/安徽省蚌埠市2024_2025學(xué)年高二下冊第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．記為等差數(shù)列的前n項和，若則（

）A．4 B．2 C． D．2．已知曲線在點處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C．2 D．3．6名同學(xué)到A，B，C三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，A場館安排1名，B場館安排2名，C場館安排3名，則不同的安排方法的個數(shù)有（）A．30 B．60 C．120 D．36044．已知的展開式中，前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則展開式中二項式系數(shù)最大的項是（

）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的首項為1，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的前項和為（

）A． B． C．505 D．10136．有4張分別標有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標有1，2，3，4的藍色卡片，從這8張卡片中，取出4張排成一行，如果取出的4張卡片所標的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有（

）種．A．72 B．144 C．384 D．4327．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且當時，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．8．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題正確的有（）A．B．已知的數(shù)，若，則C．D．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則10．已知曲線，則（

）A．不經(jīng)過第二象限B．當，時，上任一點到坐標原點的距離均相等C．上點的橫坐標的取值范圍是D．上任一點到直線的距離的取值范圍是11．如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，P在線段上，Q在底面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若平面，則點Q的軌跡長度為C．存在平面D．平面截以P為球心，PQ長為半徑的球所得的截面面積的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．在的展開式中，含項的系數(shù)為．13．已知兩點，，動點M滿足，拋物線的焦點為F，動點N在C上，則的最小值為.14．設(shè)A，B是曲線上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，將平面直角坐標系沿x軸折疊，使得上、下兩半部分所成二面角為，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.16．如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為直角梯形，．(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．17．已知圓，圓，若動圓與圓外切，且與圓內(nèi)切，記動圓圓心的軌跡為.(1)求的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與曲線交于兩點、，請問：在軸上是否存在一點，使得，如果存在，求出點的坐標，如果不存在請說明理由.18．若正項數(shù)列的前項和為，首項，點在曲線上，數(shù)列滿足，，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列和的通項公式；(3)設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，若不等式第一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．19．泰勒公式是一個非常重要的數(shù)學(xué)定理，它可以將一個函數(shù)在某一點處展開成無限項的多項式．當在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時，它的公式表達式如下：．注：表示函數(shù)在原點處的一階導(dǎo)數(shù)，表示在原點處的二階導(dǎo)數(shù)，以此類推，和表示在原點處的階導(dǎo)數(shù)．(1)求的泰勒公式（寫到含的項為止即可），并估算的值（精確到小數(shù)點后三位）；(2)當時，比較與的大小，并證明；(3)設(shè)，證明：．

答案1．【正確答案】B【詳解】因為，所以.故選B.2．【正確答案】B【詳解】因為曲線，所以所以在點處的切線斜率為，直線的斜率為，又因為兩直線垂直，所以，所以.故選B.3．【正確答案】B【詳解】首先安排C場館的3名同學(xué)，即；再從剩下的3名同學(xué)中來安排A場館的1名同學(xué)，即；最后安排2名同學(xué)到丙場館，即．所以不同的安排方法有：種．故選B.4．【正確答案】C【詳解】展開式中的第項為，所以前三項的系數(shù)依次為，依題意，有，即，整理得，解得（舍去）或.由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，即.故選C.5．【正確答案】A【詳解】設(shè)公差為，因為成等比數(shù)列，所以，則，解得或，當時，，此時與成等比數(shù)列矛盾，故排除，當時，，此時令，而其前項和為，，故A正確.故選A.6．【正確答案】D【詳解】分3類：①紅1藍1，紅4藍4，排成一排；②紅2藍2，紅3藍3，排成一排；③2個1選1張，2個2選1張，2個3選1張，2個4選1張，排成一排，由分類加法計數(shù)原理，共種，故選D．7．【正確答案】D【詳解】令，則，當時，，所以當時，，即在上是增函數(shù)，由題意是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，所以是偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，所以，，即不等式等價為，所以，解得或，所以不等式的解集為．故選D.8．【正確答案】D【詳解】因為，所以∽．設(shè)，則，設(shè)，則，．因為平分，由角平分線定理可知，，所以，所以．由雙曲線定義知，即，解得．又由，得，所以，即是等腰三角形．由余弦定理知，即，化簡得，所以，則雙曲線的漸近線方程為．

