/河南省駐馬店市新蔡縣2024-2025學(xué)年高三下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知集合，且，則（）A. B.1 C. D.0【正確答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合相等列式求解即可.【詳解】因?yàn)榧希遥瑒t，解得.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【正確答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方和模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，所以，故選：C3.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由三角函數(shù)的正余弦的定義可求得，，利用二倍角的正弦公式可求值.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，，所以.故選：A.4.已知平面向量為兩兩不共線的單位向量，則“”是“與共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】由題設(shè)有設(shè)，，，如下圖，為邊長(zhǎng)為1的菱形，數(shù)形結(jié)合及向量加減、數(shù)乘的幾何意義判斷條件間的推出關(guān)系，即可得答案.【詳解】由平面向量為兩兩不共線的單位向量，設(shè)，，，如下圖，為邊長(zhǎng)為1的菱形，若，即與垂直，，即，而，且，所以共線，即與共線；若與共線，即且，而，即，所以與垂直，故.所以“”是“與共線”的充要條件.故選：C5.若的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【正確答案】A【分析】利用二項(xiàng)式的系數(shù)和為即可得到方程求解.【詳解】根據(jù)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，結(jié)合所有二項(xiàng)式系數(shù)的和滿足，可知，故選：A.6.給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少一人，每人做且僅做一項(xiàng)工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有（）A.12種 B.18種 C.24種 D.64種【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4人分成3組，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，將剩下的2組全排列，安排其他的2項(xiàng)工作，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4人分成3組，有種分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，有2種情況，將剩下的2組全排列，安排其他的2項(xiàng)工作，有種情況，此時(shí)有種情況，則有種不同的安排方法；故選C．本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.已知函數(shù)，如果點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，先求出角的正弦和余弦，再根據(jù)兩角和的正弦公式求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，所以，，則.故選：C8.如圖所示的幾何體是從棱長(zhǎng)為2的正方體中截去到正方體的某個(gè)頂點(diǎn)的距離均為2的幾何體后的剩余部分，則該幾何體的表面積為（）A.24－3π B.24－π C.24＋π D.24＋5π【正確答案】B【分析】根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征，利用球、正方體和圓的面積公式可得.【詳解】由題意知，該幾何體是從棱長(zhǎng)為2的正方體中截去以正方體某個(gè)頂點(diǎn)為球心，2為半徑的球后的剩余部分，其表面積等于正方體表面積減去三個(gè)半徑為2的圓，再加上2為半徑的球面，則.故選：B二、多選題9.已知隨機(jī)變量，則（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】由正態(tài)分布期望的性質(zhì)可得A錯(cuò)誤；由正態(tài)分布方差的性質(zhì)可得B正確；由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可得C、D正確；【詳解】對(duì)于A，由題意，得，而，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B，又，則，而，所以，故B正確;對(duì)于C，因?yàn)閮蓚€(gè)正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故C正確；對(duì)于D，由對(duì)稱性，得，所以，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的有（）A.B.C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【正確答案】BCD【分析】觀察圖象可得函數(shù)的周期，函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，列關(guān)系式求，再求函數(shù)的對(duì)稱軸及單調(diào)遞增區(qū)間即可判斷結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，B，觀察圖象可得函數(shù)的周期，又，，所以，又函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，所以，，由，，可得或，若，由可得，，所以，，與矛盾，故，故A錯(cuò)誤；若，由可得，，所以，，又，所以，，故B正確；由上分析可得：，對(duì)于C，函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，，即，，取，可得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，由，，可得，，取，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BCD.11.“心形線”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，某研究小組用函數(shù)圖象：，和拋物線的部分圖象圍成了一個(gè)封閉的“心形線”，過(guò)焦點(diǎn)的直線交（包含邊界點(diǎn)）于，兩點(diǎn)，是或上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.拋物線的方程為B.的最小值為5C.的最大值為7D.