安徽省蚌埠市2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．（

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)在角終邊上，且，則（

）A． B． C． D．4．如圖，的斜二測(cè)畫法的直觀圖是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，y'軸經(jīng)過斜邊A'B'的中點(diǎn)，則中邊上的高為（

）

A． B． C．2 D．45．要得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（

）A．先向左平移個(gè)單位，再把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍B．先向左平移個(gè)單位，再把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍C．先向右平移個(gè)單位，再把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍D．先向右平移個(gè)單位，再把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍6．已知m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，∥，則∥ B．若，，則C．若，，，則 D．若，∥，則7．已知，，則（

）A． B． C． D．8．在中，角的對(duì)邊分別為，已知，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)，，其中i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．已知正方體，分別為，的中點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．B．C．直線與直線所成角的大小為D．直線與平面所成角的大小為11．已知向量，滿足，則以下說法正確的是（

）A．若，，則或B．若，則C．若，，則向量在向量上的投影數(shù)量為D．向量在向量上的投影向量為三、填空題（本大題共3小題）12．已知圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為.13．已知，tanβ是方程的兩根，則tanα＝．14．在中，，，點(diǎn)M滿足，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，．(1)若z為純虛數(shù)，求；(2)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．16．如圖，在中，E，H分別是AD，BC的中點(diǎn)，，G為DF與BE的交點(diǎn)．(1)記向量，，試以向量，為基底表示，；(2)若，求m，n的值；(3)求證：A，G，H三點(diǎn)共線．17．如圖，直三棱柱中，與交于點(diǎn)O，M為線段AC的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求三棱錐的體積．18．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)關(guān)于x的方程在區(qū)間有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．19．已知球O半徑為2，A，B，C，D是球面上的點(diǎn)，平面⊥平面，四邊形OACD為平行四邊形．(1)證明：；(2)若，求點(diǎn)O到平面BCD的距離；(3)求BD與平面OAC所成角的余弦值的最小值．

參考答案1．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量加減運(yùn)算法則及運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】.故選B.2．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得.【詳解】.故選C.3．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再由定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在角終邊上，且，即，解得，所以.故選A.4．【答案】B【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，即可得的原圖，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得的原圖如圖所示，其中D為AB的中點(diǎn)，由于為的中點(diǎn)，,且，則中邊上的高為．故選B.