故選D.9．【正確答案】BD【詳解】，故A錯誤．對于B,因為，若則，即，故B正確．對于C,因為，故C錯誤．對于D,因為，故，故，D正確．故選BD.10．【正確答案】ABD【詳解】對于A，當時，的方程為，方程無解，所以曲線不經(jīng)過第二象限，故A正確；對于B，當時，的方程為，即，此時方程表示圓心在坐標原點，半徑為2的四分之一圓，所以當時，上任一點到坐標原點的距離均為2，故B正確；對于C，當時，為雙曲線在第一象限的部分，當時，為雙曲線在第三象限的部分，所以曲線的圖象，如圖所示，則上點的橫坐標的取值范圍是，故C錯誤；對于D，因為直線是雙曲線與雙曲線的公共漸近線，所以上任一點到直線的距離都大于0，又上任一點到直線的距離的最大值即四分之一圓上的點到直線的距離的最大值為2，故D正確．故選ABD.11．【正確答案】ABD【詳解】對于A，由，得的面積為定值，由平面平面，得三棱錐的高為定值2，，A正確；對于B，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)平面的法向量為，，則，令，得，設(shè)，，，，則，由平面，得，即點的軌跡方程為，令，得；令，得.又點在底面內(nèi)，因此點的軌跡長度即為兩點間的距離，B正確；對于C，若存在平面，則，由，得，，因此不存在平面，C錯誤；對于D，由平面，得點到平面的距離為定值，而，則，而，則該球的半徑，截面圓的半徑滿足，則截面面積的取值范圍為，D正確.故選ABD.12．【正確答案】【詳解】依題意，展開式中含的項是，含的項是，因此的展開式中，含的項為，所以所求系數(shù)為．13．【正確答案】3【詳解】因為點M滿足，設(shè)，則，兩邊平方整理得，即點M的軌跡為圓心，半徑為2的圓，的最小值是M到準線的最短距離，因為N可以選擇在拋物線上，使得N到M的距離加上N到準線的距離最小，圓心到準線的距離是，圓的半徑是2，所以M到準線的最短距離是，因此，的最小值是14．【正確答案】【詳解】設(shè)，在平面直角坐標系中，過A作軸于點C，過B作軸于點D，則，且分別在上下兩個半平面內(nèi)，折疊后即有，因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為．15．【正確答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)【詳解】（1）當時，函數(shù)的定義域是，，令，得，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是，令，得，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由任意，知恒成立.因，故，在上恒成立.設(shè)，則，令，得，（舍去），當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故當時，取得極大值，也是最大值，且，所以若在上恒成立，則，故實數(shù)的取值范圍是.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）取的中點O，連接，由，得，由平面平面，平面平面平面，得平面，而平面，則，在直角梯形中，，則四邊形為正方形，即，又，且平面，因此平面，而平面，所以.（2）由（1）知，直線兩兩垂直，以O(shè)為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，因此，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．【正確答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）設(shè)動圓的半徑為，由題意，，又，故的軌跡為以、為焦點，長軸長為6的橢圓.又因為圓和圓內(nèi)切，所以左頂點不滿足，，，，故的方程為；（2）假設(shè)存在點，使得，當直線的斜率不存在時，恒成立當直線的斜率存在時，設(shè)，點，，得，，因為，所以，所以，化簡得，代入解得，即存在點，使得.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)；(3)【詳解】（1）證明：由點在曲線上，可得，由于是正項數(shù)列的和，所以兩邊開方得：，因為，所以數(shù)列為公差為，首項為的等差數(shù)列；（2）由數(shù)列為公差為，首項為的等差數(shù)列可得，，即，當時，，由知，上式對也成立，則；數(shù)列滿足，，且，可得，故是以為首項，為公比的等比數(shù)列，可得；（3）由于，所以前項和為，則，兩式相減可得，化簡可得，由不等式對一切恒成立，可得為奇數(shù)時，恒成立，由遞增，可得最小值為，即有，可得；為偶數(shù)時，恒成立，由遞增，可得最小值為，即有，綜上可得：．19．【正確答案】(1)，；(2)，證明見詳解；(3)證明見解析.【分析】（1）求出，根據(jù)泰勒公式可得；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)