若在上，則的最小值為【正確答案】ABD【分析】將、變形后可得其都為圓的一部分，借助的范圍可得與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得拋物象方程，即可得A；結(jié)合拋物線定義即可判斷B選項(xiàng)；設(shè)出直線的方程后，聯(lián)立拋物線得到與橫坐標(biāo)有關(guān)的韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)到直線的距離公式表示出該三角形面積，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得；找到中點(diǎn)，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為求最小值問(wèn)題，結(jié)合題意，可確定點(diǎn)在時(shí)，有最小值，再結(jié)合韋達(dá)定理表示出的值，確定直線斜率范圍后計(jì)算即可得D選項(xiàng).【詳解】可變形為，表示以為圓心，2為半徑的圓的上半部分；可變形為，表示以為圓心，2為半徑的圓的上半部分．對(duì)于A選項(xiàng)，拋物線過(guò)點(diǎn)，解得，，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，則，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，不妨設(shè)，顯然離最遠(yuǎn)的點(diǎn)在上，且，聯(lián)立，消去整理得，，則，，則，由對(duì)稱性只考慮情況，在點(diǎn)時(shí)，，所以，所以，設(shè)，易得在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)的中點(diǎn)為，聯(lián)立，消去整理得，則，，，，，所以，，，最小，即最大，也即最小，又的中點(diǎn)位于圓心的左側(cè)，故當(dāng)在位置時(shí)，最小，最小，所以，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題有時(shí)需運(yùn)用韋達(dá)定理將所需計(jì)算的量表示出來(lái)，再結(jié)合基本不等式或函數(shù)單調(diào)性去研究.三、填空題12.已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，則__________【正確答案】【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)求出時(shí)的函數(shù)的解析式，由代入方程求解即得【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí),，則．又因?yàn)椋裕瑢⑵浠蓪?duì)數(shù)式，，解得.故答案為.13.最近全國(guó)各地的旅游十分火爆，某旅游公司根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研的情況推出了A，B兩個(gè)旅游路線方案，通過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，選擇方案A旅游路線與選擇方案B旅游路線的游客比為3:1，該公司為了激勵(lì)大家消費(fèi)，設(shè)立優(yōu)惠項(xiàng)目，即選擇方案A旅游路線優(yōu)惠200元，選擇方案B旅游路線優(yōu)惠100元（每位游客的選擇相互獨(dú)立），已知旅游公司的總優(yōu)惠金額恰為的概率為，，則的關(guān)系式為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】記當(dāng)時(shí)，累計(jì)優(yōu)惠金額恰為的概率為，累計(jì)優(yōu)惠金額恰為的概率為，累計(jì)優(yōu)惠金額恰為的概率為，分析出關(guān)系式，湊配出等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求得通項(xiàng)公式．【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，累計(jì)優(yōu)惠金額恰為的概率為，累計(jì)優(yōu)惠金額恰為的概率為，累計(jì)優(yōu)惠金額恰為的概率為，優(yōu)惠金額恰為，則是優(yōu)惠金額恰為時(shí)再有一個(gè)人選擇方案或優(yōu)惠金額恰為再有一個(gè)人選擇方案，所以，設(shè)，令，則，即，解得或．①當(dāng)時(shí)，可得，所以為以為首項(xiàng)，以為公比等比數(shù)列，根據(jù)題意，，，，所以可得，，，…，，疊加可得，故，，也符合該式，故.②當(dāng)時(shí)，可得，所以，即，而，則為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，．綜上，，．故．14.已知函數(shù)，若存在兩條不同的直線與曲線和均相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩曲線的切線方程，進(jìn)而，利用方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.【詳解】設(shè)曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，則公切線的方程為，即．設(shè)曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，則公切線方程為，即，所以，消去，得．若存在兩條不同直線與曲線均相切，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．設(shè)，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，由可得，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，則的大致圖象如圖所示，由圖可知，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是兩曲線的切線方程相等，消去得，利用數(shù)形結(jié)合的思想將方程的根個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).四、解答題15.為研究“眼睛近視是否與長(zhǎng)時(shí)間看電子產(chǎn)品有關(guān)”的問(wèn)題，對(duì)某班同學(xué)的近視情況和看電子產(chǎn)品的時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的列聯(lián)表：近視情況每天看電子產(chǎn)品的時(shí)間合計(jì)超過(guò)一小時(shí)一小時(shí)內(nèi)近視10人5人15人不近視10人25人35人合計(jì)20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷眼睛近視是否與長(zhǎng)時(shí)間看電子產(chǎn)品有關(guān)；（2）在該班近視的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)的概率是多少？（3）以頻率估計(jì)概率，在該班所在學(xué)校隨機(jī)抽取2人，記其中近視的人數(shù)為X，每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)的人數(shù)為Y，求的值．