2026版步步高大一輪高考數學復習第二章函數多選題加練（二）基本初等函數及函數的應用多選題加練(二)基本初等函數及函數的應用1.(2024·臨沂模擬)已知f(x)＝x3g(x)為定義在R上的偶函數，則函數g(x)的解析式可以為()A.g(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x) B.g(x)＝3x－3－xC.g(x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1) D.g(x)＝ln(eq\r(x2＋1)＋x)答案BD解析因為f(x)＝x3g(x)是偶函數，所以f(－x)＝f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函數.對于A，定義域為(－1，1)，所以不滿足題意；對于B，定義域為R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，符合題意；對于C，定義域為R，g(－x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2－x＋1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2x,1＋2x)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,1＋2x)≠－g(x)，不符合題意；對于D，定義域為R，g(－x)＝ln(eq\r(x2＋1)－x)，而g(－x)＋g(x)＝ln(eq\r(x2＋1)－x)＋ln(eq\r(x2＋1)＋x)＝0，符合題意.2.(2024·邯鄲模擬)已知函數f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，則()A.f(x)的定義域是(－6，4)B.f(x)有最大值C.不等式f(x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)D.f(x)在[0，4]上單調遞增答案AB解析由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋6>0，,4－x>0，))解得－6<x<4，即f(x)的定義域是(－6，4)，則A正確；f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，因為y＝－x2－2x＋24＝－(x＋1)2＋25在(－6，－1)上單調遞增，在(－1，4)上單調遞減，y＝log2x在(0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)在(－6，－1)上單調遞增，在(－1，4)上單調遞減，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，則B正確；因為f(x)在(－6，－1)上單調遞增，在(－1，4)上單調遞減，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)<4的解集是(－6，－4)∪(2，4)，則C錯誤；因為f(x)在(－1，4)上單調遞減，所以D錯誤.3.(2024·蚌埠模擬)已知函數f(x)＝log4(1＋4x)－eq\f(1,2)x，則下列說法中正確的是()A.函數f(x)的圖象關于原點對稱 B.函數f(x)的圖象關于y軸對稱C.函數f(x)在[0，＋∞)上是減函數 D.函數f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案BD解析因為f(x)的定義域為R，f(x)＝log4(1＋4x)－log44eq\f(x,2)＝log4eq\f(1＋4x,2x)＝log4(2－x＋2x)，所以f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數，所以A錯誤，B正確；令t＝2x，則y＝log4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，令s＝t＋eq\f(1,t)，則y＝log4s，當x∈[0，＋∞)時，t∈[1，＋∞)，所以s＝t＋eq\f(1,t)為增函數，又y＝log4s為增函數，所以y＝log4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))為增函數，又t＝2x為增函數，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函數.又f(x)為R上的偶函數，所以f(x)≥f(0)＝eq\f(1,2)，所以f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).所以C錯誤，D正確.4.(2024·忻州模擬)已知x>0，y>0，且x－y>lneq\f(y,x)，則()A.x>y B.x＋eq\f(1,y)>y＋eq\f(1,x)C.ln(x－y)<0 D.eq\f(1,2x)<2－y答案ABD解析因為x－y>lneq\f(y,x)，所以x－y>lny－lnx，所以lnx＋x>lny＋y，設f(x)＝lnx＋x，則f(x)在(0，＋∞)上單調遞增.因為lnx＋x>lny＋y，所以x>y，則A正確；因為x>0，y>0，且x>y，所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，所以x＋eq\f(1,y)>y＋eq\f(1,x)，則B正確；因為x>y，取x＝2，y＝1，則ln(x－y)＝0，所以C不正確；因為x>y，所以－x<－y，所以2－x<2－y，即eq\f(1,2x)<2－y，則D正確.5.