2026版步步高大一輪高考數學復習講義第一章§1.5基本不等式的綜合應用§1.5基本不等式的綜合應用課標要求1.會求與基本不等式有關的恒(能)成立問題.2.理解基本不等式在實際問題中的應用.3.掌握基本不等式在其他知識中的應用.題型一與基本不等式有關的恒(能)成立問題例1(1)若不等式1a+2b≥maA.2 B.3 C.4 D.9(2)若兩個正實數x，y滿足1x+4y=1，且不等式x+y4<m2-3mA.{m|-1<m<4}B.{m|m<-4或m>1}C.{m|-4<m<1}D.{m|m<-1或m>4}思維升華?x∈M，使得f(x)≥a，等價于f(x)max≥a；?x∈M，使得f(x)≤a，等價于f(x)min≤a.跟蹤訓練1(1)已知a>0，若關于x的不等式x+ax+1≥3在x∈(-1，+∞)上恒成立，則A.1 B.2 C.4 D.8(2)已知正數x，y滿足(x-1)(y-2)=2，不等式3x+2y>m恒成立，則實數m的取值范圍是()A.(-∞，4+62) B.(6+42，+∞)C.(-∞，7+43) D.(8+43，+∞)題型二基本不等式的實際應用例2隨著環保意識的增強，電動汽車成為人們購車的熱門選擇.某型號的電動汽車經高速路段(汽車行駛速度不低于60km/h)測試發現：①汽車每小時耗電量P(單位：kW·h)與速度v(單位：km/h)的關系滿足P(v)=0.002v2-0.04v+5(60≤v≤120)；②相同路程內變速行駛比勻速行駛耗電量更大.現有一輛同型號電動汽車從A地經高速公路(最低限速60km/h，最高限速120km/h)勻速行駛到距離為500km的B地，出發前汽車電池存量為75kW·h，汽車到達B地后至少要保留5kW·h的保障電量(假設該電動汽車從靜止加速到速度為v的過程中消耗的電量與路程都忽略不計).(1)判斷該車是否可以在不充電的情況下到達B地，并說明理由；(2)若以該電動汽車的現存電量一定可以到達A地與B地間的服務區，服務區充電樁的功率為15kW(充電量=充電功率×時間)，求到達B地的最少用時(行駛時間與充電時間總和).思維升華利用基本不等式求解實際問題時，要根據實際問題設出變量，注意變量應滿足實際意義，抽象出目標函數的表達式，建立數學模型，再利用基本不等式求得函數的最值.跟蹤訓練2某村現有180戶村民，且都從事海產品養殖工作，平均每戶的年收入為8萬元.為探索科技助農新模式，村委會決定調整產業結構，安排x(0<x<180，x∈N*)戶村民只從事直播帶貨工作，其余的只從事海產品養殖工作，預計調整后從事直播帶貨工作的村民平均每戶的年收入為8a-x10(a>0)萬元，從事海產品養殖工作的村民平均每戶的年收入相比原來提高5xA.12 B.14 C.22 D.60題型三基本不等式與其他知識交匯的最值問題例3(1)設a>0，b>0，若ln3是ln3a與ln9b的等差中項，則2a+1A.6 B.8 C.9 D.12(2)(2025·紹興模擬)原點到直線l：λx+y-λ+1=0(λ∈R)的距離的最大值為()A.25 B.225 C.42思維升華基本不等式常作為工具，與函數、導數、數列、三角、向量、復數、簡易邏輯問題、立體幾何、解析幾何、實際問題、新定義問題等考點交匯，常常需要借助不等式來解決其中的最值問題.跟蹤訓練3已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數列，則sinB的取值范圍是.

柯西不等式1.二維形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，當且僅當ad＝bc時，等號成立).2.二維形式的柯西不等式的變式(1)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d(2)a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d(3)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d≥0，當且僅當3.一般形式的柯西不等式設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數，則(a12＋a22＋…＋an2)(b12＋b22＋…＋bnanbn)2，當且僅當bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一個實數k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時，等號成立.4.二維形式的柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|(當且僅當β是零向量，或存在實數k，使α＝kβ時，等號成立).典例(1)實數x，y滿足3x2＋4y2＝12，則z＝2x＋3y的最小值是()(2)設a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，則a·b的最大值為.

