17.2.2用完全平方公式分解因式第十七章

因式分解【2025新教材】人教版數(shù)學(xué)

八年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********17.1用完全平方公式分解因式教案一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能目標(biāo)學(xué)生能夠精準(zhǔn)闡述完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，清晰辨別多項(xiàng)式中符合完全平方公式的部分。熟練運(yùn)用完全平方公式對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，涵蓋公式中字母代表數(shù)、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式等不同情形。能夠借助完全平方公式解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如代數(shù)式化簡(jiǎn)、求值以及與完全平方相關(guān)的幾何圖形面積計(jì)算等。（二）過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)對(duì)完全平方公式從整式乘法到因式分解的逆向推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，提升學(xué)生在正向與逆向思維間靈活轉(zhuǎn)換的能力。借助對(duì)具體多項(xiàng)式的分析與分解過(guò)程，鍛煉學(xué)生的觀察、分析、歸納和概括能力，使其掌握從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法。在解決問(wèn)題過(guò)程中，滲透整體代換、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí)和能力。（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)激發(fā)學(xué)生對(duì)因式分解中完全平方公式學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生在自主探索與合作交流中感受數(shù)學(xué)魅力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度，在運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解時(shí)，注重步驟的規(guī)范性和準(zhǔn)確性，提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和邏輯美，加深對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的熱愛(ài)。二、教學(xué)重難點(diǎn)（一）教學(xué)重點(diǎn)透徹理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，即兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)和（或差）的平方，表達(dá)式為\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)，\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)。熟練掌握運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解的方法，能夠準(zhǔn)確確定公式中的\(a\)和\(b\)，并正確分解。（二）教學(xué)難點(diǎn)當(dāng)多項(xiàng)式形式復(fù)雜時(shí)，準(zhǔn)確判斷其是否符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，尤其是當(dāng)公式中的\(a\)和\(b\)為多項(xiàng)式或復(fù)雜代數(shù)式時(shí)。理解因式分解需分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，避免分解不徹底。靈活運(yùn)用完全平方公式解決實(shí)際問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用公式求解。三、教學(xué)方法講授法：系統(tǒng)講解完全平方公式的概念、結(jié)構(gòu)特征、推導(dǎo)過(guò)程以及運(yùn)用該公式進(jìn)行因式分解的步驟和原理，確保學(xué)生全面、系統(tǒng)地理解知識(shí)。探究法：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究完全平方公式從整式乘法到因式分解的逆向過(guò)程，以及如何運(yùn)用公式對(duì)不同形式的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究和創(chuàng)新思維能力。討論法：組織學(xué)生小組討論，針對(duì)確定多項(xiàng)式是否符合完全平方公式以及分解過(guò)程中遇到的問(wèn)題進(jìn)行交流探討，促進(jìn)學(xué)生思想碰撞，提高合作交流和解決問(wèn)題的能力。練習(xí)法：設(shè)計(jì)有層次、有針對(duì)性的練習(xí)題，包括基礎(chǔ)題、提高題和拓展題，讓學(xué)生在練習(xí)中鞏固知識(shí)，熟練掌握完全平方公式的運(yùn)用技巧，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題。四、教學(xué)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入（5分鐘）回顧整式乘法中的完全平方公式：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)，請(qǐng)學(xué)生舉例說(shuō)明，如\((2+3)^2=2^2+2??2??3+3^2=4+12+9=25\)，\((5-2)^2=5^2-2??5??2+2^2=25-20+4=9\)。提出問(wèn)題：若已知\(4+12+9\)，如何將其寫成一個(gè)整式平方的形式？引導(dǎo)學(xué)生從整式乘法完全平方公式的逆方向思考，引出本節(jié)課利用完全平方公式進(jìn)行因式分解的內(nèi)容，讓學(xué)生體會(huì)因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系。（二）探索新知（15分鐘）完全平方公式的逆向推導(dǎo)引導(dǎo)學(xué)生觀察整式乘法的完全平方公式\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)，將其左右兩邊互換位置，得到\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)，\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)，這就是因式分解中的完全平方公式。通過(guò)具體數(shù)值進(jìn)一步說(shuō)明，如\(16+24+9=4^2+2??4??3+3^2\)，根據(jù)完全平方公式可寫成\((4+3)^2\)。完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征分析給出一些多項(xiàng)式，如\(x^2+6x+9\)、\(4y^2-12y+9\)、\(9m^2+30m+25\)等，讓學(xué)生觀察這些多項(xiàng)式的特點(diǎn)。總結(jié)能用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征：必須是三項(xiàng)式。