成功時，試驗停止，此時試驗次數為2，若第二次試驗失敗，相當于重新試驗，此時總的試驗次數為.參考公式:

答案1．【正確答案】A【分析】根據題意結合正態分布的對稱性運算求解.【詳解】因為，，則，且，所以.故選A.2．【正確答案】D【分析】根據導數的求導法則求，進而可求.【詳解】因為，所以.故選D.3．【正確答案】A【分析】利用負相關性的定義求解即可.【詳解】由樣本數據可知解釋變量與響應變量之間具有負相關性，所以又因為對應的點均在直線上，故，故A正確.故選A.4．【正確答案】B【分析】根據分布列概率之和為1以及期望值列方程組，解方程組求得a、b的值，進而求得方差.【詳解】由題意可知，，所以.故選B.5．【正確答案】C【分析】利用插空法，原定5個節目之間有4個空位，從中選擇2個安排互動節目即可，結合排列數計算即可求解.【詳解】根據題意：原定5個節目之間有4個空位，從中選擇2個安排互動節目即可，所以不同的插法種數為.故選C.6．【正確答案】B【分析】利用互斥事件的概率加法公式、積事件的乘法公式進行計算求解.【詳解】設“王同學第i天去A餐廳就餐”，“王同學第i天去B餐廳就餐”，，依題意，，，，則，由有：，因為，所以，所以.故選B.7．【正確答案】D【分析】對于A，根據，直接寫出即可判斷；對于B，求出概率，然后運用導數研究單調性，進而得到取值范圍；對于C，求出，因為取最大值，所以，解得范圍即可；對于D，，求出，借助函數分析單調性即可．【詳解】對于A，，當時，取得最大值，故A錯誤；對于B，因為，若，則.由于，則，由于，則，則在上單調遞增.則，的取值范圍是，故B錯誤.對于C，在20次射擊中擊中目標的次數，當時對應的概率，因為取最大值，所以，即，即，解得，因為且，所以，即時概率最大．故C錯誤；對于D，因為所以，，所以，當時，為正項且單調遞減的數列，所以隨著的增大而減小，故D正確；故選D．8．【正確答案】D【分析】整理可得，換元令，構建，可知對任意恒成立，利用導數判斷的單調性和最值，結合恒成立問題分析求解.【詳解】設，則，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增，則，且當趨近于0或時，趨近于，所以在內的值域為.因為的定義域為，若，整理可得，令，設，則，可知對任意恒成立，若，則對任意恒成立，可知在內單調遞增，則，符合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增，則，設，則對任意恒成立，可知在內單調遞減，且，則不等式的解集為，即；綜上所述：，所以實數的最大值為.故選D.9．【正確答案】BC【分析】對于A，由二項式定理求解，對于B，令，對于C，直接由二項式系數公式求解，對于D，先兩邊求導，再令求解．【詳解】對于A項，，故A項錯誤；對于B項，令，得，故B項正確；對于C項，二項式系數和為：；故C項正確；對于D項，對二項展開式兩邊求導得，，令，得，故D項錯誤；故選BC.10．【正確答案】ACD【分析】利用?概率運算的基本公式求解選項即可.【詳解】選項A：所以故選項A正確.選項B：所以所以事件和事件相互獨立，所以事件和事件相互獨立，則故選項B錯誤.選項C:故選項C正確，選項D：因為事件和事件相互獨立，所以事件和事件相互獨立，所以故選項D正確.故選ACD.11．【正確答案】BCD【分析】對于A，利用導數的幾何意義分析判斷，對于B，由題意可得，化簡后可得答案，對于C，由判斷，對于D，由函數關系式可得的圖象關于點對稱，則正方形的中心為，不妨設正方形的4個頂點分別為，設出的方程，與曲線聯立結合弦長公式可求出，同理可得，則可得與的關系，表示出，再構造函數可得答案.【詳解】對于A，當時，，則，因為，所以曲線在點處的切線方程為，所以A錯誤，對于B，因為有三個不同的零點，所以，所以，所以，所以B正確，對于C，當時，，因為，，，，，所以，因為是公差為1的等差數列，所以存在等差數列，滿足，所以C正確，對于D，由，得當時，，所以在上單調遞增，所以曲線上不存在4個點能構成正方形，所以，因為，所以的圖象關于點對稱，所以此正方形的中心為，不妨設正方形的4個頂點分別為，其中一條對角線的方程為，則，解得，所以，同理可得，由，得，化簡得，根據題意可知方程只有一個正解，因為上式不成立，所以，因為，所以，得，設，則，令，由題意可知，只需要直線與函數的圖象只有唯一的公共點即可，結合對勾函數圖象可知，，得，所以D正確，