(2024·紹興模擬)預測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn為預測期人口數，P0為初期人口數，k為預測期內人口年增長率，n為預測期間隔年數，則()A.當k∈(－1，0)，則這期間人口數呈下降趨勢B.當k∈(－1，0)，則這期間人口數呈擺動變化C.當k＝eq\f(1,3)，Pn≥2P0時，n的最小值為3D.當k＝－eq\f(1,3)，Pn≤eq\f(1,2)P0時，n的最小值為3答案AC解析P0>0，當k∈(－1，0)時，0<1＋k<1，由指數函數的性質可知：Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)是關于n的單調遞減函數，即人口數呈下降趨勢，故A正確，B不正確；當k＝eq\f(1,3)，Pn＝P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(n)≥2P0時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(n)≥2，所以n≥logeq\f(4,3)2(n∈N)，logeq\f(4,3)2∈(2，3)，所以n的最小值為3，故C正確；當k＝－eq\f(1,3)，Pn＝P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,2)P0時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,2)，所以n≥logeq\f(2,3)eq\f(1,2)(n∈N)，logeq\f(2,3)eq\f(1,2)＝logeq\f(3,2)2∈(1，2)，所以n的最小值為2，故D不正確.故選AC.6.已知f(x)＝eq\f(e2x＋1,aex)，g(x)為f(x)的導函數，a∈R，a≠0，則下列說法正確的是()A.f(x)為偶函數 B.當a≤2且a≠0時，f(x)≥1恒成立C.eq\f(g（x）,f（x）)的值域為[－1，1] D.f(x)與曲線y＝eq\f(ex,a)無交點答案AD解析對于A，x∈R，f(－x)＝eq\f(e－2x＋1,ae－x)＝eq\f(\f(1,e2x)＋1,\f(a,ex))＝eq\f(e2x＋1,aex)＝f(x)，所以f(x)為偶函數，A正確；對于B，f(x)＝eq\f(1,a)·eq\f(e2x＋1,ex)，因為e2x＋1>0，ex>0，所以當a<0，f(x)<0，B錯誤；對于C，由f(x)＝eq\f(e2x＋1,aex)＝eq\f(1,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(1,ex)))，可得g(x)＝f′(x)＝eq\f(1,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,ex)))，eq\f(g（x）,f（x）)＝eq\f(e2x－1,e2x＋1)＝1－eq\f(2,e2x＋1)，因為e2x＋1∈(1，＋∞)，所以eq\f(2,e2x＋1)∈(0，2)，所以eq\f(g（x）,f（x）)＝1－eq\f(2,e2x＋1)∈(－1，1)，C錯誤；對于D，由f(x)－eq\f(ex,a)＝0?eq\f(1,aex)＝0，方程無解，所以f(x)與曲線y＝eq\f(ex,a)無交點，D正確.7.(2024·惠州模擬)已知函數f(x)＝3x－2x，x∈R，則下列結論正確的是()A.函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增 B.存在a∈R，使得函數y＝eq\f(f（x）,ax)為奇函數C.任意x∈R，f(x)>－1D.函數g(x)＝f(x)＋x有且僅有2個零點答案ABC解析對于A，f′(x)＝3xln3－2xln2＝2xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(x)ln3－ln2))，因為x∈(0，＋∞)，所以2x>1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)>1，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)ln3>ln3>ln2，故f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，故A正確；對于B，令a＝eq\r(6)，則y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(6))))eq\s\up12(x)，令h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(6))))eq\s\up12(x)，定義域為R，關于原點對稱，且h(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(－x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(6))))eq\s\up12(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(6))))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(x)＝－h(x)，故h(x)為奇函數，B正確；對于C，x>0時，f(x)＝2xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(x)－1))>0；x＝0時，f(x)＝0；x<0時，f(x)>－2x>－1，C正確；對于D，x＝0時，g(x)＝0，x>0時，g(x)>3x－2x＝2xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(x)－1))>0，x<0時，g(x)<3x－2x＝2xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(x)－1))<0，所以g(x)只有1個零點，D錯誤.8.