甘肅省酒泉市2023?2024學年高一下學期7月期末考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．某省為全運會選拔跳水運動員，對某運動員進行測試，在運動員跳完一個動作之后由7名裁判打分，統計結果為平均分9.5分，方差為a，為體現公平，裁判委員會決定去掉一個最高分10分，一個最低分9分，則（

）A．平均分變大，方差變大 B．平均分變小，方差變小C．平均分不變，方差變大 D．平均分不變，方差變小2．已知i是虛數單位，則復數（

）A．-1 B．i C． D．13．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．64．設α是空間中的一個平面，是三條不同的直線，則（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則5．三人被邀請參加一個晚會，若晚會必須有人去，去幾人自行決定，則恰有一人參加晚會的概率為（

）A． B． C． D．6．若正方體的內切球的表面積為，則此正方體最多可容納半徑為1的小球的個數為（

）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個7．已知，則（

）A． B． C． D．8．如圖，點是的重心，點是邊上一點，且，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．臺球運動已有五、六百年的歷史，參與者用球桿在臺上擊球．若和光線一樣，臺球在球臺上碰到障礙物后也遵從反射定律．如圖，有一張長方形球臺ABCD，其中，現從角落A沿角α的方向把球打出去，球經2次碰撞球臺內沿后進入角落C的球袋中，則的值為（

）A． B． C． D．10．有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．丙與丁相互獨立 D．乙與丙不相互獨立11．如圖，在棱長為2的正方體中，在線段上運動（包括端點），下列選項正確的有（

）

A．B．C．直線與平面所成角的最大值是D．的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知復數z的模為2，則的最大值為．13．某科研攻關項目中遇到一個問題，請了甲、乙兩位專家單獨解決此問題，若甲、乙能解決此問題的概率分別為m，n，則此問題被解決的概率為14．滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而名傳千古，流芳后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點，，處測得閣頂端點的仰角分別為，，.且米，則滕王閣高度米.四、解答題（本大題共5小題）15．已知，與的夾角是.(1)求的值及的值；(2)當為何值時，16．本學期初，某校對全校高一學生進行數學測試（滿分100），并從中隨機抽取了100名學生的成績，以此為樣本，分五組，得到如圖所示頻率分布直方圖．(1)求a的值，并估計該校高一學生數學成績的平均數和第分位數；(2)為進一步了解學困生的學習情況，從上述數學成績低于70分的學生中，分層抽樣抽出6人，再從6人中任取2人，求此2人分數都在的概率．17．（1）敘述并證明平面與平面平行的性質定理；（2）設，是兩個不同的平面，，是平面，之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①；②；③；④．以其中三個論斷作為條件，以下一個作為結論，寫出一個正確的命題，并證明．18．已知向量，函數．(1)若，求的值；(2)若，求的值；(3)設中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且銳角B滿足，求的取值范圍．19．如圖，在六面體中，，正方形的邊長為2，．(1)證明：平面平面；(2)求直線EF與平面所成角的正切值；(3)求平面與平面所成二面角的余弦值；(4)求多面體的體積．