權方和不等式1.二維形式：已知x，y，a，b均為正數，則有ax＋by≥(a＋b)2x2.一般形式：設ai，bi均為正數(i＝1，2，…，n)，實數m>0，則nΣi＝1aim＋1bim≥(nΣ典例(1)若x>0，y>0，12x＋y＋3x＋(2)已知正數x，y，z滿足x＋y＋z＝1，則x2y＋2z答案精析例1(1)D[由題意a+2ba+2即5+2ba+2ab又5+2ba+2ab≥5+22ba·故實數m的最大值為9.](2)D[∵不等式x+y4<m2-3m∴x+y4min<m∵x>0，y>0，1x+4y∴x+y4==4xy+≥24xy當且僅當4xy=即x=2，y=8時等號成立，∴m2-3m>4，∴(m+1)(m-4)>0，∴m<-1或m>4，∴實數m的取值范圍是{m|m<-1或m>4}.]跟蹤訓練1(1)C[因為x>-1，x+1>0，所以x+ax+1=x+1+≥2(x+1)·a當且僅當x+1=ax+1，即x=a所以x+ax+1有最小值2a因為不等式x+ax+1≥3在x∈(-1，+∞)上恒成立，所以2a-1≥解得a≥4，所以a的最小值為4.](2)C[因為(x-1)(y-2)=2，x>0，y>0，所以xy=2x+y，即1x+2y所以由基本不等式可得3x+2y=(3x+2y)1=7+2yx≥7+22yx·當且僅當2即x=1+綜上所述，3x+2y的最小值為7+43.因為不等式3x+2y>m恒成立，所以實數m的取值范圍是(-∞，7+43).]例2解(1)設勻速行駛速度為vkm/h，耗電量為f(v)，則f(v)=P(v)·500v=v+2500v-20(60≤v≤易知函數f(v)在區間[60，120]上單調遞增，所以f(v)min=f(60)=2453>75-5即最小耗電量大于電池存量減去保障電量，所以該車不能在不充電的情況下到達B地.(2)設勻速行駛速度為vkm/h，總時間為th，行駛時間與充電時間分別為t1h，t2h.若能到達B地，則初始電量+充電電量-消耗電量≥保障電量，即75+15t2-f(v)≥5，解得t2≥v15+5003所以t=t1+t2≥500v+v15+=v15+20003v-6≥=223當且僅當v15=20003v，即所以該汽車到達B地的最少用時為223h跟蹤訓練2B[由題意可得8a-x10x≤(180-x)·8·(1+5化簡可得a≤180x+x20因為180x+x20+8≥2180當且僅當180x=x20，即x所以a≤14，即a的最大值為14.]例3(1)B[∵ln3是ln3a與ln9b的等差中項，∴2ln3=ln3a+ln9b，即ln3=ln(3a·9b)=ln3a+2b=(a+2b)ln3，∴a+2b=1，又a>0，b>0，∴2a+1b=2a+1b(a+2b)=4+ab當且僅當ab=4ba，即a=12，b=(2)D[方法一設原點到直線l的距離為d，由點到直線的距離公式得d=|-λ=1-2顯然當λ<0時，有最大值，此時-2λλ2因為(-λ)+-≥2(-λ)當且僅當λ=-1時等號成立，所以2(-λ)+-所以dmax=2.方法二直線l恒過定點(1，-1)，故原點到直線l距離的最大值為2.]跟蹤訓練30，解析因為a，b，c成等差數列，所以2b=a+c，所以cosB=a=a2+c因為a2+c2≥2ac，當且僅當a=c時取等號，所以3(a2+c2)-2ac≥4ac>0，所以cosB=3(a2+c2又y=cosx在區間(0，π)上單調遞減，所以0<B≤π3，所以0<sinB≤3微拓展典例(1)A[∵實數x，y滿足3x2+4y2=12，∴x24+y∴x24+y23即-5≤2x+3y≤5，當且僅當33x=8y，即當x=-當x=∴z=2x+3y的最小值是-5.](2)45解析∵a=(1，-2)，b=(x，y)，∴a·b=x-2y.由柯西不等式的向量形式可得[12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2，即5×16≥(x-2y)2，∴-45≤x-2y≤45，(*)當且僅當b=ka，即x=45或x=-45∴當x=455，y=-855時，a·b微拓展典例(1)132+2解析12x+y+3x+y=≥(1+23)2即2≥13+43因為x>0，y>0，則6x+5y≥132+23當且僅當12x+即x=33-44，y=(2)1解析x2y+2z≥(x+y當且僅當xy+2z=y即x=y=z=13時取等號.§1.課標要求1.會從實際情景中抽象出一元二次不等式.2.