【正確答案】（1）認(rèn)為患近視與長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的習(xí)慣有關(guān)；（2）；（3）.【分析】（1）假設(shè)為：學(xué)生眼睛近視與長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品無(wú)關(guān)，求得，再根據(jù)小概率值判斷；（2）根據(jù)給定條件，利用組合計(jì)數(shù)問(wèn)題及互斥事件的概率公式計(jì)算即得.（3）分別求得，，，再將概率相加即可求解．【小問(wèn)1詳解】零假設(shè)為：學(xué)生眼睛近視與長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品無(wú)關(guān)．計(jì)算可得，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為眼睛近視與長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品有關(guān)．【小問(wèn)2詳解】每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)人數(shù)為，則，所以在該班近視的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)的概率是．【小問(wèn)3詳解】依題意，，，事件包含兩種情況：①其中一人每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)且近視，另一人既不近視，每天看電子產(chǎn)品也沒(méi)超過(guò)一小時(shí)；②其中一人每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)且不近視，另一人近視且每天看電子產(chǎn)品沒(méi)超過(guò)一小時(shí)，于是，所以．16.已知中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若，求面積的最大值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換等知識(shí)求得.（2）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，進(jìn)而求得三角形面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理及倍角公式得，得，即，故.【小問(wèn)2詳解】由余弦定理可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的面積．故面積的最大值為．17.如圖，在四棱錐中，底面,,，（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）先由線面垂直的判定定理證明平面，再由面面垂直的定理證明結(jié)果即可；（2）建立如圖所示坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，代入公式計(jì)算即可；【小問(wèn)1詳解】證明：記，因?yàn)椋裕裕矗值酌嫫矫妫裕驗(yàn)椋移矫妫矫妫云矫妫制矫妫云矫嫫矫妫拘?wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連接，則，所以平面，所以三條直線兩兩垂直，分別以所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以設(shè)平面的法向量為，則，可取，同理設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取所以，，所以，平面與平面的夾角的余弦值為．18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的嚴(yán)格增區(qū)間；（2）若恒成立，求a的值.【正確答案】（1）（2）1【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)求出的嚴(yán)格增區(qū)間.（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，建立不等關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)求出最值即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，由，得，所以的嚴(yán)格增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由恒成立，得恒成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因此，所以.19.閱讀材料一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對(duì)任意和任意，都有，則稱是區(qū)間上的下凸函數(shù)；反之，如果都有，則稱是區(qū)間上的上凸函數(shù).閱讀材料二：若函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上也可導(dǎo)，則稱在區(qū)間上存在二階導(dǎo)函數(shù)，即.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在二階導(dǎo)函數(shù)，則在區(qū)間上是下凸（上凸）函數(shù)的充要條件是對(duì)任意都有（）且在區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)不恒為0.閱讀材料三：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，（其中為無(wú)限接近于0的正數(shù)），在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，若在和上的符號(hào)相反，則點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn).請(qǐng)根據(jù)以上閱讀材料，回答下列問(wèn)題：（1）證明：對(duì)任意，，不等式恒成立；（2）設(shè)函數(shù)，若點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，的值，并證明的圖象關(guān)于拐點(diǎn)中心對(duì)稱：（3）設(shè)函數(shù)，若點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)，且，其中，試證明.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，證明是上凸函數(shù)即可推理得證.（2）利用“拐點(diǎn)”的意義可得，結(jié)合求出；再利用中心對(duì)稱的定義計(jì)算推理即可.（3）利用“拐點(diǎn)”定義求出“拐點(diǎn)”，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性可得，再結(jié)合