其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)（或式子）的平方形式，且這兩項(xiàng)符號(hào)相同。另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或式子）乘積的2倍，符號(hào)可正可負(fù)。以\(x^2+6x+9\)為例，\(x^2\)是\(x\)的平方，\(9\)是\(3\)的平方，\(6x=2??x??3\)，符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，可分解為\((x+3)^2\)。確定公式中的\(a\)和\(b\)對(duì)于不同形式的多項(xiàng)式，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確確定公式中的\(a\)和\(b\)。如在\(4y^2-12y+9\)中，\(4y^2=(2y)^2\)，這里\(2y\)就是公式中的\(a\)；\(9=3^2\)，\(3\)就是公式中的\(b\)，\(-12y=-2??2y??3\)，所以\(4y^2-12y+9=(2y-3)^2\)。再如\(9m^2+30m+25=(3m)^2+2??3m??5+5^2\)，\(3m\)是\(a\)，\(5\)是\(b\)，可分解為\((3m+5)^2\)。（三）例題講解（15分鐘）例1：將下列各式分解因式(1)\(x^2+10x+25\)分析：\(x^2\)是\(x\)的平方，\(25=5^2\)，\(10x=2??x??5\)，符合完全平方公式結(jié)構(gòu)特征，\(a=x\)，\(b=5\)。解：\(x^2+10x+25=(x+5)^2\)(2)\(16a^2-24ab+9b^2\)分析：\(16a^2=(4a)^2\)，\(9b^2=(3b)^2\)，\(-24ab=-2??4a??3b\)，兩項(xiàng)平方項(xiàng)符號(hào)相同，中間項(xiàng)是兩數(shù)乘積的2倍，\(a=4a\)，\(b=3b\)。解：\(16a^2-24ab+9b^2=(4a-3b)^2\)例2：分解因式\((m-n)^2-4(m-n)+4\)分析：把\((m-n)\)看作一個(gè)整體，相當(dāng)于完全平方公式中的\(a\)，\(2\)相當(dāng)于\(b\)。解：\((m-n)^2-4(m-n)+4=[(m-n)-2]^2=(m-n-2)^2\)例3：利用分解因式計(jì)算\(99^2+198+1\)分析：可將式子變形為\(99^2+2??99??1+1^2\)，符合完全平方公式，\(a=99\)，\(b=1\)。解：\(99^2+198+1=99^2+2??99??1+1^2=(99+1)^2=100^2=10000\)（四）課堂練習(xí)（10分鐘）下列多項(xiàng)式中，哪些是完全平方式？(1)\(x^2-4x+4\)(2)\(x^2+x+1\)(3)\(9y^2-6y+1\)(4)\(4x^2+16xy+16y^2\)把下列各式因式分解(1)\(x^2+12x+36\)(2)\(25m^2-20mn+4n^2\)(3)\((a+b)^2+10(a+b)+25\)(4)\(9x^4-6x^2+1\)教師巡視學(xué)生練習(xí)情況，及時(shí)給予指導(dǎo)，選取部分學(xué)生的答案進(jìn)行展示和點(diǎn)評(píng)，強(qiáng)調(diào)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及在確定\(a\)和\(b\)時(shí)的注意事項(xiàng)，如準(zhǔn)確識(shí)別平方項(xiàng)、注意系數(shù)的處理以及中間項(xiàng)與兩平方項(xiàng)的關(guān)系等。（五）課堂小結(jié)（3分鐘）與學(xué)生一起回顧完全平方公式\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)，\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)的結(jié)構(gòu)特征，包括三項(xiàng)式、平方項(xiàng)符號(hào)相同、中間項(xiàng)是兩數(shù)乘積的2倍等要點(diǎn)?？偨Y(jié)運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解的步驟：先判斷多項(xiàng)式是否符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，若符合，準(zhǔn)確確定公式中的\(a\)和\(b\)，然后代入公式進(jìn)行分解。強(qiáng)調(diào)因式分解要分解徹底，以及完全平方公式與整式乘法的互逆關(guān)系，可利用整式乘法來(lái)檢驗(yàn)因式分解的正確性。（六）作業(yè)布置（2分鐘）基礎(chǔ)作業(yè)：教材課后練習(xí)題中關(guān)于利用完全平方公式分解因式的相關(guān)題目，鞏固本節(jié)課所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。拓展作業(yè)：已知\(a^2+2ab+b^2=25\)，\(a+b\)的值為多少？分解因式\((x^2+4)^2+8x(x^2+4)+16x^2\)。五、教學(xué)反思在教學(xué)過(guò)程中，密切關(guān)注學(xué)生對(duì)完全平方公式的理解和運(yùn)用情況。通過(guò)學(xué)生在課堂練習(xí)和回答問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，分析學(xué)生的學(xué)習(xí)困難點(diǎn)，如對(duì)完全平方公式結(jié)構(gòu)特征判斷不準(zhǔn)確、確定\(a\)和\(b\)錯(cuò)誤以及分解不徹底等問(wèn)題。針對(duì)這些問(wèn)題，在后續(xù)教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)完全平方公式結(jié)構(gòu)特征的專項(xiàng)訓(xùn)練，增加更多復(fù)雜形式多項(xiàng)式的練習(xí)，注重對(duì)學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)的反復(fù)強(qiáng)調(diào)和糾正。同時(shí)，關(guān)注不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，對(duì)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生給予更多的輔導(dǎo)和幫助，確保每個(gè)學(xué)生都能在本節(jié)課中有所收獲。此外，思考在教學(xué)方法上是否可以進(jìn)一步優(yōu)化，讓學(xué)生更加主動(dòng)地參與到知識(shí)的探索和應(yīng)用中，提高課堂教學(xué)的效率和質(zhì)量。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.通過(guò)學(xué)生自主探究，理解完全平方式的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力．2．通過(guò)對(duì)用完全平方公式分解因式的探究學(xué)習(xí)，體會(huì)歸納的數(shù)學(xué)思想方法，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)和交流的習(xí)慣．3．通過(guò)練習(xí)用完全平方公式分解因式，鍛煉學(xué)生的計(jì)算能力．重點(diǎn)難點(diǎn)用完全平方公式分解因式知識(shí)點(diǎn)你能把下面4個(gè)圖形拼成一個(gè)正方形并求出你拼成的圖形的面積嗎？aabbabababa2b2ab學(xué)生活動(dòng)