(2024·河北名校聯考)設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x＝2對稱，當x∈[0，2]時，f(x)＝x2，若方程f(x)＝4loga(x＋5)(a>0，且a≠1)在[－4，6]上恰有5個實數解，則()A.f(x)的周期為4 B.f(x)在[8，10]上單調遞減C.f(x)的值域為[0，2] D.7<a<11答案AD解析由f(x)的圖象關于x＝2對稱可得f(x＋4)＝f(－x)，再由f(x)為偶函數可得f(－x)＝f(x)，故f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期為4，即A正確.當x∈[0，2]時，由f(x)＝x2，可得f(x)在[0，2]上單調遞增，故f(x)在[8，10]上單調遞增，即B錯誤.又f(0)＝0，f(2)＝4，故f(x)的值域為[0，4]，即C錯誤.在同一坐標系下畫出函數y＝f(x)與y＝4loga(x＋5)(a>1)的圖象如圖所示，由圖可知，要使y＝f(x)與g(x)＝4loga(x＋5)在[－4，6]上恰有5個不同交點，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（2）<4，,g（6）>4，,a>1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga7<1，,loga11＞1，,a>1，))解得7<a<11，即a的取值范圍為(7，11)，故D正確.9.(2024·鎮江調研)函數f(x)在(a，b)上有定義，若對任意的x1，x2∈(a，b)，有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≤eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]，則稱f(x)在(a，b)上具有性質P，則下列說法正確的是()A.f(x)＝log2x在(0，＋∞)上具有性質PB.f(x)＝x2在其定義域上具有性質PC.f(x)在(a，b)上單調遞增D.若f(x)在(a，b)上具有性質P，則對任意x1，x2，x3，x4∈(a，b)，有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3＋x4,4)))≤eq\f(1,4)[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]答案BD解析對于A，f(x)＝log2x的定義域為(0，＋∞)，設任意的x1，x2∈(0，＋∞)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，f(x1)＝log2x1，f(x2)＝log2x2，則eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]＝eq\f(1,2)(log2x1＋log2x2)＝eq\f(1,2)log2(x1x2)＝log2(eq\r(x1x2))，因為eq\f(x1＋x2,2)≥eq\r(x1x2)當且僅當x1＝x2時取等號，且f(x)＝log2x在定義域上單調遞增，所以log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≥log2(eq\r(x1x2))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≥eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]，故A錯誤；對于B，f(x)＝x2的定義域為R，設任意的x1，x2∈R，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))eq\s\up12(2)，f(x1)＝xeq\o\al(2,1)，f(x2)＝xeq\o\al(2,2)，則eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)xeq\o\al(2,2)，因為xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)≥2x1x2當且僅當x1＝x2時取等號，所以eq\f(1,2)xeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)xeq\o\al(2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))eq\s\up12(2)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≤eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]，故f(x)＝x2在其定義域上具有性質P，故B正確；對于C，若f(x)為常數函數，如f(x)＝2，顯然對任意的x1，x2∈(a，b)，都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＝eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]，滿足性質P，但是f(x)不具有單調性，故C錯誤；對于D，有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3＋x4,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(x1＋x2,2)＋\f(x3＋x4,2),2)))≤eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3＋x4,2)))))≤eq\f(1,4)[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]，故D正確.10.