參考答案1．【答案】D【分析】根據給定條件。利用平均數的計算公式，以及方差的意義，即可判斷得解.【詳解】設個打分中除了一個最高分分和一個最低分分之外的數據為，依題意，，則，則去掉一個最高分分和一個最低分分之后的平均分為，平均分不變；由于去掉一個最高分和最低分后，數據更加集中，因此方差變小.故選D.2．【答案】A【分析】根據復數的乘除運算即可求解.【詳解】.故選A.3．【答案】A【分析】根據共線向量的坐標表示求得結果.【詳解】已知向量，，，所以，解得.故選A.4．【答案】B【分析】選項A和D，通過舉出例子判斷正誤；選項B，由線面垂直的判定定理得結果正確；選項C，利用線面垂直的性質，可得，從而判斷出結果的正誤.【詳解】對于選項A，如圖1，當，滿足時，與可以斜交，故選項A錯誤，對于選項B，因為，所以，因為，則由線面垂直的判定定理得，故選項B正確，對于選項C，因為，所以，因為，所以，故選項C錯誤，對于選項D，若，則與可以相交、平行或異面，如圖2，滿足，而與異面，故選項D錯誤，故選B.5．【答案】B【分析】列舉基本事件空間，可得概率.【詳解】設三人為，，，則參加晚會的情況有，，，，，，，共種情況，其中恰有一人參加晚會的情況有種，故所求的概率為，故選B.6．【答案】B【分析】根據正方體的內切球的表面積求得正方體的棱長，結合小球的半徑即可判斷.【詳解】設正方體的棱長為a，則其內切球的直徑為a，由題意，解得，即正方體的棱長為4，半徑為1的兩個球的直徑和為4，故正方體內最多可以放8個半徑為1的球.故選B.7．【答案】B【分析】展開同平方并結合二倍角的正弦公式即可得到關于的方程，解出即可.【詳解】展開得，兩邊同平方有，即，解得.故選B.8．【答案】C【分析】延長交于，根據題意，得到且，再由，可得是的四等分點，根據向量的運算法則，求得，求得的值，即可求解.【詳解】如圖所示，延長交于，由已知為的重心，則點為的中點，可得，且，又由，可得是的四等分點，則，因為，所以，，所以．故選C.9．【答案】BC【分析】根據題意，分兩種情況作圖：第一種情況：現從角落A沿角的方向把球打出去，球先接觸邊；第二種情況：現從角落A沿角的方向把球打出去，球先接觸邊；然后利用對稱方法即可求解.【詳解】第一種情況：現從角落A沿角的方向把球打出去，球先接觸邊，反射情況如下：，由反射的性質，得關于對稱，關于對稱，即為的三等分點，因此，C正確；第二種情況：現從角落A沿角的方向把球打出去，球先接觸邊，反射情況如下：，由反射的性質，得關于對稱，關于對稱，即為的三等分點，因此，B正確.故選BC.【方法總結】根據題意，可想到分兩種情況作圖：第一種情況：現從角落A沿角的方向把球打出去，球先接觸邊；第二種情況：現從角落A沿角的方向把球打出去，球先接觸邊；然后利用數學對稱方法即可求解.10．【答案】BD【分析】計算各事件概率，再根據獨立事件概率的關系依次判斷每個選項得到答案.【詳解】兩次取出的球的數字之和為8，有共5種情況，所以；兩次取出的球的數字之和為7，有共6種情況，所以；；對于A，，故甲與丙不相互獨立，A錯誤；對于B，，故甲與丁相互獨立，B正確；對于C，，故丙與丁不相互獨立，C錯誤.對于D，，故乙與丙不相互獨立，D正確；故選BD.11．【答案】ACD【分析】由正方體的性質，得到正方體中的垂直關系，對照選項作出判斷；作出直線與平面所成角，進而判斷線面角的最大值；通過翻折平面，將平面與平面沿翻折到同一個平面內，進而判斷的最小值.【詳解】對于選項A，由正方體性質，易得,,因為平面，所以平面.因為平面，所以，故A正確；對于選項B，當與重合，則此時與夾角為，故B錯誤；對于選項C，如圖連接交于，

因為平面，平面，所以.因為,平面,所以平面，即平面，所以為直線與平面所成角，所以.所以當最小時最大，即時，最小.由，可得，此時，故的最大值為，直線與平面所成角的最大值是，故C正確；對于選項D，如圖，將平面與平面沿翻折到同一個平面內