結合二次函數圖象，會判斷一元二次方程的根的個數，以及解一元二次不等式.3.了解簡單的分式、絕對值不等式的解法.1.二次函數y=ax2+bx+c(a>0)與一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)，不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解的對應關系方程的判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數的圖象方程的根有兩個不相等的實數根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數根x1=x2=-b沒有實數根不等式的解集2.分式不等式與整式不等式(1)f(x)g(2)f(x)g(x)3.簡單的絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為，|x|<a(a>0)的解集為.

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若方程ax2+bx+c=0無實數根，則不等式ax2+bx+c>0的解集為R.()(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集為(x1，x2)，則a<0.()(3)若ax2+bx+c>0恒成立，則a>0且Δ<0.()(4)不等式x-ax-b≥0等價于(x-a)(x-b)≥2.(2024·保山模擬)已知不等式x2-3x+2≤0的解集為A，不等式x-2x-1<0的解集為B，則“x∈A”是“x∈A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.若關于x的不等式x2+(2m-1)x+m2-m>0的解集為{x|x<3或x>4}，則m的值為.

4.若關于x的不等式x2-2ax+18>0恒成立，則實數a的取值范圍為.

謹防三個易誤點(1)含參不等式的求解，注意分類討論思想的運用，對參數分類時要做到不重不漏.(2)當未說明不等式為一元二次不等式時應分二次項系數等于零和不等于零兩種情況討論.(3)當Δ<0時，注意區分不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R還是?.題型一求解一元二次不等式命題點1不含參的不等式例1(多選)下列選項中，正確的是()A.不等式-x2-x+2>0的解集為{x|x<-2或x>1}B.不等式2x+1x-2≤1的解集為{xC.不等式|x-2|≥1的解集為{x|1≤x≤3}D.設x∈R，則“|x-1|<1”是“x+4x-5命題點2含參的不等式例2已知函數f(x)=ax2+3x+2.若a>0，解關于x的不等式f(x)>-ax-1.思維升華對含參的不等式，應對參數進行分類討論，常見的分類有(1)根據二次項系數為正、負及零進行分類.(2)根據判別式Δ與0的關系判斷根的個數.(3)有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論.跟蹤訓練1解關于x的不等式：(1)2x1-(2)ax2-(2a-1)x-2≥0.題型二三個二次之間的關系例3(1)(多選)(2025·蚌埠模擬)已知關于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為(-∞，1)∪(5，+∞)，則下列結論正確的是()A.a>0B.a+b+c>0C.bx+c>0的解集是xD.cx2-bx+a<0的解集是x(2)若關于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有兩個不相等的實數根x1，x2，且x1<1<x2，則a的取值范圍是()A.-27<a<25 B.aC.a<-27 D.-211<思維升華已知一元二次不等式的解集，就能夠得到相應的一元二次方程的兩根，由根與系數的關系，可以求出相應的系數.注意結合不等式解集的形式判斷二次項系數的正負.跟蹤訓練2(1)若不等式ax2+2x+c<0的解集是-∞，-13∪12，+∞，則不等式cxA.-12，13C.[-2，3] D.[-3，2](2)(多選)已知關于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)，則下列結論正確的是()A.x1+x2=2 B.x1x2<-3C.