(2024·武漢調研)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－2|，x≤3，,－x2＋8x－12，x>3，))設函數g(x)＝f2(x)－(2t＋1)f(x)＋t2＋t，則下列說法正確的是()A.若g(x)有4個零點，則3≤t<4B.存在實數t，使得g(x)有5個零點C.當g(x)有6個零點時，記零點分別為x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1<x2<x3<x4<x5<x6，則2x1＋2x2＋2x3＋2x4＝8D.對任意t<0，g(x)恒有2個零點答案BC解析f(x)的大致圖象如圖所示，令g(x)＝0，即[f(x)－t][f(x)－t－1)]＝0，即f(x)＝t或f(x)＝t＋1.若g(x)有4個零點，則實數t的取值范圍為3≤t<4或t＝2或－1<t<0，故A錯誤；由圖可知，當t＝1時，g(x)有5個零點，故B正確；當g(x)有6個零點時，x1<x2<1<x3<x4<2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2x1＝2x4－2，,2－2x2＝2x3－2，))即有2x1＋2x2＋2x3＋2x4＝8，故C正確；當－1<t<0時，g(x)有4個零點，故D錯誤.多選題加練(一)函數性質的綜合應用1.(2024·無錫模擬)已知函數f(x)的定義域為R，f(x＋2)為奇函數，f(2x＋1)為偶函數，則()A.f(x)的圖象關于直線x＝1對稱 B.f(x)的圖象關于點(1，0)對稱C.f(x)的圖象關于直線x＝2對稱 D.f(x)的圖象關于點(2，0)對稱答案AD解析因為f(x＋2)為奇函數，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)，所以函數f(x)關于點(2，0)對稱，又f(2x＋1)為偶函數，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以函數f(x)關于直線x＝1對稱.故選AD.2.(2024·長沙模擬)已知不恒為0的函數f(x)，滿足?x，y∈R都有f(x)＋f(y)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－y,2)))，則()A.f(0)＝0 B.f(0)＝1C.f(x)為奇函數 D.f(x)為偶函數答案BD解析令x＝y＝0，則f(0)＋f(0)＝2f(0)·f(0)，∴f(0)＝0或1.令y＝x，則f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)，若f(0)＝0，則f(x)＝0，與f(x)不恒為0矛盾，∴f(0)＝1，∴B正確，A錯誤；令y＝－x，則f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)＝2f(x)，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)為偶函數，∴D正確，C錯誤.3.若定義域為R的函數f(x)在(4，＋∞)上單調遞減，且函數y＝f(x＋4)為偶函數，則()A.f(2)>f(3) B.f(2)＝f(6)C.f(3)＝f(5) D.f(3)>f(6)答案BCD解析∵y＝f(x＋4)為偶函數，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，∴y＝f(x)的圖象關于直線x＝4對稱，∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5).又y＝f(x)在(4，＋∞)上單調遞減，∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6).4.(2024·杭州質檢)已知函數f(x)(x∈R)是奇函數，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的導函數，則()A.f(2025)＝2 B.f′(x)的周期是4C.f′(x)是偶函數 D.f′(1)＝1答案ABC解析因為函數f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，對f(－x)＝－f(x)左、右兩側分別求導，可得f′(－x)＝f′(x)，則函數f′(x)是偶函數，C正確；又f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f′(x＋4)＝f′(x)，所以函數f′(x)是以4為周期的周期函數，B正確；f(2025)＝f(1)，A正確；由f(x＋2)＝f(－x)可知函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以f′(1)＝0，D錯誤.5.