5．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則一一判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位得到，再把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍得到，故A正確；將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位得到，再把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍得到，故B錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位得到，再把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍得到，故C錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位得到，再把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍得到，故D錯(cuò)誤.故選A.6．【答案】D【分析】對(duì)于ABC，舉例判斷，對(duì)于D，利用面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，如圖當(dāng)，，∥時(shí)，與相交，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，如圖，當(dāng)，時(shí)，∥，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，如圖當(dāng)，，時(shí)，∥，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，設(shè)，在平面內(nèi)作，因?yàn)?，所以，因?yàn)椤危?，因?yàn)?，所以，所以D正確.故選D.7．【答案】C【分析】由求出，利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，再利用二倍角公式化簡(jiǎn)可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕?故選C.8．【答案】D【分析】利用兩角和與差的余弦展開式化簡(jiǎn)可得，由正弦定理得，再利用正弦的二倍角公式可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕蛏崛ィ傻?，因?yàn)?，由正弦定理得，所以，因?yàn)椋?，可得，，所?故選D.9．【答案】AB【分析】根據(jù)題意，由共軛復(fù)數(shù)的概念即可判斷A，由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可判斷B，由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可判斷CD.【詳解】對(duì)A因?yàn)閺?fù)數(shù)，，則，故A正確；對(duì)B,，即，故B正確；對(duì)C,，故C錯(cuò)誤；對(duì)D,，，所以，故D錯(cuò)誤；故選AB.10．【答案】BCD【分析】根據(jù)異面直線的定義可判斷A；連接，取中點(diǎn)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，在中由余弦定理求出可判斷B；設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，直線與直線所成的角即為，求出可判斷C；連接、相交于點(diǎn)，利用線面垂直的判定定理得即為與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，求出可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫?，平面，，平面，所以與是異面直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，取中點(diǎn)，連接，可得，所以平面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，由余弦定理得，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，由B，，，所以，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，所以直線與直線所成的角即為與直線所成的角，即為，因?yàn)?，平面，所以，即直線與直線所成角的大小為，故C正確；對(duì)于D，連接，因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以，連接、相交于點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫妫矫妫裕遥矫妫云矫妫缘扔谂c平面所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，所以，，所以，所以與平面所成的角大小為，故D正確.故選BCD.11．【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，計(jì)算出，根據(jù)向量垂直得到方程，求出或，A正確；B選項(xiàng)，兩邊平方，求出；C選項(xiàng)，根據(jù)垂直關(guān)系得到，從而根據(jù)投影向量的模長(zhǎng)公式求出C正確；D選項(xiàng)，在C選項(xiàng)基礎(chǔ)上，根據(jù)投影向量的公式進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，解得或，A正確；B選項(xiàng)，兩邊平方得，，因?yàn)?，所以，故，則，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，故，則向量在向量上的投影數(shù)量為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知，，向量在向量上的投影向量為，D正確.故選ABD.12．【答案】【分析】由軸截面得到圓錐的底面半徑和母線，利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】由題意得，圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，故圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.13．【答案】1【分析】先利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用兩角和的正切公式可求得答案.【詳解】因?yàn)椋瑃anβ是方程的兩根，所以，，所以.故答案為：1.14．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)可得，在中分別利用余弦定理可得，再求出可得答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)椋裕?，在分別由余弦定理得，，，所以，所以，得，所以，所以，即.故答案為：.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】此題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是在中分別利用余弦定理找出的關(guān)系，再結(jié)合又得到的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計(jì)算能力.15．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知求出，再由模的意義求出結(jié)果.（2）由給定條件列出不等式組，求解即可得范圍.【詳解】（1）由z為純虛數(shù)，得，解得，則，所以.（2）由復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.16．【答案】(1)，；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)向量的減法法則結(jié)合題意求解；（2）對(duì)結(jié)合（1）化簡(jiǎn)用，表示，而，然后列方程組可求得結(jié)果；（3）設(shè)，，由，，用用，表示，列方程組求出，從而可得，進(jìn)而證得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)樵谥校珽，H分別是AD，BC的中點(diǎn)，，所以，．（2）由（1）知，，所以，因?yàn)?，所以，解得；?），設(shè)，，則，又，所以，解得，所以，所以，所以，即A，G，H三點(diǎn)共線．17．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)．【分析】（1）根據(jù)線面平行判定定理證明；（2）應(yīng)用面面垂直判定定理證明；（3）等體積法求三棱錐的體積.【詳解】（1）連接，因?yàn)橹比庵?，又所以是正方形且O為線段的中點(diǎn)，又M為線段AC中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)椋?，平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）因?yàn)镸為線段AC中點(diǎn)，所以，即三棱錐的體積為．18．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．(2)(3)【分析】（1）先化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）根據(jù)函數(shù)兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合正弦單調(diào)性及值域求參；（3）把恒成立問題轉(zhuǎn)化為解三角不等式即可.【詳解】（1）令，解得，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，又，，，結(jié)合圖象可知a的取值范圍是．（3）即不等式對(duì)恒成立，有，所以或解得，或故x的取值范圍是．19．【答案】(1)證明見解析;(2);(3)．【分析】（1）作出輔助線，得到平行四邊形OACD為菱形，為等邊三角形，則，由面面垂直得到線面垂直，故，故，又因?yàn)?，得到；?）求出，由勾股定理逆定理得到，得到線面垂直，線線垂直，求出，由余弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系得到，得到外接圓的半徑，進(jìn)而得到點(diǎn)到平面的距離；（3）作出輔助線，得到為BD與平面OAC所成的角，設(shè)，表達(dá)出，，由余弦定理求出，得到，由基本不等式，求出線面角的正切值的最大值，從而得到余弦值的最小值為.【詳解】（1）證明：取AC中點(diǎn)E，連接BE，OE，，因?yàn)?，所以平行四邊形OACD為菱形，為等邊三角形，則，，故，且，又平面⊥平面，平面平面，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫裕?，又因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，．?）因?yàn)椋?，所以，所以，又，，，故，故，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在中，⊥，故⊥，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，所以在中，易知，則，記外接圓的半徑為r，故，即，所以點(diǎn)O到平面BCD距離．（3）作于，因?yàn)槠矫妗推矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?/p>