故選BCD.12．【正確答案】【分析】計算出，將代入回歸方程，得到，求出回歸方程，當時，，計算出殘差.【詳解】，，將代入中得，，解得，故，當時，，故殘差為.故13．【正確答案】34【分析】由題意可知第行第個數為，連續三項，，，結合組合數運算求解即可.【詳解】由題意可知第行（）第個數（）為，根據題意，設所求的行數為，則存在正整數，使得連續三項，，，有且．化簡得，，聯立解得，．故第34行會出現滿足條件的三個相鄰的數．故34.14．【正確答案】2【分析】利用導數求出曲線在點處的切線方程，可得出，結合可求出的值，推導出，可求得，進而可求得整數的最小值.【詳解】由，則，，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知點在直線上，所以，，因為，則，因為，所以，因為函數的零點近似值為r，且函數在上為增函數，因為，，由零點存在定理可知，由題意可知，，故整數的最小值為2.故2.15．【正確答案】(1)證明見詳解；(2)，預測當年份序號為第7天這株幼苗的高度為4.5.【分析】(1)求出，結合公式求出r，即可下結論；(2)利用最小二乘法求出回歸直線方程，令計算，即可求解.【詳解】(1)由，，，所以，因為與1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關系．(2)由題意可得：，所以關于的回歸直線方程為．當時，，由此預測當年份序號為第7天這株幼苗的高度為4.5.16．【正確答案】(1)函數在點處的切線與函數在上單交，單交點為；(2)3.【分析】(1)利用導數的幾何意義求出切線方程，與聯立，得到只有一個根，故在點處的切線與函數在上單交，并求出單交點坐標；(2)轉化為，故，，構造，求導得到其單調性和極值，最值情況，從而得到答案.【詳解】(1)，，，故在點處的切線方程為，時，，聯立與得，，解得，故函數在點處的切線與函數在上單交，當時，，故單交點坐標為；(2)令，定義域為，令，即，故，，令，則，，令得，令得，故在上單調遞減，在上單調遞增，且，故在處取得極小值，也是最小值，且，若函數與在上存在“單交點”，故.17．【正確答案】(1)年齡因素與喜歡該程序有關系；(2)，；(3)分布列見詳解，.【分析】(1)先根據題意完成列聯表，代入公式可得，即可得到結論；(2)依題意可得，即可求得和；(3)依題意可得Y的所有可能取值為0，1，2，3，利用超幾何分布公式求得概率，進而即可得到Y的分布列和期望值．【詳解】(1)根據題意可得列聯表如下；年齡因素對該程序的態度合計不喜歡該程序喜歡該程序青少年72330中老年141630合計213960零假設：年齡因素與是否喜歡該程序無關；根據列聯表的數據計算可得，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即年齡因素與喜歡該程序有關系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1．(2)由題意可知：隨機抽取一人為“經常使用該程序輔助工作”的概率，可知，所以，；(3)易知10名高中生有7名男生，3名女生，則Y的所有可能取值為0，1，2，3，且Y服從超幾何分布：，，，故所求分布列為Y0123P可得.18．【正確答案】(1)的極小值