由題意，，從而，故為平行四邊形.又，故為矩形.從而當為與交點時，最小，此時，故D正確.故選ACD.12．【答案】3【分析】利用復數模的幾何意義，求出的最大值.【詳解】復數z的模為2，表示復數在復平面內對應的點到原點的距離為2，則點的軌跡是以原點為圓心，2為半徑的圓，而是圓上的點到點的距離，所以.故答案為：3.13．【答案】【分析】利用概率的基本性質及相互獨立事件的概率公式計算即得.【詳解】記事件“甲專家獨立解決”，事件“乙專家獨立解決”，則，而相互獨立，即，所以，即問題被解決的概率為.故答案為：14．【答案】【分析】設，由邊角關系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，結合可解得的值，進而可得長.【詳解】設，因為，，，所以，，，.在中，，即①.，在中，，即②，因為，所以①②兩式相加可得：，解得：，則，故答案為：.【方法總結】設，由邊角關系表示出，，，在和中，利用余弦定理列方程，結合可解得的值，進而可得長.15．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由定義求出數量積，再利用模長公式及向量數量積的運算律即得；（2）由于，可得，利用向量的數量積的運算公式，即可求解．【詳解】（1）∵，與的夾角是，∴，；（2）由題意，，即，解得，即時，.16．【答案】(1)，平均數，第分位數(2)【分析】（1）根據頻率之和為1求得，根據平均數、百分位數的求法求得正確答案；（2）根據分層抽樣、古典概型的知識求得正確答案．【詳解】（1）由，解得；該校高一學生數學成績的平均數為．前3組的頻率和為，所以第分位數為；（2）分層抽樣抽取的6人中，的有人，記為1，2，的有人，記為3，4，5，6，從6人中任取2人，基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15種，其中2人分數都在的有34，35，36，45，46，56共6種，所以從6人中任取2人，分數都在的概率為．17．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析【分析】（1）寫出兩個平面平行的性質定理，再根據線面、線線的位置關系證明即可；（2）寫出正確的命題，再根據線面垂直的判定與性質、直二面角的定義以及面面垂直的性質定理證明即可.【詳解】（1）兩個平面平行的性質定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．已知：如圖，已知，，，求證：.證明：因為，所以與沒有公共點，又，，所以，，所以與沒有公共點，又，，；（2）命題一：若，，，則（②③④①）.證明：過平面和平面外一點，作，交于，作，交于，則，，，顯然與不平行，設，則、，所以，，因為，平面，所以平面，延展平面交于點，連接，平面，所以，，則是二面角的一個平面角，因為，，所以，同理有，又，所以四邊形為矩形，則，則平面和平面形成的二面角的平面角是直二面角，故，

命題二：若，，，則（①③④②）.證明：因為，，，設，在平面內作直線，根據面面垂直的性質定理可得，又因為，所以，因為，，所以，所以.18．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根據向量數量積的坐標表示求解出的解析式，再運用三角函數的關系求解即可.（2）根據三角函數和差公式，由已知的三角函數值求解角度即可.（3）求出，利用正弦定理及和差角的正弦公式求解即得.【詳解】（1）依題意，，由，得，由，得，則，則.（2）由，得，由，得，則，由，，得，則由，得，所以的值為．（3）由，得，而，即，解得，即，則，設，，由正弦定理得，則，于是，所以的取值范圍是.【方法總結】（1）根據向量數量積解出，再用三角函數的關系求解即可.（2）根據三角函數和差公式，由三角函數值求解角度即可.（3）求出的角度，利用正弦定理及和差角的正弦公式求解即得.19．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)；(4).【分析】（1）根據給定的條件，利用線面平行的判定定理、面面平行的判定定理即得.（2）借助勾股定理的逆定理，結合線面垂直的判定定理證得平面，進而確定直線在平面的射影即可求解.（3）作出平面與平面所成二面的角，再利用直角三角形邊角關系求解.（4）利用（2）中信息，利用割補法，結合錐體的體積公式計算即得.【詳解】（1）由，平面，平面，得平面，由正方形，得，又平面，平面，得平面，而平面，所以平面平面.（2）連接，在正方形中，，則，而，即有，于是，而平面，則平面，由，得平面，因此在平面內的射影是，令直線EF與平面所成的角為，