-1<x1<x2<3 D.x2-x1>4題型三一元二次不等式恒成立問題例4已知函數f(x)=mx2-(m-1)x+m-1.(1)若不等式f(x)<1的解集為R，求m的取值范圍；(2)若不等式f(x)≥0對一切x∈-12，(3)若不等式f(x)>2對一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范圍.思維升華恒成立問題求參數的范圍的解題策略(1)弄清楚自變量、參數.一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數.(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數求最值或分類討論.跟蹤訓練3已知函數f(x)=x2-3x+a.(1)若f(x)>0在R上恒成立，求實數a的取值范圍；(2)若f(x)<0在(-1，2)上恒成立，求實數a的取值范圍.答案精析落實主干知識1.{x|x<x1或x>x2}xx≠2.(1)f(x)g(x)>0(<0)(2)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠03.(-∞，-a)∪(a，+∞)(-a，a)自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.C3.-34.(-32，32)探究核心題型例1BD[由題知方程-x2-x+2=0的解為x1=1，x2=-2，所以不等式-x2-x+2>0的解集為{x|-2<x<1}，故A錯誤；因為2x+1x-2-1≤0，即x+3x-2≤0，即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0)，解得-3≤x<2，所以不等式的解集為{x由|x-2|≥1，可得x-2≤-1或x-2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集為{x|x≤1或x≥3}，故C錯誤；由|x-1|<1，可得-1<x-1<1，解得0<x<2，由x+4x-5<0，可得-4<x<5，因此，“|x-1|<1”是“x+4x-5<0例2解不等式f(x)>-ax-1可化為ax2+(a+3)x+3>0，即(ax+3)(x+1)>0.因為a>0，所以當-3a<-1即0<a<3時，原不等式的解集為xx當-3a=-1，即a=3時，原不等式的解集為{x|x≠-1當-3a>-1，即a>3時，原不等式的解集為x跟蹤訓練1解(1)由題意2x1-x-3=5可得(5解得x≤35或x>1所以不等式的解集為-∞，35∪(1，(2)不等式ax2-(2a-1)x-2≥0可化為(ax+1)(x-2)≥0，當a=0時，x-2≥0，不等式的解集為[2，+∞)；當a>0時，不等式化為x+1a(x-2)其解集為-∞，-1a∪[2當a<0時，不等式化為x+1a(x-2)①當-1a<2，即a<-1不等式的解集為-1②當-1a=2，即a=-1不等式的解集為{2}；③當-1a>2，即-12<a不等式的解集為2，-1例3(1)CD[由題意可得1和5是方程ax2+bx+c=0的兩根，且a<0，由根與系數的關系可得1+5=-ba，1×5=ca，得b=-6a，c=5對于A，因為a<0，故A錯誤；對于B，a+b+c=a-6a+5a=0，故B錯誤；對于C，不等式bx+c>0，即-6ax+5a>0，即6x-5>0，得x>56所以不等式bx+c>0的解集是xx>5對于D，由不等式cx2-bx+a<0，得a(5x2+6x+1)<0，即5x2+6x+1>0，則(5x+1)(x+1)>0，得x>-15或x<-1即解集為xx>-15或x<-1(2)D[方法一顯然a≠0；令f(x)=ax2+(a+2)x+9a，當a>0時，f(1)<0，當a<0時，f(1)>0，故af(1)<0，即a(11a+2)<0，解得-211<a<0方法二因為方程ax2+(a+2)x+9a=0有兩個不相等的實數根x1，x2，所以x因為x1<1<x2，所以(x1-1)(x2-1)<0，即x1x2-(x1+x2)+1<0，則9+a+2a+1<0，解得-211<a跟蹤訓練2(1)C[因為不等式ax2+2x+c<0的解集是-∞，-1所以-13和12是方程ax2+2x+c由-解得a故不等式cx2-2x+a≤0，即2x2-2x