【一起探究】同學(xué)們拼出圖形為：這個(gè)大正方形的面積可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2=ababa2ababb2(a+b)2a2+2ab+b2=將上面的等式倒過(guò)來(lái)看，能得到：

a2+2ab+b2

a2–2ab+b2

我們把a(bǔ)2+2ab+b2和a2–2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式.觀察這兩個(gè)多項(xiàng)式：(1)每個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)？(3)中間項(xiàng)和第一項(xiàng)，第三項(xiàng)有什么關(guān)系？(2)每個(gè)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)有什么特征？三項(xiàng).這兩項(xiàng)都是數(shù)或式的平方，并且符號(hào)相同.是第一項(xiàng)和第三項(xiàng)底數(shù)的積的±2倍.完全平方式的特點(diǎn)：

1.必須是三項(xiàng)式(或可以看成三項(xiàng)的)；

2.有兩個(gè)同號(hào)的數(shù)或式的平方；

3.中間有兩底數(shù)之積的±2倍.

完全平方式:簡(jiǎn)記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.凡具備這些特點(diǎn)的三項(xiàng)式，就是完全平方式，將它寫成完全平方形式，便實(shí)現(xiàn)了因式分解.2ab+b2±=(a

±

b)2a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方.3.a2+4ab+4b2=()2+2·()·()+()2=()22.m2–6m+9=(

)2–2·()·(

)+()2=()21.x2+4x+4=()2+2·()·()+()2=()2x2x+2aa

2ba+2b2b對(duì)照a2±2ab+b2=(a±b)2，填空：mm–33x2m3試一試下列各式是不是完全平方式？

(1)a2–4a+4;(2)1+4a2;(3)4b2+4b–1;(4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25.是只有兩項(xiàng)；不是4b2與–1的符號(hào)不統(tǒng)一；不是不是是ab不是a與b的積的2倍.例1分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.素養(yǎng)考點(diǎn)1利用完全平方公式分解因式分析：(1)中，16x2=(4x)2，

9=32，24x=2·4x·3，

所以16x2+24x+9是一個(gè)完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32.(2)中首項(xiàng)有負(fù)號(hào)，一般先利用添括號(hào)法則，將其變形為–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.解：

(1)16x2+24x+9=(4x+3)2；=(4x)2+2·4x·3+32(2)–x2+4xy–4y2

=–(x2–4xy+4y2)

=–(x–2y)2.例2如果x2–6x+N是一個(gè)完全平方式，那么N是()A.11B.9C.–11D.–9B解析：根據(jù)完全平方式的特征，中間項(xiàng)–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.素養(yǎng)考點(diǎn)2利用完全平方公式求字母的值方法點(diǎn)撥

本題要熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)參數(shù)所在位置，結(jié)合公式，找出參數(shù)與已知項(xiàng)之間的數(shù)量關(guān)系，從而求出參數(shù)的值.計(jì)算過(guò)程中，要注意積的2倍的符號(hào)，避免漏解．如果x2–mx+16是一個(gè)完全平方式，那么m的值為_(kāi)_______.解析：∵16=(±4)2，故–m=2×(±4)，m=±8.±8例3把下列各式分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2

；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.分析：(1)中有公因式3a，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解因式；(2)中將a+b看成一個(gè)整體，設(shè)a+b=m，則原式化為m2–12m+36.素養(yǎng)考點(diǎn)3利用完全平方公式進(jìn)行較復(fù)雜的因式分解解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)

=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b)·6+62

=(a+b–6)2.

利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.因式分解：(1)–3a2x2＋24a2x–48a2；(2)(a2＋4)2–16a2.＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a)解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16)＝–3a2(x–4)2；(2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2＝(a＋2)2(a–2)2.有公因式要先提公因式.要檢查每一個(gè)多項(xiàng)式的因式，看能否繼續(xù)分解．例4把下列完全平方式分解因式：(1)1002–2×100×99+992；(2)342＋34×32＋162.素養(yǎng)考點(diǎn)4利用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算

解：(1)原式=(100–99)2

(2)原式＝(34＋16)