(2024·遼寧大聯考)若f(x)，g(x)，h(x)分別是定義在R上的偶函數、奇函數、偶函數，則下列函數是偶函數的是()A.y＝f(h(x))g(x) B.y＝f(g(x))＋h(x)C.y＝f(g(x))h(x) D.y＝f(x)|g(x)|h(x)答案BCD解析若f(x)，g(x)，h(x)分別是定義在R上的偶函數、奇函數、偶函數，則f(x)＝f(－x)，g(x)＝－g(－x)，h(x)＝h(－x)，對于函數y＝F(x)＝f(h(x))g(x)，則F(－x)＝f(h(－x))g(－x)＝f(h(x))·(－g(x))＝－f(h(x))·g(x)＝－F(x)，則y＝f(h(x))g(x)為奇函數；對于函數y＝G(x)＝f(g(x))＋h(x)，則G(－x)＝f(g(－x))＋h(－x)＝f(－g(x))＋h(x)＝f(g(x))＋h(x)＝G(x)，則y＝f(g(x))＋h(x)為偶函數；對于函數y＝H(x)＝f(g(x))h(x)，則H(－x)＝f(g(－x))h(－x)＝f(－g(x))h(x)＝f(g(x))h(x)＝H(x)，則y＝f(g(x))h(x)為偶函數；對于函數y＝M(x)＝f(x)|g(x)|h(x)，則M(－x)＝f(－x)|g(－x)|h(－x)＝f(x)|－g(x)|h(x)＝M(x)，則y＝f(x)|g(x)|h(x)為偶函數.6.(2024·淮安模擬)已知函數f(x)的定義域為R，f(x＋1)是奇函數，g(x)＝(1－x)f(x)，函數g(x)在[1，＋∞)上單調遞增，則下列命題為真命題的是()A.f(－x－1)＝－f(x＋1) B.函數g(x)在(－∞，1]上遞減C.若a<2－b<1，則g(1)<g(b)<g(a) D.若g(a)>g(a＋1)，則a<eq\f(1,2)答案BCD解析對于A，因為f(x＋1)是奇函數，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，故A錯誤；對于B，因為f(x＋1)是奇函數，所以y＝f(x)的圖象關于點(1，0)對稱，即有f(x)＝－f(2－x)，所以g(2－x)＝[1－(2－x)]f(2－x)＝(x－1)f(2－x)＝(1－x)f(x)＝g(x)，所以y＝g(x)的圖象關于直線x＝1對稱，函數g(x)在[1，＋∞)上單調遞增，所以g(x)在(－∞，1]上單調遞減，故B正確；對于C，因為a<2－b<1，所以g(1)<g(2－b)<g(a)，即g(1)<g(b)<g(a)，故C正確；對于D，因為g(a)>g(a＋1)，且a<a＋1，由函數y＝g(x)的圖象關于直線x＝1對稱，得eq\f(a＋（a＋1）,2)<1，解得a<eq\f(1,2)，故D正確.7.(2024·威海模擬)已知函數f(x)及其導函數f′(x)的定義域均為R，記g(x)＝f′(x)，若f(x＋2)為偶函數，g(x)為奇函數，則()A.f(x)＝f(4－x) B.g(x)＝－g(4－x)C.f(x)＝－f(x＋4) D.g(x)＝g(x＋4)答案ABD解析由f(x＋2)為偶函數，得f(2－x)＝f(2＋x)，所以由2－x代替x得f(x)＝f(4－x)，故A正確；對f(x)＝f(4－x)左、右兩側分別求導，可得f′(x)＝－f′(4－x)，所以g(x)＝－g(4－x)，故B正確；因為g(x)為奇函數，所以g(x)＝－g(－x)，又因為g(x)＝－g(4－x)，所以－g(－x)＝－g(4－x)，即g(－x)＝g(4－x)，則g(x)＝g(x＋4)，故D正確；令f(x)＝cosπx，則f(x＋2)＝cos[π(x＋2)]＝cos(πx＋2π)＝cosπx為偶函數，g(x)＝f′(x)＝－πsinπx為奇函數，滿足題干，當x＝1時，f(1)＝cosπ＝－1，f(x＋4)＝f(5)＝cos5π＝cosπ＝－1，所以f(1)≠－f(1＋4)，即存在x＝1，使得f(x)＝－f(x＋4)不成立，故C錯誤.8.(2024·重慶模擬)已知R上的偶函數y＝f(x)在區間[－1，0]上單調遞增，且恒有f(1－x)＋f(1＋x)＝0成立，則下列說法正確的是()A.f(x)在[1，2]上是增函數 B.f(x)的圖象關于點(1，0)對稱C.函數f(x)在x＝2處取得最小值 D.函數y＝f(x)沒有最大值答案BC解析因為f(x)是偶函數，且f(1－x)＋f(1＋x)＝0，則f(1＋x)＝－f(1－x)＝－f[－(x－1)]＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，又f(x)在[－1，0]上單調遞增，從而f(x)在[1，2]上單調遞減，A錯誤；∵f(1－x)＋f(1＋x)＝0，∴函數f(x)的圖象關于點(1，0)中心對稱，B正確；因為偶函數y＝f(x)(x∈R)在[－1，0]上單調遞增，f(x＋2)＝－f(x)，所以函數在區間[1，2]上單調遞減，在[2，3]上單調遞增，所以在x＝2處取得最小值，C正確；顯然函數的最大值為f(0)，D錯誤.9.(2024·河北名校聯考)函數f(x)與g(x)的定義域為R，且f(x)g(x＋2)＝4，f(x)g(－x)＝4.若f(x)的圖象關于點(0，2)的對稱.則()A.f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱 B.eq\o(∑,\s\up6(2024),\s\do4(k＝1))f(k)＝2048C.g(x)的一個周期為4 D.g(x)的圖象關于點(0，2)對稱答案AC解析A中，由f(x)g(－x)＝4，得f(－x－2)g(x＋2)＝4，又f(x)g(x＋2)＝4，所以f(－x－2)＝f(x)，f(x)的圖象關于x＝－1對稱，A正確；B中，由f(x)的圖象關于點(0，2)對稱，得f(－x)＋f(x)＝4，由A選項結論知f(x－2)＝f(－x)，所以f(x－2)＋f(x)＝4，從而f(x－4)＋f(x－2)＝4，故f(x)＝f(x－4)，即f(x)的一個周期為4，令x＝5，則f(5－4)＋f(5－2)＝f(1)＋f(3)＝4，令x＝6，則f(6－4)＋f(6－2)＝f(2)＋f(4)＝4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝8